TR-ATransmissions et rapports de vitesses

Chaîne de rapports — trois vitesses de sortie

Idée directrice

Les rapports de réduction se multiplient le long de la chaîne : $N_{\text{sortie}} = N_{\text{moteur}}\times r_g$ avec $r_g$ produit des rapports partiels. Les trois vitesses d’une boîte correspondent à trois rapports $r_{20-40}$ selon la position du baladeur.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

Produit de rapports $r_g$ ; trois vitesses de boîte ; diamètre lié à $V$ et $N$

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Toujours factoriser $r_{\text{fixe}}$ une fois pour toutes, puis ne faire varier que l’étage baladeur.

Engrenages : $d=m\,Z$ ; entraxe $a=m(Z_1+Z_2)/2$ au contact extérieur, $a=m(Z_c-Z_p)/2$ pour une couronne à denture intérieure. Le rapport et l'entraxe forment deux équations qui donnent les deux nombres de dents.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Inverser $N_1$ et $N_3$ ; oublier de convertir $d$ en mm ; mélanger $r$ en fraction et en décimal sans re-vérifier.

Calculer l'entraxe d'une couronne intérieure avec la somme des dents ; calculer un couple avec $N$ en tr/min au lieu de $\omega$ en rad/s.

Sujet principal

Exercice — dans l’esprit des sujets techniques

3 questionsCorrigé masqué

Un moteur $MP$ tourne à $N_m = 1400\,\mathrm{tr/min}$ . On donne les rapports partiels $r_{1-17}=\dfrac{1}{40}$ , $r_{22-20}=2$ , $r_{61-64}=1$ . Le rapport d’étage variable $r_{20-40}$ prend trois valeurs selon la vitesse : $r_{50-46}=\dfrac{30}{40}$ , $r_{51-45a}=\dfrac{35}{35}$ , $r_{49-45b}=\dfrac{40}{30}$ .

Montrer que le rapport global hors étage variable s’écrit $r_{\text{fixe}}=0{,}05$ , puis $N_{\text{plateau}}=70\,r_{20-40}$ (en $\mathrm{tr/min}$ ).
Calculer les trois vitesses $N_1$ , $N_2$ , $N_3$ ( $N_1$ la plus faible, $N_3$ la plus élevée).
La vitesse linéaire en surface du fût est $V=2{,}75\,\mathrm{m/s}$ . En utilisant $d=\dfrac{60V}{\pi N}$ (avec $V$ en $\mathrm{m/s}$ , $N$ en $\mathrm{tr/min}$ , $d$ en m), calculer $d_1$ , $d_2$ , $d_3$ en $\mathrm{mm}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $r_{\text{fixe}}=r_{1-17}\times r_{22-20}\times r_{61-64}=\dfrac{1}{40}\times 2\times 1=0{,}05$ . Donc $N_{\text{plateau}}=N_m\,r_{\text{fixe}}\,r_{20-40}=1400\times 0{,}05\,r_{20-40}=70\,r_{20-40}$ .

2. $N_1=70\times\dfrac{30}{40}=52{,}5\,\mathrm{tr/min}$ ; $N_2=70\times\dfrac{35}{35}=70\,\mathrm{tr/min}$ ; $N_3=70\times\dfrac{40}{30}=93{,}33\,\mathrm{tr/min}$ .

3. $d=\dfrac{60\times 2{,}75}{\pi N}=\dfrac{165}{\pi N}$ (m). Numériquement (corrigé 2019) : $d_1=1000\,\mathrm{mm}$ , $d_2=750\,\mathrm{mm}$ , $d_3=562\,\mathrm{mm}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : nombres de dents à retrouver à partir du rapport et de l'entraxe, y compris à denture intérieure (bac 2018 contrôle) ; sens de rotation de la sortie à justifier ; puissance et couple de sortie avec rendement ; vitesse linéaire d'un tambour ou d'une pièce entraînée (bac 2018 contrôle).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill — rapport fixe

Entraînement 01 / 05

Drill — rapport fixe

1 questionCorrigé masqué

Avec $N_m=1400\,\mathrm{tr/min}$ et $r_{\text{fixe}}=0{,}05$ , quelle vitesse obtient-on si $r_{20-40}=1$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$N=1400\times 0{,}05\times 1=70\,\mathrm{tr/min}$ .

2 Drill — sens des rapports

Entraînement 02 / 05

Drill — sens des rapports

1 questionCorrigé masqué

Si un rapport $r=\dfrac{z_{\text{menée}}}{z_{\text{menante}}}>1$ , la vitesse de sortie augmente-t-elle ou diminue-t-elle par rapport à l’entrée de cet étage ? Justifier.

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Si $r=N_{\text{sortie}}/N_{\text{entrée}}$ (définition usuelle des rapports partiels du sujet), $r>1$ multiplie la vitesse. Vérifier toujours la convention du sujet (parfois $r=z_1/z_2$ ).

3 Rapports — produit des étages d’engrenages

Entraînement 03 / 05

Rapports — produit des étages d’engrenages

3 questionsCorrigé masqué

Un moteur tourne à $N_m=1500\,\mathrm{tr/min}$ . La chaîne comporte trois étages de rapports partiels $r_1=\dfrac{1}{50}$ , $r_2=\dfrac{3}{2}$ et un étage variable $r_v=\dfrac{4}{5}$ .

Rappeler que le rapport global d’une chaîne est le produit des rapports partiels.
Calculer le rapport global $r_g=r_1 r_2 r_v$ .
En déduire la vitesse de sortie $N_s=r_g N_m$ en $\mathrm{tr/min}$ .

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1. $r_g=\prod r_i$ pour une chaîne d’engrenages en série (corrigé type : produit des rapports des couples d’engrenages).

