MCC-CMoteur à courant continu et variation de vitesse

Régulation de vitesse d'un moteur à courant continu et génération de la MLI à A.L.I : schéma fonctionnel, ε = uC − ur, formule de Black, trigger et intégrateur

Idée directrice

Rarement au bac (une boucle de régulation en contrôle 2019, un générateur à A.L.I en contrôle 2016 et 2022), mais insisté en cours : la vitesse mesurée par une dynamo tachymétrique revient, par un diviseur et un suiveur, se comparer à la consigne ; l'écart $\varepsilon=u_C-u_r$ commande la carte variateur. On complète les blocs, on vérifie $\varepsilon$ en un point, puis la formule de Black donne $n_S/n_C$ . Côté commande, un trigger et un intégrateur bouclés fabriquent un triangle que l'on compare à $V_{\text{réf}}$ : c'est la MLI du hacheur.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« compléter le schéma fonctionnel par la valeur de chacune des constantes » ; « montrer que ε(t) = uC(t) − ur(t) » ; « en appliquant la formule de Black » ; « Indiquer le régime de fonctionnement de chaque A.L.I » ; « Quelle est la fonction des trois montages »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Chaque bloc du schéma fonctionnel = sortie/entrée du composant ( $K_{dt}$ en V/(tr/min), diviseur $R_{bas}/(R_{haut}+R_{bas})$ , suiveur $1$ ) ; $K_C$ se déduit de « $\varepsilon=0$ quand $n_S=n_C$ ».
Soustracteur à résistances égales : $V^+=V^-$ puis Millman ou pont diviseur des deux côtés donne $\varepsilon=u_C-u_r$ .
Formule de Black pour un retour négatif : $\dfrac{G}{1+GH}$ , multipliée par le bloc de consigne placé avant le comparateur.
Régime d'un A.L.I : réaction sur $E^+$ ou aucune → saturé ; contre-réaction sur $E^-$ (résistance ou condensateur) → linéaire.
MLI par comparaison : $\alpha=(V_{\text{réf}}-V_B)/(V_H-V_B)$ pour un triangle symétrique entre $V_B$ et $V_H$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Inverser $K_1$ (prendre $R_{haut}/R_{bas}$ ) ; oublier le bloc $K_C$ devant le comparateur dans $H_G$ ; écrire $1-GH$ au dénominateur pour une boucle à retour négatif ; classer l'intégrateur en régime saturé parce que sa sortie est triangulaire ; prendre les seuils du trigger égaux à $\pm V_{CC}$ ; inverser le sens de la comparaison de ALI3 (c'est $V_{\text{réf}}$ sur $E^+$ qui décide).

Sujet principal

Exercice — régulation de vitesse et signal MLI d'une enrouleuse, dans l'esprit des sessions de contrôle 2019 et 2022

14 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Enrouleuse de film plastique. La vitesse du moteur à courant continu Mt3 de l'enrouleuse doit rester égale à la vitesse de consigne $n_C$ choisie par l'opérateur, quelle que soit la charge. On étudie la boucle de régulation de vitesse (partie A) puis le générateur du signal MLI qui commande le hacheur (partie B). Les A.L.I sont supposés parfaits.

Partie A — boucle de régulation. Le schéma fonctionnel est donné à la figure 1.

La consigne est une tension $u_C=K_C\cdot n_C$ délivrée par un potentiomètre gradué en tr/min.
Une dynamo tachymétrique accouplée à Mt3 délivre $u_{dt}=K_{dt}\cdot n_S$ : $20\,\text{V}$ pour $1000\,\text{tr/min}$ .
Un pont diviseur ( $R_{d1}=40\,\text{k}\Omega$ en haut, $R_{d2}=10\,\text{k}\Omega$ en bas) donne $u_1=K_1\cdot u_{dt}$ , suivi d'un montage suiveur : $u_r=K_2\cdot u_1$ .
Un soustracteur à quatre résistances égales $R$ élabore l'écart $\varepsilon$ : $u_C$ attaque $E^+$ à travers $R$ , $E^+$ est relié à la masse par $R$ ; $u_r$ attaque $E^-$ à travers $R$ , et une résistance $R$ relie la sortie $\varepsilon$ à $E^-$ .
La carte variateur ( $H_1=U_M/\varepsilon=240$ ) et le moteur ( $H_M=n_S/U_M=12{,}5\ \text{(tr/min)/V}$ ) forment la chaîne directe.

