FR-AFreinage et couple presseur

Frein à friction — effort presseur et surfaces

Idée directrice

Le couple de freinage multi-disques s’écrit souvent $C_f=\dfrac{2}{3}F_p f n\dfrac{R^3-r^3}{R^2-r^2}$ . On relève $n$ , $r$ , $R$ sur le dessin, on connaît $f$ et $C_f$ , on isole $F_p$ (effort presseur des ressorts).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

Couple de freinage multi-disques ; effort presseur $F_p$ ; commande électromagnétique

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Unités SI cohérentes (m, N, N·m). Isoler $F_p$ algébriquement avant le numérique.

Relever $n$ , $R$ et $r$ sur le dessin en tenant compte de l'échelle, puis calculer le facteur $\dfrac{R^3-r^3}{R^2-r^2}$ seul, en mm, avant de l'injecter.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Garder $r$ et $R$ en mm dans une formule conçue en m ; oublier le facteur $\dfrac{2}{3}$ .

Sujet principal

Exercice — dans l’esprit des sujets techniques

3 questionsCorrigé masqué

Un frein multi-disques est commandé électromagnétiquement. On donne

f=0{,}4

et la relation (avec

R,r

en mètres et

C_f

\mathrm{N\cdot m}

) :

C_f=\dfrac{2}{3}F_p\,f\,n\,\dfrac{R^3-r^3}{R^2-r^2}.

On relève

n=2

r=20\,\mathrm{mm}

R=40\,\mathrm{mm}

. On souhaite

C_f=70\,\mathrm{N\cdot m}

Quel est le type de commande de ce frein (mécanique pure, hydraulique, électromagnétique…) ?
Convertir $r$ et $R$ en mètres, puis calculer numériquement $\dfrac{R^3-r^3}{R^2-r^2}$ .
En déduire l’effort presseur $F_p$ en newtons.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Commande électromagnétique (corrigé 2019).

2. $r=0{,}020\,\mathrm{m}$ , $R=0{,}040\,\mathrm{m}$ .
$R^3-r^3=(0{,}04)^3-(0{,}02)^3=6{,}4\cdot 10^{-5}-8\cdot 10^{-6}=5{,}6\cdot 10^{-5}$ .
$R^2-r^2=(0{,}04)^2-(0{,}02)^2=1{,}2\cdot 10^{-3}$ .
Rapport $=\dfrac{5{,}6\cdot 10^{-5}}{1{,}2\cdot 10^{-3}}=\dfrac{7}{150}\approx 0{,}04667\,\mathrm{m}$ .

3. $70=\dfrac{2}{3}F_p\cdot 0{,}4\cdot 2\cdot 0{,}04667 \Rightarrow 70=F_p\cdot \dfrac{2}{3}\cdot 0{,}8\cdot 0{,}04667$ .
D’où $F_p=2812{,}5\,\mathrm{N}$ (corrigé 2019).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : l'inconnue change — couple de freinage, effort presseur, coefficient de frottement (bac 2017 principale) ou nombre de ressorts à choisir dans un tableau (bac 2019 principale).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill — bobine excitée ou non

Entraînement 01 / 07

Drill — bobine excitée ou non

1 questionCorrigé masqué

Sur un frein à manque de courant, si les disques sont en contact de freinage au repos, la bobine est-elle en général excitée ou non excitée ? Justifier qualitativement.

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Souvent non excitée au freinage (ressorts pressent ; l’excitation libère). Corrigé 2019 : bobine non excitée car contact entre pièces de freinage → boîte freinée.

2 Drill — doublement de

n

Entraînement 02 / 07

Drill — doublement de $n$

1 questionCorrigé masqué

Si l’on double le nombre de surfaces $n$ à $C_f$ et $f$ fixés, que devient $F_p$ ?

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$F_p$ est divisé par 2 ( $C_f$ proportionnel à $n F_p$ ).

3 Frein — effort presseur avec n = 4 surfaces

Entraînement 03 / 07

Frein — effort presseur avec n = 4 surfaces

3 questionsCorrigé masqué

Un frein multi-disques à commande électromagnétique suit la relation

C_f=\dfrac{2}{3}F_p\,f\,n\,\dfrac{R^3-r^3}{R^2-r^2}

avec

R,r

\mathrm{mm}

C_f

\mathrm{N\cdot mm}

F_p

est en

\mathrm{N}

. On donne

f=0{,}4

n=4

r=25\,\mathrm{mm}

R=50\,\mathrm{mm}

, et on souhaite

C_f=80\,\mathrm{N\cdot m}

Calculer le rapport $\dfrac{R^3-r^3}{R^2-r^2}$ .
En déduire l’effort presseur $F_p$ en newtons.
Si l’on dispose de 4 ressorts identiques en parallèle, quelle charge minimale chacun doit-il fournir ?

