COT-ACotation fonctionnelle

Chaîne de cotes et condition de jeu (Amaxi / Amini)

Idée directrice

La cotation fonctionnelle traduit une condition de jeu ou de contact par une chaîne de cotes : la cote condition s'exprime comme somme algébrique de cotes de pièces. Les équations $A_{\max}$ et $A_{\min}$ permutent maxi/mini selon le sens dans la chaîne.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Chaîne de cotes » ; « $A_{\max}$ / $A_{\min}$ » ; « cotation fonctionnelle »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Dessiner la chaîne avant d'écrire les équations.
Pour $A_{\max}$ : max des cotes positives, min des cotes négatives.
Contrôler l'unité (mm) et le signe du jeu.
Cote inconnue : son mini se tire de l'équation de $A_{\max}$ , son maxi de celle de $A_{\min}$ ; contrôle final $IT_A=\sum IT_i$ .
Anneau élastique : son épaisseur est un maillon, de la face tournée vers le jeu à celle qui appuie sur le flanc de gorge.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Additionner toutes les cotes dans le même sens ; permuter max/min au hasard ; oublier une cote de la chaîne.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

La cotation fonctionnelle demande d'écrire la chaîne de cotes de la condition de jeu $A$ . Sur un mécanisme type motoréducteur (sujet bac 2017), la condition de jeu $A$ s'écrit avec les cotes $A_{18}$ , $A_{17}$ , $A_{19}$ , $A_{16}$ et $A_{23}$ . Le corrigé donne :

A_{\max}=A_{18,\max}-(A_{17,\min}+A_{19,\min}+A_{16,\min}+A_{23,\min})

A_{\min}=A_{18,\min}-(A_{17,\max}+A_{19,\max}+A_{16,\max}+A_{23,\max})

Expliquer en une phrase pourquoi $A_{18}$ est positive dans $A$ alors que $A_{17}$ , $A_{19}$ , $A_{16}$ , $A_{23}$ sont soustraites.
On donne (en mm) : $A_{18}=40\pm 0{,}1$ ; $A_{17}=10\pm 0{,}05$ ; $A_{19}=8\pm 0{,}05$ ; $A_{16}=12\pm 0{,}05$ ; $A_{23}=9\pm 0{,}05$ . Calculer $A_{\max}$ et $A_{\min}$ .
En déduire le jeu moyen $A_{\mathrm{moy}}$ et l'intervalle de jeu $\Delta A=A_{\max}-A_{\min}$ .

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Idée : dans une chaîne, on suit le parcours du jeu : les cotes dans le même sens que la condition s'ajoutent en maxi pour $A_{\max}$ ; les cotes opposées s'inversent.

1. $A_{18}$ est la cote englobante (logement) ; les autres cotes sont les épaisseurs englobées qui ferment la chaîne — d'où la soustraction.

2. $A_{18,\max}=40{,}1$ , $A_{18,\min}=39{,}9$ . Sum min englobées $=9{,}95+7{,}95+11{,}95+8{,}95=38{,}8$ . Sum max $=10{,}05+8{,}05+12{,}05+9{,}05=39{,}2$ .

$A_{\max}=40{,}1-38{,}8=\mathbf{1{,}3\,mm}$ ; $A_{\min}=39{,}9-39{,}2=\mathbf{0{,}7\,mm}$ .

3. $A_{\mathrm{moy}}=(1{,}3+0{,}7)/2=\mathbf{1{,}0\,mm}$ ; $\Delta A=0{,}6\,\mathrm{mm}$ .

Vérifier que $A_{\min}>0$ si l'on exige un jeu (pas de frettage involontaire).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : justifier la présence de la condition (montage d'un anneau élastique, réserve de taraudage, dépassement d'une vis) ; dire si la condition est mini ou maxi ; calculer la cote tolérancée d'une pièce de la chaîne à partir des bornes de la condition (bac 2019 contrôle).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill COT-A.1 — Équations Amaxi et Amini

Entraînement 01 / 05

Drill COT-A.1 — Équations Amaxi et Amini

1 questionCorrigé masqué

Chaîne de cotes : Pour une condition de jeu $A$ avec une cote englobante $A_e$ et trois cotes englobées $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , écrire $A_{\max}$ et $A_{\min}$ en suivant la logique du corrigé 2017 ( $A_{\max}=A_{18,\max}-\sum A_{i,\min}$ ).

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$A_{\max}=A_{e,\max}-(A_{1,\min}+A_{2,\min}+A_{3,\min})$ .

$A_{\min}=A_{e,\min}-(A_{1,\max}+A_{2,\max}+A_{3,\max})$ .

Les maxi/mini s'inversent sur les cotes soustraites pour maximiser ou minimiser le jeu.

Relecture : vérifier le sens des cotes (ou des moments) et l'homogénéité des unités avant de conclure.

2 Drill COT-A.2 — Calcul numérique de jeu

Entraînement 02 / 05

Drill COT-A.2 — Calcul numérique de jeu

2 questionsCorrigé masqué

En cotation fonctionnelle, Soit $A_{\max}=A_{18,\max}-\sum A_{i,\min}$ avec $A_{18}=50\pm 0{,}2$ mm et trois cotes englobées de $15\pm 0{,}05$ , $12\pm 0{,}05$ , $20\pm 0{,}1$ mm.

Calculer $A_{\max}$ et $A_{\min}$ .
Le jeu minimal est-il positif ?

