FLX-ARésistance des matériaux — flexion

Flexion d'une vis sans fin : effort tranchant, Mf et contrainte

Idée directrice

En flexion, on assimile la pièce à une poutre, on calcule les efforts tranchants et le moment fléchissant maximal, puis la contrainte $\sigma_{\max}=M_f\cdot v/I_{Gz}$ (forme $32 M_f/(\pi d^3)$ pour un cylindre plein). L'homogénéité des unités ( $\mathrm{N\cdot mm}$ , $\mathrm{mm}$ ) est critique.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Étude de flexion » ; « contrainte normale maximale » ; « moment fléchissant »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Toujours écrire la formule littérale avant l'AN.
Cohérence $M_f$ ( $\mathrm{N\cdot mm}$ vs $\mathrm{N\cdot m}$ ) : facteur $1000$ .
Pour un cylindre plein, mémoriser $W=\pi d^3/32$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Utiliser $M_f$ en $\mathrm{N\cdot m}$ avec $d$ en $\mathrm{mm}$ sans conversion ; oublier le $32/\pi$ .

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Étude en flexion : Une vis sans fin $(11)$ est assimilée à une poutre cylindrique pleine de diamètre $d=8\,\mathrm{mm}$ . Les réactions d'appui valent $R_A=R_D=750\,\mathrm{N}$ ; une charge répartie $q=50\,\mathrm{N/mm}$ s'applique sur $30\,\mathrm{mm}$ entre les appuis (bac 2016). Le diagramme des moments donne $M_{f,\max}=3500\,\mathrm{N\cdot mm}$ .

Rappeler l'expression de $\sigma_{\max}$ en flexion pour une section circulaire pleine en fonction de $M_f$ et $d$ .
Calculer $\sigma_{\max}$ avec $M_{f,\max}=3500\,\mathrm{N\cdot mm}$ et $d=8\,\mathrm{mm}$ .
On admet $\sigma_{\mathrm{adm}}=72\,\mathrm{N/mm^2}$ . La vis résiste-t-elle ? Comparer à $R_{pe,\min}=72\,\mathrm{N/mm^2}$ du corrigé.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : $\sigma=M/W$ avec $W=I/v=\pi d^3/32$ pour un cercle plein.

1. $\sigma_{\max}=\dfrac{32\,M_{f,\max}}{\pi d^3}$ .

2. $\sigma_{\max}=\dfrac{32\times 3500}{\pi\times 8^3}=\dfrac{112000}{\pi\times 512}\approx\mathbf{69{,}6\,N/mm^2}$ (corrigé : $69{,}63\,\mathrm{N/mm^2}$ ).

3. $69{,}6<72$ : la contrainte reste sous l'admissible retenue ; $R_{pe,\min}=72\,\mathrm{N/mm^2}$ est la résistance pratique minimale associée.

Vérification d'unités : $M_f$ en $\mathrm{N\cdot mm}$ , $d$ en $\mathrm{mm}$ $\Rightarrow$ $\sigma$ en $\mathrm{N/mm^2}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill FLX-A.1 — Effort tranchant entre appuis

Entraînement 01 / 03

Drill FLX-A.1 — Effort tranchant entre appuis

2 questionsCorrigé masqué

En flexion de la poutre cylindrique, En flexion, Poutre sur appuis $A$ et $D$ avec $R_A=750\,\mathrm{N}$ . Entre $A$ et le début de la charge répartie, $T=R_A$ .

Que vaut $T$ sur ce tronçon ?
Si une charge $q=50\,\mathrm{N/mm}$ s'étend sur $30\,\mathrm{mm}$ , quelle force totale $F_q$ applique-t-elle ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $T=\mathbf{750\,N}$ .

2. $F_q=50\times 30=\mathbf{1500\,N}$ . Avec $R_A=R_D=750\,\mathrm{N}$ , l'équilibre vertical est cohérent ( $750+750=1500$ ).

On vérifie l'homogénéité des unités avant de conclure le résultat numérique.

Relecture : vérifier le sens des cotes (ou des moments) et l'homogénéité des unités avant de conclure.

2 Drill FLX-A.2 — Contrainte pour d=10 mm

Entraînement 02 / 03

Drill FLX-A.2 — Contrainte pour d=10 mm

2 questionsCorrigé masqué

En flexion de la poutre cylindrique, Flexion de la poutre cylindrique : Même $M_{f,\max}=3500\,\mathrm{N\cdot mm}$ , mais on choisit $d=10\,\mathrm{mm}$ .

Calculer $\sigma_{\max}=32 M_f/(\pi d^3)$ .
Comparer à $72\,\mathrm{N/mm^2}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\sigma=\dfrac{32\times 3500}{\pi\times 1000}\approx\mathbf{35{,}7\,N/mm^2}$ .

2. $35{,}7\ll 72$ : large marge — augmenter $d$ réduit $\sigma$ en $1/d^3$ .

On vérifie l'homogénéité des unités avant de conclure le résultat numérique.

Relecture : vérifier le sens des cotes (ou des moments) et l'homogénéité des unités avant de conclure.

3 Drill FLX-A.3 — Piège d'unités N·m / N·mm

Entraînement 03 / 03

Drill FLX-A.3 — Piège d'unités N·m / N·mm

2 questionsCorrigé masqué

En flexion de la poutre cylindrique, Diagramme des moments en flexion : Un élève calcule $\sigma=32\times 3{,}5/(\pi\times 8^3)$ en prenant $M_f=3{,}5\,\mathrm{N\cdot m}$ « déjà en N·m » mais $d$ en mm.

Quel résultat erroné obtient-il approximativement ?
Quelle conversion fallait-il faire ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\sigma\approx 0{,}0696\,\mathrm{N/mm^2}$ — mille fois trop petit.

2. Convertir $3{,}5\,\mathrm{N\cdot m}=3500\,\mathrm{N\cdot mm}$ (ou exprimer $d$ en m). Le corrigé travaille en $\mathrm{N\cdot mm}$ et $\mathrm{N/mm^2}$ .

Relecture : vérifier le sens des cotes (ou des moments) et l'homogénéité des unités avant de conclure.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Flexion d'une vis sans fin : effort tranchant, Mf et contrainte

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill FLX-A.1 — Effort tranchant entre appuis

Drill FLX-A.2 — Contrainte pour d=10 mm

Drill FLX-A.3 — Piège d'unités N·m / N·mm

Relier ce raisonnement au bac