FLX-CRésistance des matériaux — flexion

Flexion du maneton (34) : moment à l'encastrement

Idée directrice

En flexion plane simple d'une poutre cylindrique encastrée, on calcule d'abord $M_A=F\times AB$ , puis on lit $M_{f,\max}$ sur le diagramme des moments.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« maneton à la flexion » ; « poutre cylindrique encastrée » ; « diagramme des moments »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Convertir $AB$ en mètres avant $M$ en $\mathrm{N\cdot m}$ , ou rester en $\mathrm{N\cdot mm}$ .
Écrire le littéral $M_A=F\times AB$ avant l'application numérique.
Le maximum de $|M_f|$ est à l'encastrement pour une charge en bout.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier $10^{-3}$ ( $26\,\mathrm{mm}$ ) donne $5200\,\mathrm{N\cdot m}$ au lieu de $5{,}2$ ; placer $M_{f,\max}$ en $B$ où $M_f=0$ .

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Le maneton $(34)$ est assimilé à une poutre cylindrique pleine, encastrée en $A$ , en flexion plane simple. Une charge verticale $F_{32}=200\,\mathrm{N}$ s'applique en $B$ , avec $AB=26\,\mathrm{mm}$ (bac 2021 contrôle). L'abscisse $x$ est mesurée de $A$ vers $B$ , avec $0\le x\le26\,\mathrm{mm}$ . On néglige le poids propre. Les valeurs $R_A$ et $M_A$ désignent les intensités positives des actions en $A$ ; la convention de signe du moment fléchissant sur le tronçon gauche est précisée à la question 2.

Écrire l'équilibre des moments en $A$ et calculer $M_A=F_{32}\times AB$ en $\mathrm{N\cdot m}$ .
Avec la convention $M_f(x)+M_A-R_Ax=0$ , déterminer d'abord $R_A$ par l'équilibre des forces. En isolant le tronçon compris entre $A$ et une section d'abscisse $x$ , établir que le moment fléchissant vaut $M_f(x)=200x-5200$ ( $x$ en $\mathrm{mm}$ , $M_f$ en $\mathrm{N\cdot mm}$ ), puis calculer $M_f(0)$ et $M_f(26)$ .
En déduire la valeur maximale $M_{f,\max}=\max|M_f(x)|$ en $\mathrm{N\cdot mm}$ et en $\mathrm{N\cdot m}$ . En quelle section est-elle atteinte ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : appliquer l'équilibre de la poutre entière, puis celui du tronçon gauche coupé. Le dimensionnement utilise la valeur absolue du moment fléchissant.

1. $M_A-F_{32}\times AB=0\Rightarrow M_A=200\times 26\times 10^{-3}=\mathbf{5{,}2\,N\cdot m}$ .

2. Idée : le moment fléchissant dans une section se calcule avec les seules actions situées d'un côté de la coupure. On isole le tronçon $[A,x]$ . L'équilibre vertical donne $R_A-F_{32}=0$ . Les actions transmises en $A$ sont l'effort $R_A=F_{32}=200\,\mathrm{N}$ et le moment d'encastrement $M_A=5200\,\mathrm{N\cdot mm}$ , d'où $M_f(x)=R_A\,x-M_A=200x-5200$ ( $x$ en $\mathrm{mm}$ ). Applications : $x=0$ donne $M_f=-5200\,\mathrm{N\cdot mm}=-5{,}2\,\mathrm{N\cdot m}$ ; $x=26$ donne $M_f=200\times 26-5200=0$ , cohérent puisqu'aucun moment extérieur n'est appliqué en $B$ .

3. $M_f$ croît de $-5200$ à $0\,\mathrm{N\cdot mm}$ sur $[0,26]$ . Son maximum algébrique est donc nul en $B$ , mais sa valeur absolue est maximale en $A$ : $M_{f,\max}=\max|M_f|=5200\,\mathrm{N\cdot mm}=5{,}2\,\mathrm{N\cdot m}$ . C'est cette dernière valeur qui intervient dans le dimensionnement.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Transfert — du moment au diamètre : série normalisée et longueur du porte-à-faux

Entraînement 01 / 02

Transfert — du moment au diamètre : série normalisée et longueur du porte-à-faux

4 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Le maneton d'un dispositif de découpage est assimilé à une poutre cylindrique pleine en acier, encastrée en $A$ et sollicitée en flexion plane simple : une charge verticale $F$ , perpendiculaire à la ligne moyenne, est appliquée en $B$ à la distance $AB$ du plan d'encastrement, et aucun autre effort extérieur n'agit sur la poutre. L’abscisse x est mesurée de A vers B, entre 0 et AB. Le critère étudié est la contrainte normale de flexion dans ce modèle statique.

