Conditionnement du signal : VRX, suiveur et étage inverseur

1. Idée : on remonte la chaîne étage par étage avant toute application numérique.

A.L.I.1 est un suiveur idéal en contre-réaction : ses deux entrées ont la même tension, donc $V_1=V_{RX}=S\,W_{RX}$. Pour le premier inverseur, l’entrée non inverseuse est à la masse et l’entrée inverseuse est au potentiel nul (masse virtuelle). Le courant entrant dans l’A.L.I. est nul : $\dfrac{V_1-0}{R_1}=\dfrac{0-V_2}{R_2}$, d’où $V_2=-\dfrac{R_2}{R_1}V_1$. Le second inverseur donne de même $\dfrac{V_2}{R_3}=-\dfrac{V_3}{R_4}$, donc $V_3=-\dfrac{R_4}{R_3}V_2$. En reportant :

Application numérique : $\dfrac{R_4}{R_3}=\dfrac{10\times10^{3}}{10\times10^{3}}=1$ et $\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{47\times10^{3}}{470}=100$, d'où $k=1\times100\times0{,}82\times10^{-3}=\mathbf{8{,}2\times10^{-2}\,V\cdot keV^{-1}}$ (soit $82\,\mathrm{mV}$ par keV). Contrôle d'homogénéité : $k$ est bien en volt par keV puisque les deux rapports de résistances sont sans dimension.

2. Idée : ce n'est pas une question de gain, c'est une question de signe. Le premier étage amplificateur après le suiveur est inverseur : pour $W_{RX}>0$ on a $V_{RX}>0$ donc $V_2=-100\,V_{RX}<0$. Par exemple à $60\,\mathrm{keV}$, $V_2=-100\times0{,}82\times10^{-3}\times60=-4{,}92\,\mathrm{V}$. Une tension négative est toujours inférieure à $V_{\mathrm{ref}}=+2{,}0\,\mathrm{V}$ : le comparateur resterait à l'état bas dans le domaine linéaire étudié, et l'information serait perdue. Le second inverseur applique une seconde inversion ; deux inversions rendent $V_3$ positive et homogène au signe de $V_{\mathrm{ref}}$. Son rôle est donc de rétablir le signe, pas d'amplifier — c'est pour cela que $R_3=R_4$.

3. Idée : la condition de basculement porte sur $V_3$, on la traduit sur $W_{RX}$ grâce à $k$. La sortie passe à l'état haut lorsque $V_3\ge V_{\mathrm{ref}}$, c'est-à-dire $k\,W_{RX}\ge 2{,}0$, soit

À $W_{RX}=60\,\mathrm{keV}$ : $V_3=8{,}2\times10^{-2}\times60=4{,}92\,\mathrm{V}$. Comme $4{,}92\,\mathrm{V}>2{,}0\,\mathrm{V}$ (et $60\,\mathrm{keV}>24{,}4\,\mathrm{keV}$), la sortie bascule : $V_E=12\,\mathrm{V}$. L’écart entre $V_3$ et la référence vaut ici $2{,}92\,\mathrm{V}$.

4. Idée : $W_{\min}=V_{\mathrm{ref}}/k$ et $k$ est inversement proportionnel à $R_1$, donc $W_{\min}$ est proportionnel à $R_1$ — c'est ce qui décide du sens de l'arrondi. On veut $W_{\min}=15\,\mathrm{keV}$, donc $k'=\dfrac{2{,}0}{15}\approx0{,}13333\,\mathrm{V\cdot keV^{-1}}$. En ne touchant que $R_1$ :

Cette valeur n'existe pas en E12 ; il faut choisir entre $270\,\Omega$ et $330\,\Omega$. On calcule le seuil obtenu dans chaque cas :

• $R_1=270\,\Omega$ : $k=\dfrac{47\times10^{3}}{270}\times0{,}82\times10^{-3}\approx0{,}1427\,\mathrm{V\cdot keV^{-1}}$, donc $W_{\min}=\dfrac{2{,}0}{0{,}1427}\approx14{,}0\,\mathrm{keV}$. À $15\,\mathrm{keV}$, $V_3\approx0{,}1427\times15\approx2{,}14\,\mathrm{V}>2{,}0\,\mathrm{V}$ : la sortie bascule bien.
• $R_1=330\,\Omega$ : $k=\dfrac{47\times10^{3}}{330}\times0{,}82\times10^{-3}\approx0{,}1168\,\mathrm{V\cdot keV^{-1}}$, donc $W_{\min}=\dfrac{2{,}0}{0{,}1168}\approx17{,}1\,\mathrm{keV}$. À $15\,\mathrm{keV}$, $V_3\approx0{,}1168\times15\approx1{,}75\,\mathrm{V}<2{,}0\,\mathrm{V}$ : la sortie ne bascule pas, le cahier des charges n'est pas tenu.

