RD-ARésistance des matériaux — torsion

Torsion d’arbre — diamètre minimal et sécurité

Idée directrice

En torsion simple, la contrainte max s’écrit $\tau_{\max}=\dfrac{16 M_t}{\pi d^3}$ . On dimensionne $d$ pour $\tau_{\max}\le R_{pg}=R_{eg}/s$ , ou on calcule $d$ depuis $\tau_{\max}$ mesurée/échelle.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

Torsion simple ; $\tau_{\max}=16M_t/(\pi d^3)$ ; diamètre minimal ; coefficient de sécurité

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Toujours écrire l’expression littérale, harmoniser les unités ( $\mathrm{N\cdot mm}$ vs $\mathrm{N\cdot m}$ ), puis arrondir vers le haut pour un diamètre mini.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier le facteur $10^3$ en passant de $\mathrm{N\cdot m}$ à $\mathrm{N\cdot mm}$ ; confondre $R_{eg}$ et $R_{pg}$ .

Sujet principal

Exercice — dans l’esprit des sujets techniques

5 questionsCorrigé masqué

Partie A — arbre de transmission. Un arbre plein est sollicité en torsion simple par un couple $M_t=24\,\mathrm{N\cdot m}$ . La contrainte tangentielle max admissible sur le rayon est $\tau_{\max}=30\,\mathrm{N/mm^2}$ .

Rappeler l’expression de $\tau_{\max}$ en fonction de $M_t$ et $d$ (en unités cohérentes).
En déduire le diamètre minimal $d$ en $\mathrm{mm}$ (arrondir à l’entier supérieur millimètre).
Le constructeur a retenu pour cet arbre un diamètre réel de $24\,\mathrm{mm}$ : ce choix est-il convenable ? Justifier.

Partie B — dimensionnement d’un second arbre. Un arbre reçoit $C_{30}=120\,\mathrm{N\cdot m}$ , $R_{eg}=175\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=2$ .

Exprimer $R_{pg}=R_{eg}/s$ puis le diamètre minimal $d_{1\min}$ tel que $\tau_{\max}\le R_{pg}$ avec $\tau_{\max}=\dfrac{16 C}{\pi d^3}$ .
Calculer $d_{1\min}$ en $\mathrm{mm}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A1. $\tau_{\max}=\dfrac{16 M_t}{\pi d^3}$ (avec $M_t$ en $\mathrm{N\cdot mm}$ si $d$ en mm).

A2. $d=\left(\dfrac{16\times 24\times 10^3}{\pi\times 30}\right)^{1/3}\approx 15{,}97\,\mathrm{mm}$ → $d=16\,\mathrm{mm}$ (corrigé 2019).

A3. $24\,\mathrm{mm}>16\,\mathrm{mm}$ : l’arbre convient (marge de sécurité géométrique).

B1. $R_{pg}=175/2=87{,}5\,\mathrm{N/mm^2}$ . $d^3\ge \dfrac{s\times 16\times C}{\pi R_{eg}}=\dfrac{2\times 16\times 120\times 10^3}{\pi\times 175}$ .

B2. $d_{1\min}\approx \mathbf{19{,}11\,mm}$ (corrigé 2021).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill — contrainte max

Entraînement 01 / 11

Drill — contrainte max

1 questionCorrigé masqué

Pour $M_t=24\,\mathrm{N\cdot m}$ et $d=16\,\mathrm{mm}$ , calculer $\tau_{\max}$ en $\mathrm{N/mm^2}$ et comparer à $30\,\mathrm{N/mm^2}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$\tau_{\max}=\dfrac{16\times 24\times 10^3}{\pi\times 16^3}\approx 29{,}8\,\mathrm{N/mm^2}\le 30$ — limite atteinte.

2 Drill — sécurité s

Entraînement 02 / 11

Drill — sécurité s

1 questionCorrigé masqué

Si $s$ passe de $2$ à $3$ à $C$ et $R_{eg}$ fixés, le diamètre minimal $d$ varie comme quelle puissance de $s$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$d\propto s^{1/3}$ car $d^3\propto s$ dans $d^3\ge s\times 16 C/(\pi R_{eg})$ .

3 Transfert — arbre plein ou arbre creux : choisir à masse minimale

Entraînement 03 / 11

Transfert — arbre plein ou arbre creux : choisir à masse minimale

4 questionsCorrigé masqué

Un bureau d'études doit transmettre un couple de torsion $M_t=60\,\mathrm{N\cdot m}$ entre deux organes d'une machine d'emballage. Le matériau retenu a une limite élastique au glissement $R_{eg}=180\,\mathrm{N/mm^2}$ et le coefficient de sécurité imposé vaut $s=3$ . On travaille en torsion simple, en régime statique, sans tenir compte de la fatigue ni des concentrations de contrainte aux épaulements.