Compléter le schéma fonctionnel par la valeur de chacune des constantes $K_{dt}$ , $K_1$ , $K_2$ et $K_C$ , sachant que l'écart doit être nul quand $n_S=n_C$ .
À partir du montage soustracteur, montrer que $\varepsilon=u_C-u_r$ .
Pour $n_C=1300\,\text{tr/min}$ , le moteur tourne à $n_S=1200\,\text{tr/min}$ . Calculer $u_C$ , $u_{dt}$ , $u_r$ puis $\varepsilon$ .
Déterminer l'expression de $H_G=\dfrac{n_S}{n_C}$ en appliquant la formule de Black, puis sa valeur. Retrouver $n_S$ pour $n_C=1300\,\text{tr/min}$ et commenter.

Partie B — générateur du signal MLI (figure 2). ALI1 et ALI2 sont alimentés en $\pm V_{CC}=\pm12\,\text{V}$ (tensions de saturation $\pm12\,\text{V}$ ) ; ALI3 est alimenté entre $0$ et $+12\,\text{V}$ . On donne $R_1=10\,\text{k}\Omega$ , $R_2=20\,\text{k}\Omega$ , $R_3=10\,\text{k}\Omega$ , $C=10\,\text{nF}$ et $V_{\text{réf}}=3\,\text{V}$ .

Indiquer le régime de fonctionnement de chaque A.L.I. Justifier.
ALI1 est un comparateur à deux seuils non inverseur. Exprimer puis calculer ses tensions de basculement $V_H$ et $V_B$ en fonction de $R_1$ , $R_2$ et $V_{CC}$ .
Exprimer $V_3(t)$ en fonction de $V_2(t)$ , $R_3$ et $C$ . Quelle est la forme de $V_3(t)$ ? Calculer la durée d'une montée de $V_B$ à $V_H$ , puis la fréquence du signal.
Quelle est la fonction de chacun des trois montages ? Quelle est la fonction de l'ensemble ?
Donner les valeurs de $V_4$ selon la position de $V_3$ par rapport à $V_{\text{réf}}$ . En déduire le rapport cyclique $\alpha$ de $V_4$ , puis la tension moyenne appliquée à l'induit par un hacheur alimenté sous $120\,\text{V}$ et commandé par $V_4$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1 Idée : chaque bloc est le rapport sortie/entrée du composant. $K_{dt}=\dfrac{20}{1000}=\boxed{0{,}02\ \text{V/(tr/min)}}$ ; $K_1=\dfrac{R_{d2}}{R_{d1}+R_{d2}}=\dfrac{10}{50}=\boxed{0{,}2}$ ; suiveur : $\boxed{K_2=1}$ . $\varepsilon=0$ pour $n_S=n_C$ impose $K_C=K_1K_2K_{dt}=\boxed{0{,}004\ \text{V/(tr/min)}}$ .

A.2 Idée : A.L.I en régime linéaire, $V^+=V^-$ et courants d'entrée nuls ; deux ponts diviseurs. Côté $E^+$ : $V^+=\dfrac{u_C}{2}$ . Côté $E^-$ , par le théorème de Millman : $V^-=\dfrac{u_r+\varepsilon}{2}$ .

\dfrac{u_C}{2}=\dfrac{u_r+\varepsilon}{2}\ \Rightarrow\ \boxed{\varepsilon=u_C-u_r}

A.3 $u_C=0{,}004\times1300=5{,}2\ \text{V}$ ; $u_{dt}=0{,}02\times1200=24\ \text{V}$ ; $u_r=0{,}2\times1\times24=4{,}8\ \text{V}$ ; $\varepsilon=5{,}2-4{,}8=\boxed{0{,}4\ \text{V}}$ .

A.4 Idée : boucle à retour négatif, chaîne directe $H_1H_M$ , retour $K_1K_2K_{dt}$ , puis le bloc $K_C$ en amont. Formule de Black :

H_G = K_C\cdot\dfrac{H_1H_M}{1+H_1H_M\,K_1K_2K_{dt}}

$H_1H_M=240\times12{,}5=3000$ et $H_1H_M\,K_1K_2K_{dt}=3000\times0{,}004=12$ :

H_G = \dfrac{0{,}004\times3000}{1+12} = \dfrac{12}{13}

soit $\boxed{H_G\approx0{,}923}$ et $n_S=0{,}923\times1300=\boxed{1200\ \text{tr/min}}$ : on retrouve la question A.3 ( $\varepsilon=0{,}4\ \text{V}$ donne $U_M=96\ \text{V}$ et $n_S=12{,}5\times96=1200$ ). Il reste un écart de $100\ \text{tr/min}$ : une régulation proportionnelle garde une erreur statique, d'autant plus faible que $H_1$ est grand.

B.1 Idée : regarder vers quelle entrée la sortie est ramenée. ALI1 : sortie ramenée sur $E^+$ par $R_2$ , réaction positive → régime saturé. ALI2 : sortie ramenée sur $E^-$ par le condensateur $C$ , contre-réaction → régime linéaire. ALI3 : aucune liaison entre sa sortie et ses entrées → régime saturé.