On retient $R_1=270\,\Omega$ pour respecter le seul critère donné : détecter dès $15\,\mathrm{keV}$. Le déclenchement se produit en fait vers $14{,}01\,\mathrm{keV}$, soit environ $0{,}99\,\mathrm{keV}$ avant la cible idéale. Ce choix admet donc aussi certaines énergies inférieures à $15\,\mathrm{keV}$ ; faute de seuil de rejet ou de données de bruit, on ne peut pas conclure sur ces autres performances ni sur la sécurité du dispositif réel.

Idée : une chaîne de mise en forme ne se juge pas étage par étage mais bout en bout — signe, amplitude et impédance. Un étage inverseur retourne le signe, un suiveur de tension protège la source, et c'est le comparateur logique placé en bout qui impose ce que les étages amont doivent produire.

1. La maille du diviseur donne $E=R_T i+R_0 i$ avec $U_1=R_0 i$, d'où

À $25\,^\circ\mathrm{C}$ : $U_1=10\times\dfrac{10}{10+10}=\mathbf{5{,}00\ \mathrm{V}}$. À $60\,^\circ\mathrm{C}$ : $U_1=10\times\dfrac{10}{10+2{,}5}=\mathbf{8{,}00\ \mathrm{V}}$. La thermistance étant une CTN, $R_T$ chute quand la cuve chauffe, donc $U_1$ croît avec la température : la grandeur conditionnée est déjà orientée dans le bon sens, ce qui n'aurait pas été le cas si la thermistance avait été placée à la place de $R_0$.

2. Avec un seul inverseur, $V_2=-(R_2/R_1)\,U_1$. Or $U_1$ vaut $5{,}00$ à $8{,}00\,\mathrm{V}$ : elle est toujours strictement positive, et $R_2/R_1>0$. Donc $V_2<0$ pour toute température, alors que la référence du comparateur logique est $+9{,}0\,\mathrm{V}$ : la condition $V_2>V_{\mathrm{ref}}$ est impossible à satisfaire, quel que soit le gain. Le défaut n'est pas d'amplitude mais de signe, et un gain ne corrige jamais un signe. Il faut donc un nombre pair d'étages inverseurs : deux étages en cascade suffisent et rétablissent le signe positif.

3. Les deux inverseurs en cascade donnent un gain global positif :

Comme $R_2/R_1=15/10=1{,}5$, il vient $R_4/R_3=1{,}125/1{,}5=0{,}75$, soit $R_4=0{,}75\times10\,\mathrm{k\Omega}=\mathbf{7{,}5\ \mathrm{k\Omega}}$.

À $25\,^\circ\mathrm{C}$ : $V_3=1{,}125\times5{,}00=5{,}625\,\mathrm{V}<9{,}0\,\mathrm{V}$, donc $V_S=\mathbf{0\ \mathrm{V}}$ — l'alarme est au repos, et elle ne basculera à $V_S=5\,\mathrm{V}$ qu'une fois $60\,^\circ\mathrm{C}$ atteint. Vérification des saturations : la tension intermédiaire la plus grande en valeur absolue est $V_2(60\,^\circ\mathrm{C})=-1{,}5\times8{,}00=-12{,}0\,\mathrm{V}$, inférieure en module aux $15\,\mathrm{V}$ d'alimentation ; les marges sont de $3\,\mathrm{V}$ seulement, ce qui interdit d'augmenter encore $R_2/R_1$ sans revoir l'alimentation.

4. Sans le suiveur de tension, l'entrée inverseuse est un potentiel nul (masse virtuelle) : la résistance $R_1$ se retrouve en parallèle sur $R_0$ vue depuis le point milieu. La résistance de sortie du diviseur n'est plus $R_0$ mais $R_0\parallel R_1=5\,\mathrm{k\Omega}$, d'où

Un tiers de l'information est perdu avant même d'être amplifié, et l'erreur dépend de $R_T$, donc de la température : elle ne se rattrape pas par un réglage de gain. Le suiveur de tension ne sert donc pas à amplifier — son gain vaut $1$ — mais à découpler un capteur de forte impédance de l'étage qui le suit.