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1. $\dfrac{50^3-25^3}{50^2-25^2}=\dfrac{109375}{1875}=58{,}33\,\mathrm{mm}$ .

2. $80\,\mathrm{N\cdot m}=8\times 10^4\,\mathrm{N\cdot mm}$ .
$8\times 10^4=\dfrac{2}{3}F_p\times 0{,}4\times 4\times 58{,}33\approx 62{,}22 F_p$ , d’où $F_p\approx 1286\,\mathrm{N}$ .

3. Charge par ressort $\ge F_p/4\approx 321\,\mathrm{N}$ . On choisit un type catalogue dont la charge maxi dépasse cette valeur (logique du tableau de ressorts du corrigé 2019).

4 Frein — bobine non excitée et position freinée

Entraînement 04 / 07

Frein — bobine non excitée et position freinée

3 questionsCorrigé masqué

Sur un frein de boîte de vitesses (sujet type 2019), le dessin d’ensemble montre un contact entre les disques de friction. La commande du frein est électromagnétique.

Quel est le type de commande du frein ?
La bobine est-elle excitée ou non excitée lorsque les disques sont en contact de freinage ? Justifier.
Dans ce cas, la boîte est-elle freinée ou libre ?

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1. Commande électromagnétique.

2. La bobine est non excitée : le contact de freinage est assuré par les ressorts (frein à manque de courant) ; l’excitation sert en général à libérer le frein.

3. La boîte est freinée. Au repos (coupure d’alimentation), la sécurité privilégie le freinage plutôt que la rotation libre.

5 Drill FR-A.5 — Frein à un disque : compter n et relever R et r à l’échelle 1:2

Entraînement 05 / 07

Drill FR-A.5 — Frein à un disque : compter n et relever R et r à l’échelle 1:2

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

À l’arrêt, le chariot porte-bobine d’une ligne de refendage de tôle est immobilisé par un frein à manque de courant monté sur l’arbre (18) de son motoréducteur. Le dessin ci-dessous en donne la demi-coupe à l’échelle 1:2 ; il est tracé sur un quadrillage dont un carreau mesure 5 mm sur le dessin.

Nomenclature : 10 bâti ; 11 plateau fixe ; 12 garniture (2), collée sur le disque ; 13 disque frein ; 14 plateau mobile ; 15 ressort (6) ; 16 bobine ; 17 moyeu cannelé ; 18 arbre ; 19 corps de l’électro-aimant.

Remarque : $F_{15}=150\,\mathrm{N}$ est l’effort d’un seul ressort. Coefficient de frottement garniture/acier : $f=0{,}4$ . Couple de freinage ( $F$ en N, $R$ et $r$ en mm, $C$ en N·mm) :

C=\dfrac{2}{3}\,F\,n\,f\,\dfrac{R^{3}-r^{3}}{R^{2}-r^{2}}

Préciser le type de ce frein et sa commande.
Déterminer le nombre de surfaces de friction $n$ . Justifier en nommant les pièces en contact.
Relever sur le dessin les rayons $r$ et $R$ de la surface de friction, puis donner leurs valeurs réelles.
Calculer l’effort presseur $F$ exercé par l’ensemble des ressorts (15).
Calculer le couple de freinage $C_f$ en N·m.
À l’arrêt, le couple dû à la charge, ramené sur l’arbre (18), vaut $36\,\mathrm{N\cdot m}$ . Le frein immobilise-t-il le chariot ?

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1. C’est un frein à disque à manque de courant (sécurité positive), à commande électromagnétique par la bobine (16). Bobine non alimentée, les ressorts (15) poussent le plateau mobile (14) et serrent le disque (13) contre le plateau fixe (11) : l’arbre est freiné. Bobine alimentée, le corps (19) attire le plateau (14), comprime les ressorts et libère le disque.

2. Idée : on compte les faces qui frottent, pas les pièces. Le disque (13) tourne avec l’arbre ; ses deux garnitures (12) frottent l’une sur le plateau fixe (11), l’autre sur le plateau mobile (14), qui ne tournent pas. D’où $\boxed{n=2}$ .

3. Idée : la surface de contact est celle de la garniture, pas celle du disque ni des plateaux, puis on divise par l’échelle. Sur le dessin, la garniture va de 4 carreaux à 7 carreaux au-dessus de l’axe : $r_{\text{dessin}}=20\,\mathrm{mm}$ et $R_{\text{dessin}}=35\,\mathrm{mm}$ . À l’échelle 1:2, une longueur réelle vaut le double de la longueur dessinée :

\boxed{r=\dfrac{20}{1/2}=40\ \text{mm}}\qquad\boxed{R=70\ \text{mm}}

Le disque (13) dépasse la garniture et les plateaux vont plus haut encore : ni l’un ni les autres ne limitent la surface qui frotte.

