Flexion du maneton (34) : moment à l'encastrement

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Le maneton $(34)$ est assimilé à une poutre cylindrique pleine, encastrée en $A$ , en flexion plane simple. Une charge verticale $F_{32}=200\,\mathrm{N}$ s'applique en $B$ , avec $AB=26\,\mathrm{mm}$ (bac 2021 contrôle). L'abscisse $x$ est mesurée de $A$ vers $B$ , avec $0\le x\le26\,\mathrm{mm}$ . On néglige le poids propre. Les valeurs $R_A$ et $M_A$ désignent les intensités positives des actions en $A$ ; la convention de signe du moment fléchissant sur le tronçon gauche est précisée à la question 2.

Écrire l'équilibre des moments en $A$ et calculer $M_A=F_{32}\times AB$ en $\mathrm{N\cdot m}$ .
Avec la convention $M_f(x)+M_A-R_Ax=0$ , déterminer d'abord $R_A$ par l'équilibre des forces. En isolant le tronçon compris entre $A$ et une section d'abscisse $x$ , établir que le moment fléchissant vaut $M_f(x)=200x-5200$ ( $x$ en $\mathrm{mm}$ , $M_f$ en $\mathrm{N\cdot mm}$ ), puis calculer $M_f(0)$ et $M_f(26)$ .
En déduire la valeur maximale $M_{f,\max}=\max|M_f(x)|$ en $\mathrm{N\cdot mm}$ et en $\mathrm{N\cdot m}$ . En quelle section est-elle atteinte ?

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Idée : appliquer l'équilibre de la poutre entière, puis celui du tronçon gauche coupé. Le dimensionnement utilise la valeur absolue du moment fléchissant.

1. $M_A-F_{32}\times AB=0\Rightarrow M_A=200\times 26\times 10^{-3}=\mathbf{5{,}2\,N\cdot m}$ .

2. Idée : le moment fléchissant dans une section se calcule avec les seules actions situées d'un côté de la coupure. On isole le tronçon $[A,x]$ . L'équilibre vertical donne $R_A-F_{32}=0$ . Les actions transmises en $A$ sont l'effort $R_A=F_{32}=200\,\mathrm{N}$ et le moment d'encastrement $M_A=5200\,\mathrm{N\cdot mm}$ , d'où $M_f(x)=R_A\,x-M_A=200x-5200$ ( $x$ en $\mathrm{mm}$ ). Applications : $x=0$ donne $M_f=-5200\,\mathrm{N\cdot mm}=-5{,}2\,\mathrm{N\cdot m}$ ; $x=26$ donne $M_f=200\times 26-5200=0$ , cohérent puisqu'aucun moment extérieur n'est appliqué en $B$ .

3. $M_f$ croît de $-5200$ à $0\,\mathrm{N\cdot mm}$ sur $[0,26]$ . Son maximum algébrique est donc nul en $B$ , mais sa valeur absolue est maximale en $A$ : $M_{f,\max}=\max|M_f|=5200\,\mathrm{N\cdot mm}=5{,}2\,\mathrm{N\cdot m}$ . C'est cette dernière valeur qui intervient dans le dimensionnement.

Entraînement 01 / 01

Transfert — du moment au diamètre : série normalisée et longueur du porte-à-faux

4 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Le maneton d'un dispositif de découpage est assimilé à une poutre cylindrique pleine en acier, encastrée en $A$ et sollicitée en flexion plane simple : une charge verticale $F$ , perpendiculaire à la ligne moyenne, est appliquée en $B$ à la distance $AB$ du plan d'encastrement, et aucun autre effort extérieur n'agit sur la poutre. L’abscisse x est mesurée de A vers B, entre 0 et AB. Le critère étudié est la contrainte normale de flexion dans ce modèle statique.

Acier : $R_e=200\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=3$ , donc contrainte pratique $R_{pe}=R_e/s$ . Pour une section circulaire pleine de diamètre $d$ , le quotient du moment quadratique par la distance maximale à la fibre neutre vaut $I_G/v=\pi d^3/32$ , et la contrainte normale maximale en flexion s'écrit $\sigma_{\max}=M_{f\max}\big/(I_G/v)$ . La condition de résistance est $\sigma_{\max}\le R_{pe}$ .

Contrainte d'approvisionnement : le bureau d'études ne peut retenir qu'un diamètre de la série $\{8\ ;\ 10\ ;\ 12\ ;\ 14\}$ exprimée en millimètres.

Cas nominal : $F=200\,\mathrm{N}$ , $AB=26\,\mathrm{mm}$ . Calculer le moment fléchissant maximal en $\mathrm{N\cdot mm}$ et préciser en quelle abscisse il apparaît sur le diagramme des moments. En déduire l'expression littérale de $d_{\min}$ , puis sa valeur, puis le diamètre retenu dans la série.
Une cadence de production plus élevée porte la charge à $F'=320\,\mathrm{N}$ , la distance $AB$ restant inchangée. Recalculer $d_{\min}$ : le diamètre retenu à la question 1 convient-il encore ? Conclure.
Le montage autorise à ramener le porte-à-faux à $AB'=20\,\mathrm{mm}$ , toujours sous $F'=320\,\mathrm{N}$ . Le diamètre retenu à la question 1 redevient-il acceptable ? Déterminer de plus la valeur maximale de $AB$ qui le rendrait admissible sous cette charge.
Dans la configuration de la question 3, avec le diamètre de la question 1, calculer la contrainte normale maximale réellement atteinte et le pourcentage de $R_{pe}$ utilisé. Que conclure sur la marge dont dispose le concepteur ?