Idée : un rebouclage sur l'entrée $+$ donne deux seuils ; on les trouve en écrivant $V^+=0$ avec $V_s=\pm V_{sat}$.

1. Sortie ramenée sur l'entrée $+$ : réaction positive, régime saturé, $V_s=\pm12\,\mathrm{V}$.

2. $V^+=\dfrac{R_2V_e+R_1V_s}{R_1+R_2}$. Le basculement a lieu pour $V^+=0$, soit $V_e=-\dfrac{R_1}{R_2}V_s$ : $V_H=+\dfrac{R_1}{R_2}V_{sat}\approx\mathbf{+2{,}55\,V}$ et $V_B\approx\mathbf{-2{,}55\,V}$.

3. $V_s=-12\,\mathrm{V}$ tant que $V_e$ monte sans dépasser $2{,}55\,\mathrm{V}$ ; au passage de $+2{,}55\,\mathrm{V}$, $V_s$ bascule à $+12\,\mathrm{V}$ et y reste pendant la descente jusqu'à $-2{,}55\,\mathrm{V}$, où il revient à $-12\,\mathrm{V}$ : un signal rectangulaire de même période que $V_e$, largeur d'hystérésis $5{,}11\,\mathrm{V}$.

4. Montage inverseur : seuils $\pm\dfrac{R_1}{R_1+R_2}V_{sat}=\pm\mathbf{2{,}11\,V}$. Ce n'est toujours pas un comparateur logique à un seuil : il en garde deux, mais avec une sortie inversée.

1. Idée : on regarde où revient la sortie. Pour A.L.I1 la sortie est reliée à l'entrée inverseuse, pour A.L.I2 la résistance $R_2$ la ramène sur l'entrée inverseuse : les deux A.L.I sont en contre-réaction, donc en régime linéaire ($V^+=V^-$, courants d'entrée nuls).

2. $V^+=V_p$ et $V^-=V_1$ ; comme $V^+=V^-$ : $\boxed{V_1=V_p}$. C'est un suiveur de tension. Son entrée n'absorbe aucun courant : le capteur n'est pas chargé par $R_1$ et $R_2$, et A.L.I2 reçoit exactement la tension du capteur.

3. Idée : l'entrée inverseuse est le point milieu du diviseur $R_1$–$R_2$, parcouru par un seul courant puisque l'A.L.I n'en absorbe pas.

L'amplification est positive et supérieure à 1 : la sortie a le signe de l'entrée, amplifiée. C'est un amplificateur non inverseur.

4. $V_p=5\times16=80\,\mathrm{mV}$, donc $A_v=\dfrac{4{,}0}{0{,}080}=50$. De $1+\dfrac{R_2}{R_1}=A_v$ :

$R_2=\boxed{49\,\mathrm{k\Omega}}$. Écrire $R_2=A_v\,R_1=50\,\mathrm{k\Omega}$ serait appliquer la loi de l'inverseur : on obtiendrait $A_v=51$.

$56\,\mathrm{k\Omega}$ dépasse $4{,}5\,\mathrm{V}$ et est rejetée ; des deux autres, la plus grande amplification est donnée par $\boxed{R_2=51\,\mathrm{k\Omega}}$ ($A_v=52$). Toutes ces tensions restent loin de la saturation sous $\pm12\,\mathrm{V}$.

6. $V_2=52\times5\cdot10^{-3}\times7=\boxed{1{,}82\,\mathrm{V}}$. Inversement, $V_p=\dfrac{3{,}12}{52}=0{,}060\,\mathrm{V}=60\,\mathrm{mV}$, d'où $P=\dfrac{60}{5}=\boxed{12\,\mathrm{bar}}$.

7. L'inverseur donnerait $V_2=-\dfrac{52}{1}\times0{,}080=\boxed{-4{,}16\,\mathrm{V}}$ : une tension négative, hors de la plage $0$–$5\,\mathrm{V}$ de l'entrée analogique. Le capteur délivrant une tension positive qui doit le rester, c'est le montage non inverseur qu'il faut.

1. Dans les deux montages, une résistance relie la sortie à l'entrée inverseuse ($R_T$ pour A.L.I.1, $5R'$ pour A.L.I.2) : contre-réaction, donc régime linéaire pour les deux.

2. Idée : identifier chaque élément du montage fourni avant de remplacer. Pour A.L.I.1 : $R_1=R$, $R_2=R_T$, $R_3=R_4=R$, $V_1=V_2=V_{cc}$.

Avec $\Delta R=K\,R\,T$ :

$\boxed{V_{s1}=-0{,}016\,T}$ ($V_{s1}$ en V, $T$ en °C).