4. La nomenclature donne 6 ressorts (15), chacun exerçant 150 N :

F=6\times 150=\boxed{900\ \text{N}}

5. Facteur géométrique, en mm :

\dfrac{70^{3}-40^{3}}{70^{2}-40^{2}}=\dfrac{279\,000}{3\,300}\approx 84{,}55\ \text{mm}

C_f=\tfrac{2}{3}\times 900\times 2\times 0{,}4\times 84{,}55

C_f\approx 40\,582\ \text{N·mm}\approx\boxed{40{,}6\ \text{N·m}}

6. Idée : comparer le couple de freinage au couple à retenir. $40{,}6\,\mathrm{N\cdot m}>36\,\mathrm{N\cdot m}$ : le frein immobilise le chariot. Avec les rayons du dessin pris sans diviser par l’échelle ( $R=35$ , $r=20$ ), on aurait trouvé $20{,}3\,\mathrm{N\cdot m}$ , soit deux fois moins, et conclu à tort que le frein ne suffit pas : le facteur géométrique est proportionnel aux longueurs.

6 Drill FR-A.6 — Embrayage multidisque à l’échelle 3:2 : compter n et relever les rayons de la zone commune

Entraînement 06 / 07

Drill FR-A.6 — Embrayage multidisque à l’échelle 3:2 : compter n et relever les rayons de la zone commune

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

L’avance lente d’une scie à ruban est enclenchée par un embrayage monté sur l’arbre d’entrée. Le dessin ci-dessous le représente en position embrayée, en demi-coupe à l’échelle 3:2, sur un quadrillage dont un carreau mesure 5 mm sur le dessin.

Nomenclature : 8 cloche, solidaire de la roue dentée d’entrée (non représentée) ; 16 disque intérieur ; 17 disque extérieur (2) ; 20 manchon cannelé, claveté sur l’arbre ; 27 bobine ; 40 plateau de pression ; 41 support bobine.

Les disques extérieurs (17) sont liés en rotation à la cloche (8) par des tenons. Le disque intérieur (16) et le plateau (40) coulissent sur les cannelures du manchon (20), sur lequel le support (41) est fixé. Bobine alimentée, le plateau (40) est attiré vers le support (41) et serre le paquet de disques.

On donne l’effort presseur $F=1000\,\mathrm{N}$ , le coefficient de frottement $f=0{,}3$ et le couple transmissible ( $F$ en N, $R$ et $r$ en mm, $C$ en N·mm) :

C=\dfrac{2}{3}\,F\,n\,f\,\dfrac{R^{3}-r^{3}}{R^{2}-r^{2}}

Préciser le type de cet embrayage et sa commande.
Déterminer le nombre de surfaces de friction $n$ . Justifier.
Relever sur le dessin les rayons $r$ et $R$ de la zone de contact des disques et donner leurs valeurs réelles.
Calculer le couple transmissible $C_t$ en N·m.
Un camarade a relevé $r$ et $R$ sans tenir compte de l’échelle. Quel couple trouve-t-il ? Dans quel rapport son résultat est-il faux ?

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1. Embrayage à friction plane multidisque, à commande électromagnétique par la bobine (27).

2. Idée : une surface de friction sépare une pièce liée à la cloche d’une pièce liée au manchon. De gauche à droite : plateau (40) côté manchon, disque (17) côté cloche, disque (16) côté manchon, disque (17) côté cloche, support (41) côté manchon. Il y a glissement possible aux quatre interfaces 40/17, 17/16, 16/17 et 17/41 :

\boxed{n=4}

Chaque disque extérieur frotte sur ses deux faces : $n=2\times 2$ . Compter les trois disques ( $n=3$ ) donnerait $22{,}8\,\mathrm{N\cdot m}$ au lieu du bon résultat.

3. Idée : le contact n’existe que là où les deux familles de disques se recouvrent. Les disques extérieurs descendent jusqu’à 6 carreaux au-dessus de l’axe : $r_{\text{dessin}}=30\,\mathrm{mm}$ . Le disque intérieur, le plateau et le support montent jusqu’à 9 carreaux : $R_{\text{dessin}}=45\,\mathrm{mm}$ . À l’échelle 3:2, le dessin est plus grand que la pièce : on divise par $\tfrac{3}{2}$ .

r=\dfrac{30}{3/2}=\boxed{20\ \text{mm}}\qquad R=\dfrac{45}{3/2}=\boxed{30\ \text{mm}}

4. Facteur géométrique :

\dfrac{30^{3}-20^{3}}{30^{2}-20^{2}}=\dfrac{19\,000}{500}=38\ \text{mm}

C_t=\tfrac{2}{3}\times 1000\times 4\times 0{,}3\times 38

C_t=30\,400\ \text{N·mm}=\boxed{30{,}4\ \text{N·m}}

5. Avec $R=45$ et $r=30$ , le facteur vaut $\dfrac{64\,125}{1\,125}=57\ \mathrm{mm}$ et le camarade trouve $45{,}6\,\mathrm{N\cdot m}$ . Le facteur géométrique étant proportionnel aux longueurs, son résultat est multiplié par l’échelle : $\dfrac{45{,}6}{30{,}4}=1{,}5$ . Il surestime le couple de 50 %, erreur dangereuse puisqu’elle fait croire l’embrayage capable d’un couple qu’il ne transmet pas.