B.2 $E^-$ est à la masse ; par Millman $V^+=\dfrac{R_2V_3+R_1V_2}{R_1+R_2}$ . Le basculement a lieu quand $V^+$ passe par $0$ , soit $V_3=-\dfrac{R_1}{R_2}V_2$ avec $V_2=\pm V_{CC}$ :

V_H = \dfrac{R_1}{R_2}V_{CC} = \dfrac{10}{20}\times12 = 6\ \text{V}

et $\boxed{V_H=6\ \text{V}\ ;\ V_B=-6\ \text{V}}$ .

B.3 ALI2 est un intégrateur inverseur :

V_3(t) = -\dfrac{1}{R_3C}\int V_2(t)\,dt

$V_2$ vaut $\pm12\ \text{V}$ : $V_3$ varie linéairement, avec une pente $\dfrac{12}{R_3C}=\dfrac{12}{10^{4}\times10^{-8}}=1{,}2\times10^{5}\ \text{V/s}$ , entre $V_B$ et $V_H$ : c'est un signal triangulaire. Une montée de $-6$ à $+6\ \text{V}$ dure $\dfrac{12}{1{,}2\times10^{5}}=100\ \mu\text{s}$ ; la descente dure autant, d'où $T=200\ \mu\text{s}$ et $\boxed{f=5\ \text{kHz}}$ .

B.4 ALI1 : comparateur à deux seuils (trigger) ; ALI2 : intégrateur ; ALI3 : comparateur à un seuil. ALI1 et ALI2 bouclés l'un sur l'autre forment un générateur de signaux carré ( $V_2$ ) et triangulaire ( $V_3$ ) ; avec ALI3, l'ensemble est un générateur de signal MLI (modulation de largeur d'impulsions) dont le rapport cyclique est réglé par $V_{\text{réf}}$ .

B.5 ALI3 reçoit $V_{\text{réf}}$ sur $E^+$ et $V_3$ sur $E^-$ : $V_4=+12\ \text{V}$ si $V_{\text{réf}}>V_3$ , $V_4=0$ si $V_{\text{réf}}<V_3$ . $V_3$ est un triangle symétrique de $-6$ à $+6\ \text{V}$ , donc la fraction de période où $V_3<V_{\text{réf}}$ vaut :

\alpha = \dfrac{V_{\text{réf}}-V_B}{V_H-V_B} = \dfrac{3+6}{12}

soit $\boxed{\alpha=0{,}75}$ et, pour le hacheur sous $120\ \text{V}$ , $U_{moy}=0{,}75\times120=\boxed{90\ \text{V}}$ . Faire varier $V_{\text{réf}}$ de $-6$ à $+6\ \text{V}$ balaie $\alpha$ de $0$ à $1$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : schéma fonctionnel à compléter, $\varepsilon=u_C-u_r$ par le soustracteur, $\varepsilon$ en un point et $H_G$ par la formule de Black, avec un tableau $\varepsilon$ / $U_M$ / $n_S$ (contrôle 2019) ; générateur à trois A.L.I, régimes, seuils du comparateur à deux seuils, $V_3(t)$ intégrale de $V_2$ , fonction de chaque montage puis $V_4$ avec $V_{\text{réf}}$ (contrôle 2022) ; multivibrateur astable, seuils et période $T=2RC\ln(1+2R_1/R_2)$ (contrôle 2016). Séries et cours de révision : parties « Asservissement » et « formule de Black » sans exercice associé.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill MCC-C.1 — régulation de vitesse : lire H1 et HM dans un tableau, formule de Black, erreur statique

Entraînement 01 / 02

Drill MCC-C.1 — régulation de vitesse : lire H1 et HM dans un tableau, formule de Black, erreur statique

5 questionsCorrigé masqué

La vitesse du moteur à courant continu d'un tapis de course est régulée. La consigne est $u_C=K_C\cdot n_C$ avec $K_C=0{,}01\,\text{V/(tr/min)}$ ; la dynamo tachymétrique délivre $30\,\text{V}$ pour $1000\,\text{tr/min}$ ; un pont diviseur de rapport $K_1=1/3$ puis un suiveur ( $K_2=1$ ) donnent $u_r$ ; $\varepsilon=u_C-u_r$ . Le tableau donne la tension $U_M$ appliquée par la carte variateur et la vitesse $n_S$ obtenue pour quelques valeurs de l'écart $\varepsilon$ .

