RA-HAlgorithmes récurrents et arithmétiques

Conversion d'un entier décimal en binaire

Idée directrice

La conversion d'un entier décimal (base 10) vers le binaire (base 2) accumule les bits $N\bmod 2$ en divisant $N$ par 2. Chaque bit de poids faible sort en premier : on le place en tête du résultat.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« base 10 vers la base 2 »

« N mod 2 »

« conversion »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets d'informatique

3 questionsCorrigé masqué

Écrire l'algorithme itératif de conversion Conv(N) qui renvoie l'écriture binaire d'un entier décimal $N$ (base 10 → base 2). Chaque bit est chr(N mod 2 + ord('0')).
Tracer la conversion de $N=13$ : tableau des valeurs de $N$ , du bit (mod 2), et du résultat partiel.
En base 16 (hexadécimal), quels caractères codent les chiffres ? Donner la valeur décimale de 2F₁₆.

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1. Conversion décimal → binaire.

DEF FN Conv(N : entier) : chaîne
Variables R : chaîne
Début
  R ← ''
  Répéter
    R ← chr(N mod 2 + ord('0')) + R
    N ← N div 2
  Jusqu'à N = 0
  Retourner R
Fin

Le bit est collé à gauche car mod 2 livre le poids faible d'abord.

2. Trace $N=13$ (binaire).

N	bit	résultat
13	1	`1`
6	0	`01`
3	1	`101`
1	1	`1101`
0	—	`1101`

Vérification : $13 = 8+4+1$ .

3. Hexadécimal. Chiffres de la base 16 : 0..9 puis A..F. 2F₁₆ = $2\times 16 + 15 = \mathbf{47}$ en décimal.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill RA-H.1 — Choisir la bonne conversion

5 questionsCorrigé masqué

Trois versions d'une conversion base 10 → base 2 sont proposées ; elles ne diffèrent que par la ligne qui construit le résultat R (chaîne initialement vide) dans la boucle Répéter … N ← N div 2 … Jusqu'à N = 0 :

V1 : R ← R + chr(N mod 2 + ord('0'))
V2 : R ← chr(N mod 2 + ord('0')) + R
V3 : R ← chr(N mod 2 + ord('0'))

Donner le résultat de chaque version pour $N = 6$ .
En déduire la version correcte et expliquer l'erreur des deux autres.

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1. Les restes successifs de 6 par 2 sont 0, 1, 1 (6 → 3 → 1 → 0). V1 les colle à droite : "011". V2 les colle à gauche : "110". V3 écrase R à chaque tour : "1".

2. $6 = 4 + 2 = (110)_2$ : seule V2 est correcte. mod 2 livre d'abord le bit de poids faible, qui doit finir à droite ; V1 produit l'écriture miroir, V3 ne garde que le dernier bit (celui de poids fort).

Méthode / Automatismes

Conversion de base : restes = chiffres ; pour le binaire, reste 0/1 = bit.
Ne pas confondre avec le comptage de chiffres décimaux (divisions par 10, RA-E).

Pièges classiques

Concaténer le bit à droite (inverse l'écriture binaire) ; utiliser mod 10 au lieu de mod 2.