7 Drill FR-A.7 — Frein : coefficient f nécessaire et choix de la garniture

Entraînement 07 / 07

Drill FR-A.7 — Frein : coefficient f nécessaire et choix de la garniture

5 questionsCorrigé masqué

Un portail coulissant motorisé est maintenu fermé, moteur arrêté, par un frein à manque de courant : le disque (25), garni sur ses deux faces, est serré entre le plateau fixe (26) et le plateau mobile (23) poussé par des ressorts.

Extrait de la nomenclature : 21 bobine ; 22 ressort (4) ; 23 plateau mobile ; 24 garniture (2) ; 25 disque ; 26 plateau fixe. Remarque : $F_{22}=25\,\mathrm{N}$ est l’effort d’un seul ressort.

Sur le dessin d’ensemble, à l’échelle 2:1, on mesure les diamètres des garnitures (24) : $120\,\mathrm{mm}$ à l’extérieur et $72\,\mathrm{mm}$ à l’intérieur. Pour tenir le portail, le frein doit produire un couple $C_f=1{,}9\,\mathrm{N\cdot m}$ . Couple de freinage ( $N$ en N, $R$ et $r$ en mm, $C_f$ en N·mm) :

C_f=\dfrac{2}{3}\,N\,f\,n\,\dfrac{R^{3}-r^{3}}{R^{2}-r^{2}}

Garnitures proposées par le fournisseur :

Garniture	G1	G2	G3	G4
$f$ garniture/acier	0,30	0,35	0,38	0,42

Donner le nombre de surfaces de friction $n$ et calculer l’effort presseur total $N$ des ressorts.
Calculer les rayons réels $R$ et $r$ de la surface de friction.
Calculer le coefficient de frottement $f$ nécessaire pour obtenir $C_f=1{,}9\,\mathrm{N\cdot m}$ .
Choisir la garniture qui convient. Justifier.
Vérifier le couple de freinage obtenu avec la garniture choisie.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Le disque (25) frotte par ses deux garnitures, l’une sur (26), l’autre sur (23) : $\boxed{n=2}$ . La nomenclature indique 4 ressorts (22) :

N=4\times 25=\boxed{100\ \text{N}}

2. Idée : on a mesuré des diamètres, sur un dessin agrandi deux fois. Rayon dessiné $=$ diamètre $/2$ , puis rayon réel $=$ rayon dessiné $/2$ :

R=\dfrac{120}{2\times 2}=\boxed{30\ \text{mm}}\qquad r=\dfrac{72}{4}=\boxed{18\ \text{mm}}

Prendre $R=60\,\mathrm{mm}$ revient à oublier soit la moitié du diamètre, soit l’échelle : les deux erreurs donnent le même faux résultat, avec un facteur géométrique doublé.

3. Idée : isoler $f$ avant de faire le calcul numérique. Facteur géométrique :

\dfrac{30^{3}-18^{3}}{30^{2}-18^{2}}=\dfrac{21\,168}{576}=36{,}75\ \text{mm}

f=\dfrac{3\,C_f\,(R^{2}-r^{2})}{2\,n\,N\,(R^{3}-r^{3})}

f=\dfrac{3\times 1900}{2\times 2\times 100\times 36{,}75}

f=\dfrac{1900}{4900}\approx\boxed{0{,}388}

4. Idée : la garniture doit donner un $f$ au moins égal au $f$ nécessaire. Seule G4 ( $f=0{,}42\geq 0{,}388$ ) convient. G3 est à écarter : $0{,}38<0{,}388$ . Il ne faut pas arrondir le $f$ nécessaire à $0{,}38$ avant de comparer.

5. Avec ces données, $C_f=4900\,f$ en N·mm :

C_f=4900\times 0{,}42=2058\ \text{N·mm}\approx\boxed{2{,}06\ \text{N·m}}

$2{,}06\,\mathrm{N\cdot m}\geq 1{,}9\,\mathrm{N\cdot m}$ : le portail est tenu. Avec G3, on n’obtiendrait que $1{,}86\,\mathrm{N\cdot m}$ , insuffisant.

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Drill — bobine excitée ou non

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Frein — effort presseur avec n = 4 surfaces

Frein — bobine non excitée et position freinée

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