2. $r_g=\dfrac{1}{50}\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{500}=0{,}024$ .

3. $N_s=0{,}024\times 1500=36\,\mathrm{tr/min}$ . La forte réduction de $r_1$ domine : la sortie est lente par rapport au moteur.

4 Drill TR-A.4 — Engrenage à denture intérieure : nombres de dents, entraxe et rapport global

Entraînement 04 / 05

Drill TR-A.4 — Engrenage à denture intérieure : nombres de dents, entraxe et rapport global

5 questionsCorrigé masqué

Un réducteur de convoyeur comporte deux étages d'engrenages à denture droite. Le moteur tourne à $N_m=1500\ \mathrm{tr/min}$ .

Étage 1 : un pignon (3) engrène à l'intérieur d'une couronne à denture intérieure (4). Module $m=2{,}5\ \mathrm{mm}$ , entraxe $a_{3-4}=75\ \mathrm{mm}$ , rapport de transmission $r_{3-4}=\dfrac{1}{5}$ .

Étage 2 : un pignon (5) de $Z_5=24$ dents engrène à l'extérieur avec une roue (6) de $Z_6=48$ dents, module $m=2\ \mathrm{mm}$ . La couronne (4) et le pignon (5) sont sur le même arbre.

Écrire les deux relations qui lient $Z_3$ et $Z_4$ , puis calculer $Z_3$ et $Z_4$ .
Calculer les diamètres primitifs $d_3$ et $d_4$ .
Calculer l'entraxe $a_{5-6}$ .
Calculer le rapport global et la vitesse de rotation de la roue (6).
Comparer le sens de rotation de la roue (6) à celui du moteur. Justifier.

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Idée : deux inconnues, deux relations. Le rapport donne $Z_3$ en fonction de $Z_4$ ; l'entraxe d'une denture intérieure utilise la différence des dents.

1. $r_{3-4}=\dfrac{Z_3}{Z_4}=\dfrac15$ et $a_{3-4}=\dfrac{m(Z_4-Z_3)}{2}$ . En remplaçant $Z_3=Z_4/5$ :

75=\frac{2{,}5\,(Z_4-Z_4/5)}{2}=\frac{2{,}5\times0{,}8\,Z_4}{2}\ \Rightarrow\ Z_4=\frac{2\times75}{2{,}5\times0{,}8}=75\ \text{dents},\quad Z_3=\frac{75}{5}=15\ \text{dents}

2. $d_3=m\,Z_3=2{,}5\times15=37{,}5\ \mathrm{mm}$ ; $d_4=m\,Z_4=2{,}5\times75=187{,}5\ \mathrm{mm}$ . Contrôle : $(d_4-d_3)/2=(187{,}5-37{,}5)/2=75\ \mathrm{mm}$ , c'est bien l'entraxe.

3. Contact extérieur : $a_{5-6}=\dfrac{m(Z_5+Z_6)}{2}=\dfrac{2\,(24+48)}{2}=72\ \mathrm{mm}$ .

4. $r_g=r_{3-4}\times r_{5-6}=\dfrac15\times\dfrac{24}{48}=0{,}1$ ; $N_6=r_g\,N_m=0{,}1\times1500=150\ \mathrm{tr/min}$ .

5. La denture intérieure conserve le sens, le contact extérieur 5-6 l'inverse : une seule inversion, la roue (6) tourne en sens inverse du moteur.

5 Drill TR-A.5 — Puissance, rendement et couple à la sortie d'un réducteur

Entraînement 05 / 05

Drill TR-A.5 — Puissance, rendement et couple à la sortie d'un réducteur

4 questionsCorrigé masqué

Un moteur de puissance utile $P_m=2{,}2\ \mathrm{kW}$ tourne à $N_m=1450\ \mathrm{tr/min}$ . Il entraîne un tambour par une transmission poulies-courroie (rendement $\eta_1=0{,}95$ ) suivie d'un réducteur à engrenages (rendement $\eta_2=0{,}9$ ). Le rapport global de la chaîne de transmission est $r_g=\dfrac{1}{25}$ .

Calculer la vitesse de rotation $N_s$ de l'arbre du tambour.
Calculer le rendement global et la puissance disponible sur l'arbre du tambour.
Calculer le couple moteur $C_m$ et le couple $C_s$ sur l'arbre du tambour.
Calculer le quotient $C_s/C_m$ et expliquer pourquoi il n'est pas égal à 25.

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Idée : le rapport agit sur la vitesse, le rendement sur la puissance ; le couple se déduit de $P=C\,\omega$ avec $\omega$ en rad/s.

1. $N_s=r_g\,N_m=\dfrac{1450}{25}=58\ \mathrm{tr/min}$ .

2. $\eta_g=\eta_1\,\eta_2=0{,}95\times0{,}9=0{,}855$ ; $P_s=\eta_g\,P_m=0{,}855\times2200=1881\ \mathrm{W}$ .

3. $\omega_m=\dfrac{2\pi\times1450}{60}\approx151{,}8\ \mathrm{rad/s}$ , donc $C_m=\dfrac{P_m}{\omega_m}\approx14{,}49\ \mathrm{N\cdot m}$ . $\omega_s=\dfrac{2\pi\times58}{60}\approx6{,}074\ \mathrm{rad/s}$ , donc $C_s=\dfrac{P_s}{\omega_s}\approx309{,}7\ \mathrm{N\cdot m}$ .

4. $\dfrac{C_s}{C_m}\approx21{,}38$ . Sans pertes on aurait $\dfrac{C_s}{C_m}=\dfrac{1}{r_g}=25$ ; les pertes réduisent le couple de sortie dans le rapport $\eta_g$ : $25\times0{,}855\approx21{,}4$ .

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