Acier : $R_e=200\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=3$ , donc contrainte pratique $R_{pe}=R_e/s$ . Pour une section circulaire pleine de diamètre $d$ , le quotient du moment quadratique par la distance maximale à la fibre neutre vaut $I_G/v=\pi d^3/32$ , et la contrainte normale maximale en flexion s'écrit $\sigma_{\max}=M_{f\max}\big/(I_G/v)$ . La condition de résistance est $\sigma_{\max}\le R_{pe}$ .

Contrainte d'approvisionnement : le bureau d'études ne peut retenir qu'un diamètre de la série $\{8\ ;\ 10\ ;\ 12\ ;\ 14\}$ exprimée en millimètres.

Cas nominal : $F=200\,\mathrm{N}$ , $AB=26\,\mathrm{mm}$ . Calculer le moment fléchissant maximal en $\mathrm{N\cdot mm}$ et préciser en quelle abscisse il apparaît sur le diagramme des moments. En déduire l'expression littérale de $d_{\min}$ , puis sa valeur, puis le diamètre retenu dans la série.
Une cadence de production plus élevée porte la charge à $F'=320\,\mathrm{N}$ , la distance $AB$ restant inchangée. Recalculer $d_{\min}$ : le diamètre retenu à la question 1 convient-il encore ? Conclure.
Le montage autorise à ramener le porte-à-faux à $AB'=20\,\mathrm{mm}$ , toujours sous $F'=320\,\mathrm{N}$ . Le diamètre retenu à la question 1 redevient-il acceptable ? Déterminer de plus la valeur maximale de $AB$ qui le rendrait admissible sous cette charge.
Dans la configuration de la question 3, avec le diamètre de la question 1, calculer la contrainte normale maximale réellement atteinte et le pourcentage de $R_{pe}$ utilisé. Que conclure sur la marge dont dispose le concepteur ?

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Données et relations posées une fois pour toutes : $R_{pe}=\dfrac{R_e}{s}=\dfrac{200}{3}\approx66{,}7\,\mathrm{N/mm^2}$ . La poutre ne porte qu'une charge en bout : le moment fléchissant vaut $|M_f(x)|=F\,(AB-x)$ , maximal en $x=0$ , c'est-à-dire à l'encastrement $A$ , où $M_{f\max}=F\times AB$ . La condition de résistance s'inverse en

\frac{M_{f\max}}{\pi d^{3}/32}\le \frac{R_e}{s}\quad\Longleftrightarrow\quad d\ \ge\ d_{\min}=\sqrt[3]{\frac{32\,s\,M_{f\max}}{\pi\,R_e}}

1. $M_{f\max}=200\times26=\mathbf{5\,200\,N\cdot mm}$ ( $=5{,}2\,\mathrm{N\cdot m}$ ), atteint en $x=0$ , à l'encastrement — et non en $B$ , où le moment s'annule. Application numérique :

d_{\min}=\sqrt[3]{\frac{32\times3\times5\,200}{\pi\times200}}\approx\sqrt[3]{794{,}5}\approx 9{,}26\ \mathrm{mm}

La valeur $9{,}26\,\mathrm{mm}$ n’est pas proposée. Le diamètre $8\,\mathrm{mm}$ est disponible mais inférieur au minimum requis ; on retient donc $d=10\,\mathrm{mm}$ , le premier diamètre de la série satisfaisant la condition. Arrondir le minimum vers le bas violerait ici la résistance demandée.