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Sum min $=14{,}95+11{,}95+19{,}9=46{,}8$ ; sum max $=15{,}05+12{,}05+20{,}1=47{,}2$ .

$A_{\max}=50{,}2-46{,}8=\mathbf{3{,}4\,mm}$ ; $A_{\min}=49{,}8-47{,}2=\mathbf{2{,}6\,mm}$ . Oui, $A_{\min}>0$ : jeu assuré.

Relecture : vérifier le sens des cotes (ou des moments) et l'homogénéité des unités avant de conclure.

3 Drill COT-A.3 — Rôle d'une bague de réglage

Entraînement 03 / 05

Drill COT-A.3 — Rôle d'une bague de réglage

2 questionsCorrigé masqué

Sur une machine à pain (bac 2015), le corrigé justifie l'emploi de la pièce $(8)$ par : « Régler le jeu de fonctionnement des roulements $(14)$ ».

Quelle est la fonction de cette pièce dans la chaîne de cotes ?
Si l'on remplace $(8)$ par une pièce plus épaisse, le jeu de fonctionnement des roulements augmente-t-il ou diminue-t-il ? Argumenter.

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1. La pièce $(8)$ est un élément de réglage (bague/entretoise) qui ferme la chaîne de cotes du jeu de roulement.

2. Une épaisseur plus grande de $(8)$ réduit le jeu axial disponible pour les roulements (elle occupe plus de place dans le logement), sauf si elle est placée hors de la branche englobée — d'où l'intérêt de la tracer sur la chaîne.

4 Drill COT-A.4 — Tracer la condition A

Entraînement 04 / 05

Drill COT-A.4 — Tracer la condition A

2 questionsCorrigé masqué

Le sujet demande de « Tracer ci-dessus les chaines de cotes relatives aux conditions A et B » (cotation fonctionnelle, bac 2015).

Quels éléments graphiques doit comporter une chaîne de cotes correctement tracée ?
Pourquoi trace-t-on deux chaînes distinctes pour $A$ et $B$ ?

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1. Une flèche de cote condition, les cotes de pièces en ligne brisée fermant le parcours, les repères des surfaces, le sens des flèches cohérent.

2. $A$ et $B$ sont deux conditions indépendantes (jeux ou contacts différents) : chacune a sa propre chaîne et ses propres équations maxi/mini.

5 Drill COT-A.5 — Calculer une cote tolérancée à partir de la condition de jeu

Entraînement 05 / 05

Drill COT-A.5 — Calculer une cote tolérancée à partir de la condition de jeu

4 questionsCorrigé masqué

Dans l'alésage d'un boîtier (13), on empile depuis un épaulement : un roulement (17'), une entretoise (16) et un roulement (17). Un anneau élastique pour alésage (15), logé dans une gorge du boîtier, arrête l'empilement. La condition de jeu $J_B$ se situe entre la bague extérieure du roulement (17) et l'anneau élastique (15).

Cotes connues (cotation fonctionnelle, en mm) : $b_{13}=64{,}5^{\,0}_{-0{,}05}$ (boîtier, de l'épaulement au flanc de la gorge) ; $b_{15}=2^{\,0}_{-0{,}06}$ (épaisseur de l'anneau) ; $b_{17}=b_{17'}=12^{\,0}_{-0{,}12}$ (largeur des roulements). On impose $0{,}05\le J_B\le0{,}55$ .

Justifier la présence de la condition $J_B$ .
Écrire la relation de la chaîne de cotes, puis les équations de $J_{B\max}$ et $J_{B\min}$ .
Calculer la cote tolérancée $b_{16}$ de l'entretoise.
Vérifier le résultat par les intervalles de tolérance.

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Idée : c'est le problème inverse de la chaîne de cotes. La cote inconnue se tire des deux équations limites : son mini de $J_{B\max}$ , son maxi de $J_{B\min}$ .

1. $J_B$ est une condition de montage de l'anneau élastique (15) : sans ce jeu, l'empilement des pièces pourrait empêcher l'anneau d'entrer dans sa gorge.

2. $J_B=b_{13}-b_{15}-b_{17'}-b_{16}-b_{17}$ , d'où

J_{B\max}=b_{13\max}-b_{15\min}-b_{17'\min}-b_{16\min}-b_{17\min}\qquad J_{B\min}=b_{13\min}-b_{15\max}-b_{17'\max}-b_{16\max}-b_{17\max}

3. $b_{16\min}=64{,}5-1{,}94-11{,}88-11{,}88-0{,}55=38{,}25\ \mathrm{mm}$ ; $b_{16\max}=64{,}45-2-12-12-0{,}05=38{,}4\ \mathrm{mm}$ . Soit $b_{16}=38{,}4^{\,0}_{-0{,}15}$ .

4. $IT_{J_B}=0{,}55-0{,}05=0{,}5$ et $\sum IT=0{,}05+0{,}06+0{,}12+0{,}12+0{,}15=0{,}5$ : les deux sont égaux, la chaîne est cohérente.

Relier ce raisonnement au bac

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Chaîne de cotes et condition de jeu (Amaxi / Amini)

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

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Drill COT-A.1 — Équations Amaxi et Amini

Drill COT-A.2 — Calcul numérique de jeu

Drill COT-A.3 — Rôle d'une bague de réglage

Drill COT-A.4 — Tracer la condition A

Drill COT-A.5 — Calculer une cote tolérancée à partir de la condition de jeu

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