3. À $0\,^\circ\mathrm{C}$, $\Delta R=0$ donc $R_T=R$ et $\boxed{V_{s1}=0}$. Avec la même tension sur les deux entrées et $R_T=R$, les deux termes du soustracteur sont égaux ($2\times\frac{1}{2}=1$ et $R/R=1$) et s'annulent : seule la partie $\Delta R$ de la sonde subsiste. Comme la sonde est la résistance de contre-réaction, $\Delta R$ n'apparaît qu'au numérateur et $V_{s1}$ lui est exactement proportionnelle ; placée en $R_1$, elle serait au dénominateur et la relation ne serait plus linéaire.

4. Pour A.L.I.2 : $R_1=R_3=R'$, $R_2=R_4=5R'$, $V_1=V_{s1}$, $V_2=V_{e1}$.

$\boxed{V_{s2}=5\,(V_{e1}-V_{s1})}$ : A.L.I.2 amplifie par 5 l'écart entre $V_{e1}$ et $V_{s1}$.

5. À $250\,^\circ\mathrm{C}$, $V_{s1}=-0{,}016\times250=-4\,\mathrm{V}$. $V_{s2}=0$ impose $V_{e1}=V_{s1}$, soit $\boxed{V_{e1}=-4\,\mathrm{V}}$. Alors $V_{s2}=5\,(-4+0{,}016\,T)=0{,}08\,T-20$.

7. $V_{s2}=-2\,\mathrm{V}$ : $0{,}08\,T=18$, $T=\boxed{225\,^\circ\mathrm{C}}$ ; $V_{s2}=+2\,\mathrm{V}$ : $0{,}08\,T=22$, $T=\boxed{275\,^\circ\mathrm{C}}$. Le four est tenu entre $225$ et $275\,^\circ\mathrm{C}$, soit $\pm25\,^\circ\mathrm{C}$ autour de la consigne.

1. La sonde $R_T$ relie la sortie à l'entrée inverseuse : contre-réaction, régime linéaire.

2. Idée : c'est le montage non inverseur, la sonde tenant la place de la résistance de contre-réaction. $V^-=U_2\,\dfrac{R_1}{R_1+R_T}$ et $V^+=U_1$ ; $V^+=V^-$ donne :

Avec $U_1=5\,\mathrm{V}$ et $R_1=500\,\Omega$ : $U_2=5+\dfrac{5}{500}\,R_T$, soit $\boxed{U_2=5+0{,}01\,R_T}$.

3. $T=20\,^\circ\mathrm{C}$ : $R_T=100+0{,}385\times20=107{,}7\,\Omega$, $U_2=5+1{,}077=\boxed{6{,}077\,\mathrm{V}}$. $T=60\,^\circ\mathrm{C}$ : $R_T=123{,}1\,\Omega$, $U_2=\boxed{6{,}231\,\mathrm{V}}$.

4. $U_2=5+0{,}01\,(100+0{,}385\,T)=6+3{,}85\cdot10^{-3}\,T$ : fonction affine de $T$, car $R_T$ n'apparaît qu'au numérateur. Sensibilité : $\boxed{3{,}85\,\mathrm{mV/{}^\circ C}}$ (de $20$ à $60\,^\circ\mathrm{C}$, $U_2$ augmente de $0{,}154\,\mathrm{V}$).

5. $6+3{,}85\cdot10^{-3}\,T=6{,}154$ donne $T=\dfrac{0{,}154}{3{,}85\cdot10^{-3}}=\boxed{40\,^\circ\mathrm{C}}$.

6. Sur la plage, $U_2$ reste entre $6{,}077$ et $6{,}231\,\mathrm{V}$, bien au-dessous de $13{,}5\,\mathrm{V}$ : le régime linéaire est assuré. Il faudrait $T\approx1\,950\,^\circ\mathrm{C}$ pour atteindre $13{,}5\,\mathrm{V}$.

7. Le montage donnerait $U_2=U_1\left(1+\dfrac{500}{R_T}\right)$ : $28{,}2\,\mathrm{V}$ à $20\,^\circ\mathrm{C}$ et $25{,}3\,\mathrm{V}$ à $60\,^\circ\mathrm{C}$. Ces valeurs dépassent $13{,}5\,\mathrm{V}$ : l'A.L.I serait saturé sur toute la plage et $U_2$ ne porterait plus aucune information. De plus, $R_T$ au dénominateur rendrait $U_2$ non affine en $T$.