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

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Données et relations posées une fois pour toutes : $R_{pe}=\dfrac{R_e}{s}=\dfrac{200}{3}\approx66{,}7\,\mathrm{N/mm^2}$ . La poutre ne porte qu'une charge en bout : le moment fléchissant vaut $|M_f(x)|=F\,(AB-x)$ , maximal en $x=0$ , c'est-à-dire à l'encastrement $A$ , où $M_{f\max}=F\times AB$ . La condition de résistance s'inverse en

\frac{M_{f\max}}{\pi d^{3}/32}\le \frac{R_e}{s}\quad\Longleftrightarrow\quad d\ \ge\ d_{\min}=\sqrt[3]{\frac{32\,s\,M_{f\max}}{\pi\,R_e}}

1. $M_{f\max}=200\times26=\mathbf{5\,200\,N\cdot mm}$ ( $=5{,}2\,\mathrm{N\cdot m}$ ), atteint en $x=0$ , à l'encastrement — et non en $B$ , où le moment s'annule. Application numérique :

d_{\min}=\sqrt[3]{\frac{32\times3\times5\,200}{\pi\times200}}\approx\sqrt[3]{794{,}5}\approx 9{,}26\ \mathrm{mm}

La valeur $9{,}26\,\mathrm{mm}$ n’est pas proposée. Le diamètre $8\,\mathrm{mm}$ est disponible mais inférieur au minimum requis ; on retient donc $d=10\,\mathrm{mm}$ , le premier diamètre de la série satisfaisant la condition. Arrondir le minimum vers le bas violerait ici la résistance demandée.

2. $M_{f\max}'=320\times26=8\,320\,\mathrm{N\cdot mm}$ , donc

d_{\min}'=\sqrt[3]{\frac{32\times3\times8\,320}{\pi\times200}}\approx\sqrt[3]{1\,271{,}2}\approx 10{,}83\ \mathrm{mm}

Comme $10{,}83>10$ , le diamètre de $10\,\mathrm{mm}$ ne convient plus : il faudrait passer à $12\,\mathrm{mm}$ . La charge a augmenté de $60\,\%$ mais le diamètre requis seulement de $17\,\%$ , parce que $d_{\min}$ varie comme $M_{f\max}^{1/3}$ .

3. Avec $AB'=20\,\mathrm{mm}$ : $M_{f\max}''=320\times20=6\,400\,\mathrm{N\cdot mm}$ , donc

d_{\min}''=\sqrt[3]{\frac{32\times3\times6\,400}{\pi\times200}}\approx\sqrt[3]{977{,}9}\approx 9{,}93\ \mathrm{mm}\ \le\ 10\ \mathrm{mm}

Le diamètre de $10\,\mathrm{mm}$ redevient acceptable. Pour la longueur limite, $F^{\prime}AB\le\dfrac{\pi R_e d^3}{32s}$ donne $AB\le\dfrac{\pi\times200\times10^3}{32\times3\times320}\,\mathrm{mm}$ . La borne exacte vaut environ $20{,}4531\,\mathrm{mm}$ ; si la longueur doit être choisie au dixième de millimètre, $20{,}4\,\mathrm{mm}$ convient mais $20{,}5\,\mathrm{mm}$ dépasse la borne. Avec $AB=20\,\mathrm{mm}$ , le critère reste satisfait en conservant le diamètre. Les deux paramètres agissent différemment : $\sigma$ est proportionnelle à $AB$ et inversement proportionnelle à $d^3$ .

4. $\dfrac{I_G}{v}=\dfrac{\pi\times10^{3}}{32}\approx98{,}2\,\mathrm{mm^3}$ , donc

\sigma_{\max}=\frac{6\,400}{98{,}2}\approx 65{,}2\ \mathrm{N/mm^2}\qquad\text{et}\qquad \frac{\sigma_{\max}}{R_{pe}}=\frac{65{,}2}{66{,}7}\approx 97{,}8\ \%

La configuration utilise environ $97{,}8\,\%$ de la contrainte pratique $R_{pe}=R_e/3$ . La réserve restante avant de dépasser ce critère est donc d’environ $2{,}2\,\%$ de $R_{pe}$ , en plus du coefficient de sécurité déjà introduit dans sa définition. À diamètre fixé, la limite est atteinte vers $F=327{,}25\,\mathrm{N}$ si $AB=20\,\mathrm{mm}$ , ou vers $AB=20{,}4531\,\mathrm{mm}$ si $F=320\,\mathrm{N}$ . Cette faible réserve appelle une comparaison avec les variations prévues, qui ne sont pas données ici. Une charge future plus élevée pourrait demander un diamètre supérieur ou un porte-à-faux plus court, selon les contraintes géométriques disponibles ; le modèle seul ne permet pas d’exclure l’un des deux choix.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Transfert — du moment au diamètre : série normalisée et longueur du porte-à-faux

Relier ce raisonnement au bac