2. $M_{f\max}'=320\times26=8\,320\,\mathrm{N\cdot mm}$ , donc

d_{\min}'=\sqrt[3]{\frac{32\times3\times8\,320}{\pi\times200}}\approx\sqrt[3]{1\,271{,}2}\approx 10{,}83\ \mathrm{mm}

Comme $10{,}83>10$ , le diamètre de $10\,\mathrm{mm}$ ne convient plus : il faudrait passer à $12\,\mathrm{mm}$ . La charge a augmenté de $60\,\%$ mais le diamètre requis seulement de $17\,\%$ , parce que $d_{\min}$ varie comme $M_{f\max}^{1/3}$ .

3. Avec $AB'=20\,\mathrm{mm}$ : $M_{f\max}''=320\times20=6\,400\,\mathrm{N\cdot mm}$ , donc

d_{\min}''=\sqrt[3]{\frac{32\times3\times6\,400}{\pi\times200}}\approx\sqrt[3]{977{,}9}\approx 9{,}93\ \mathrm{mm}\ \le\ 10\ \mathrm{mm}

Le diamètre de $10\,\mathrm{mm}$ redevient acceptable. Pour la longueur limite, $F^{\prime}AB\le\dfrac{\pi R_e d^3}{32s}$ donne $AB\le\dfrac{\pi\times200\times10^3}{32\times3\times320}\,\mathrm{mm}$ . La borne exacte vaut environ $20{,}4531\,\mathrm{mm}$ ; si la longueur doit être choisie au dixième de millimètre, $20{,}4\,\mathrm{mm}$ convient mais $20{,}5\,\mathrm{mm}$ dépasse la borne. Avec $AB=20\,\mathrm{mm}$ , le critère reste satisfait en conservant le diamètre. Les deux paramètres agissent différemment : $\sigma$ est proportionnelle à $AB$ et inversement proportionnelle à $d^3$ .

4. $\dfrac{I_G}{v}=\dfrac{\pi\times10^{3}}{32}\approx98{,}2\,\mathrm{mm^3}$ , donc

\sigma_{\max}=\frac{6\,400}{98{,}2}\approx 65{,}2\ \mathrm{N/mm^2}\qquad\text{et}\qquad \frac{\sigma_{\max}}{R_{pe}}=\frac{65{,}2}{66{,}7}\approx 97{,}8\ \%

La configuration utilise environ $97{,}8\,\%$ de la contrainte pratique $R_{pe}=R_e/3$ . La réserve restante avant de dépasser ce critère est donc d’environ $2{,}2\,\%$ de $R_{pe}$ , en plus du coefficient de sécurité déjà introduit dans sa définition. À diamètre fixé, la limite est atteinte vers $F=327{,}25\,\mathrm{N}$ si $AB=20\,\mathrm{mm}$ , ou vers $AB=20{,}4531\,\mathrm{mm}$ si $F=320\,\mathrm{N}$ . Cette faible réserve appelle une comparaison avec les variations prévues, qui ne sont pas données ici. Une charge future plus élevée pourrait demander un diamètre supérieur ou un porte-à-faux plus court, selon les contraintes géométriques disponibles ; le modèle seul ne permet pas d’exclure l’un des deux choix.

2 Transfert — encastrement ou deux appuis : diviser le moment fléchissant par quatre

Entraînement 02 / 02

Transfert — encastrement ou deux appuis : diviser le moment fléchissant par quatre

4 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Un axe de commande doit transmettre une charge verticale $F=300\,\mathrm{N}$ , perpendiculaire à sa ligne moyenne, appliquée à $L=40\,\mathrm{mm}$ de son support. Il est assimilé à une poutre cylindrique pleine de section circulaire, sollicitée en flexion plane simple ; on néglige son poids propre et on reste en statique, sans fatigue. Acier : limite élastique $R_e=240\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=3$ .

Deux architectures sont proposées. Montage 1 : l'axe est encastré à une extrémité et la charge s'applique à $L=40\,\mathrm{mm}$ de l'encastrement. Montage 2 : l'axe repose sur deux appuis distants de $L=40\,\mathrm{mm}$ et la charge s'applique au milieu. Pour une section circulaire pleine de diamètre $d$ , $I_G/v=\pi d^{3}/32$ , et la contrainte normale maximale de flexion vaut $\sigma_{\max}=M_{f\max}/(I_G/v)$ .