$\varepsilon$ (V)	0,6	0,8	1,0	1,2
$U_M$ (V)	45	60	75	90
$n_S$ (tr/min)	540	720	900	1080

Déduire du tableau les transmittances $H_1=U_M/\varepsilon$ de la carte et $H_M=n_S/U_M$ du moteur.
Calculer la constante $K_{dt}$ de la dynamo et vérifier que $\varepsilon=0$ lorsque $n_S=n_C$ .
Établir, par la formule de Black, l'expression de $H_G=n_S/n_C$ et calculer sa valeur.
Pour $n_C=1000\,\text{tr/min}$ , calculer $n_S$ et $\varepsilon$ ; retrouver cette ligne dans le tableau.
On double le gain de la carte ( $H_1=150$ ). Calculer la nouvelle vitesse pour $n_C=1000\,\text{tr/min}$ et comparer les erreurs statiques.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Toutes les colonnes donnent le même rapport : $H_1=\dfrac{45}{0{,}6}=\boxed{75}$ et $H_M=\dfrac{540}{45}=\boxed{12\ \text{(tr/min)/V}}$ .

2. $K_{dt}=\dfrac{30}{1000}=0{,}03\ \text{V/(tr/min)}$ ; la chaîne de retour vaut $K_1K_2K_{dt}=\dfrac{1}{3}\times1\times0{,}03=0{,}01=K_C$ : pour $n_S=n_C$ , $u_r=u_C$ et $\varepsilon=0$ .

3. Idée : $\dfrac{\text{chaîne directe}}{1+\text{boucle ouverte}}$ , puis le bloc de consigne en amont.

H_G = K_C\cdot\dfrac{H_1H_M}{1+H_1H_M\,K_1K_2K_{dt}}

$H_1H_M=900$ et $900\times0{,}01=9$ : $H_G=\dfrac{0{,}01\times900}{1+9}=\boxed{0{,}9}$ .

4. $n_S=0{,}9\times1000=\boxed{900\ \text{tr/min}}$ et $\varepsilon=0{,}01\times(1000-900)=\boxed{1{,}0\ \text{V}}$ : c'est la troisième colonne ( $\varepsilon=1{,}0$ V, $U_M=75$ V, $n_S=900$ tr/min).

5. $H_1H_M=1800$ : $H_G=\dfrac{18}{1+18}=\dfrac{18}{19}$ et $n_S=\dfrac{18}{19}\times1000\approx\boxed{947{,}4\ \text{tr/min}}$ . L'erreur statique passe de $100$ à environ $52{,}6\ \text{tr/min}$ : augmenter le gain de la chaîne directe réduit l'erreur, sans l'annuler.

2 Drill MCC-C.2 — oscillateur astable à A.L.I : seuils, période, choix du condensateur

Entraînement 02 / 02

Drill MCC-C.2 — oscillateur astable à A.L.I : seuils, période, choix du condensateur

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Thème rarement posé au bac mais toujours présent dans le cours d'asservissement : l'horloge de la carte de commande d'un hacheur est un multivibrateur astable à un A.L.I parfait, alimenté en $\pm V_{sat}=\pm12\,\text{V}$ (figure 1). On donne $R_1=R_2=10\,\text{k}\Omega$ , $R=10\,\text{k}\Omega$ et $C=47\,\text{nF}$ .

Quel est le régime de fonctionnement de l'A.L.I ? Justifier.
Exprimer $V^+$ en fonction de $v_s$ , $R_1$ et $R_2$ , puis calculer les tensions de seuil $V_H$ et $V_L$ .
La période du signal de sortie est $T=2RC\ln\left(1+\dfrac{2R_1}{R_2}\right)$ . Calculer $T$ et la fréquence $f$ .
Quelle valeur de $C$ faudrait-il pour obtenir exactement $f=1\,\text{kHz}$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : la réaction se fait sur $E^+$ par $R_2$ . La sortie est ramenée sur l'entrée non inverseuse : réaction positive, régime saturé, $v_s=\pm12\,\text{V}$ .

2. Pont diviseur : $V^+=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,v_s=0{,}5\,v_s$ . Pour $v_s=+12\ \text{V}$ , $\boxed{V_H=6\ \text{V}}$ ; pour $v_s=-12\ \text{V}$ , $\boxed{V_L=-6\ \text{V}}$ . Le condensateur oscille entre ces deux seuils.

3. $T=2\times10^4\times47\times10^{-9}\times\ln3=\boxed{1{,}03\ \text{ms}}$ et $f=\dfrac{1}{T}\approx\boxed{968\ \text{Hz}}$ .

4. $C=\dfrac{T}{2R\ln3}=\dfrac{10^{-3}}{2\times10^4\times1{,}099}=\boxed{45{,}5\ \text{nF}}$ (valeur non normalisée : on ajusterait plutôt $R$ avec un potentiomètre).

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