Pour chaque montage, décrire l'allure du diagramme des moments et donner la valeur du moment fléchissant maximal, en précisant la section où il apparaît.
Calculer la contrainte pratique $R_{pe}=R_e/s$ , puis le diamètre minimal dans chacun des deux cas.
Quel rapport existe-t-il entre les deux diamètres minimaux ? Justifier ce rapport par l'expression littérale, sans repasser par les valeurs numériques.
Le montage 1 est finalement imposé par l'encombrement, et l'axe doit conserver $d=8\,\mathrm{mm}$ . Quelle charge maximale peut-il alors supporter ? Que proposer si la charge de $300\,\mathrm{N}$ est incompressible ?

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

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Idée : à charge et portée identiques, ce n'est pas la matière qui décide de la contrainte normale, c'est la façon dont la poutre cylindrique est tenue. Comparer deux architectures avant de choisir un diamètre, c'est chercher le gain là où il est gratuit.

1. Montage 1 (encastrement) : la poutre ne porte qu'une charge en bout, donc $|M_f(x)|=F\,(L-x)$ — le diagramme des moments est une droite décroissante, nulle sous la charge et maximale à l'encastrement :

M_{f\max}^{(1)}=F\,L=300\times40=\mathbf{12\,000\ \mathrm{N\cdot mm}}

Montage 2 (deux appuis, charge centrée) : chaque appui reprend $F/2$ , le moment fléchissant croît linéairement depuis chaque appui et culmine sous la charge — le diagramme des moments est un triangle :

M_{f\max}^{(2)}=\frac{F\,L}{4}=\frac{300\times40}{4}=\mathbf{3\,000\ \mathrm{N\cdot mm}}

2. $R_{pe}=\dfrac{240}{3}=80\,\mathrm{N/mm^2}$ . La condition $\sigma_{\max}\le R_{pe}$ s'inverse en

d\ \ge\ d_{\min}=\sqrt[3]{\frac{32\,M_{f\max}}{\pi\,R_{pe}}}

d_{\min}^{(1)}=\sqrt[3]{\frac{32\times12\,000}{\pi\times80}}=\sqrt[3]{1\,527{,}9}\approx\mathbf{11{,}52\ \mathrm{mm}}\qquad d_{\min}^{(2)}=\sqrt[3]{\frac{32\times3\,000}{\pi\times80}}=\sqrt[3]{382{,}0}\approx\mathbf{7{,}26\ \mathrm{mm}}

3. Le rapport vaut $11{,}52/7{,}26\approx1{,}587$ . Littéralement, $d_{\min}$ est proportionnel à $M_{f\max}^{1/3}$ ; comme le passage d'une architecture à l'autre divise le moment fléchissant par $4$ , le diamètre est divisé par $\sqrt[3]{4}\approx1{,}587$ , indépendamment de $F$ , de $L$ et du matériau. C'est aussi pourquoi le gain sur la masse est plus spectaculaire encore : la section varie en $d^{2}$ , donc dans le rapport $4^{2/3}\approx2{,}52$ .

4. Avec $d=8\,\mathrm{mm}$ : $I_G/v=\dfrac{\pi\times8^{3}}{32}\approx50{,}27\,\mathrm{mm^3}$ , donc le moment admissible vaut $M_{f\,\mathrm{adm}}=80\times50{,}27\approx4\,021\,\mathrm{N\cdot mm}$ , et

F_{\max}=\frac{M_{f\,\mathrm{adm}}}{L}=\frac{4\,021}{40}\approx\mathbf{101\ \mathrm{N}}

soit le tiers de la charge demandée : le diamètre $8\,\mathrm{mm}$ , suffisant pour le montage 2, est hors jeu pour le montage 1. Si les $300\,\mathrm{N}$ sont incompressibles, trois leviers restent ouverts, d'efficacité très inégale — raccourcir le bras à $L\le4\,021/300\approx13{,}4\,\mathrm{mm}$ (action directement proportionnelle), porter le diamètre à $12\,\mathrm{mm}$ (action en $d^{3}$ ), ou choisir un acier de limite élastique plus élevée (action seulement proportionnelle à $R_e$ ). Le levier géométrique est ici le moins coûteux.

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