Deux solutions sont en concurrence pour le même arbre : une section pleine de diamètre $d=20\,\mathrm{mm}$ , ou un tube de diamètre extérieur $D=24\,\mathrm{mm}$ et de diamètre intérieur $d_i=20\,\mathrm{mm}$ . La contrainte tangentielle maximale $\tau$ se calcule par

\text{section pleine :}\quad \tau_{\max}=\frac{16\,M_t}{\pi d^{3}}\qquad\qquad \text{section creuse :}\quad \tau_{\max}=\frac{16\,M_t\,D}{\pi\,(D^{4}-d_i^{4})}

Les deux arbres ont la même longueur et le même matériau ; leurs masses sont donc dans le rapport de leurs aires de section droite.

Calculer la résistance pratique au glissement $R_{pg}=R_{eg}/s$ .
Calculer $\tau_{\max}$ pour chacune des deux solutions et dire laquelle (ou lesquelles) satisfont la condition de résistance.
Comparer les aires de section droite, donc les masses. Quelle solution retenir si le critère de choix est la masse, à sécurité satisfaite ? De combien la contrainte augmente-t-elle en contrepartie ?
Le fournisseur ne propose plus que le tube $D=24\,\mathrm{mm}$ , $d_i=22\,\mathrm{mm}$ . Recalculer $\tau_{\max}$ , conclure, et déterminer jusqu'à quel couple ce tube resterait utilisable.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : en torsion, la matière proche de l'axe ne travaille presque pas — la contrainte y est quasi nulle. Enlever cette matière coûte donc peu de résistance et beaucoup de masse : c'est tout l'intérêt d'un arbre creux, et c'est ce que ce calcul doit chiffrer plutôt qu'affirmer.

1. $R_{pg}=\dfrac{R_{eg}}{s}=\dfrac{180}{3}=\mathbf{60\ \mathrm{N/mm^2}}$ . Le couple est converti une fois pour toutes : $M_t=60\,\mathrm{N\cdot m}=60\,000\,\mathrm{N\cdot mm}$ , cohérent avec des diamètres en $\mathrm{mm}$ .

2. Section pleine :

\tau_{\max}=\frac{16\times60\,000}{\pi\times20^{3}}=\frac{960\,000}{25\,132{,}7}\approx\mathbf{38{,}2\ \mathrm{N/mm^2}}\ \le\ 60

Section creuse $24/20$ : $D^{4}-d_i^{4}=331\,776-160\,000=171\,776\ \mathrm{mm^4}$ , d'où

\tau_{\max}=\frac{16\times60\,000\times24}{\pi\times171\,776}=\frac{23\,040\,000}{539\,651{,}6}\approx\mathbf{42{,}7\ \mathrm{N/mm^2}}\ \le\ 60

Les deux solutions satisfont la condition de résistance, avec des marges respectives de $36\,\%$ et $29\,\%$ sur $R_{pg}$ .

3. Aires de section droite :

S_{\text{plein}}=\frac{\pi\times20^{2}}{4}\approx314{,}2\ \mathrm{mm^2}\qquad S_{\text{creux}}=\frac{\pi\,(24^{2}-20^{2})}{4}=\frac{\pi\times176}{4}\approx138{,}2\ \mathrm{mm^2}

Le tube ne pèse que $138{,}2/314{,}2\approx44\,\%$ du plein, soit $56\,\%$ de masse en moins, pour une contrainte qui ne monte que de $42{,}7/38{,}2-1\approx12\,\%$ . À critère de masse et sécurité satisfaite, c'est donc le tube qu'il faut retenir : il échange $12\,\%$ de marge de contrainte contre plus de la moitié de la masse. Le diamètre extérieur plus grand reste toutefois un encombrement à vérifier dans le carter.

4. Avec $d_i=22\,\mathrm{mm}$ : $D^{4}-d_i^{4}=331\,776-234\,256=97\,520\ \mathrm{mm^4}$ , donc

\tau_{\max}=\frac{23\,040\,000}{\pi\times97\,520}=\frac{23\,040\,000}{306\,363{,}9}\approx\mathbf{75{,}2\ \mathrm{N/mm^2}}\ >\ 60

Ce tube est à écarter : amincir la paroi de $2\,\mathrm{mm}$ à $1\,\mathrm{mm}$ a fait bondir la contrainte de $42{,}7$ à $75{,}2\,\mathrm{N/mm^2}$ , soit $+76\,\%$ , parce que c'est la matière la plus éloignée de l'axe — la plus efficace — qui manque désormais. Le couple admissible correspondant s'obtient en inversant la même relation :

M_t\ \le\ \frac{R_{pg}\,\pi\,(D^{4}-d_i^{4})}{16\,D}=\frac{60\times306\,363{,}9}{16\times24}\approx47\,870\ \mathrm{N\cdot mm}=\mathbf{47{,}9\ \mathrm{N\cdot m}}

soit $80\,\%$ du couple demandé : ce tube conviendrait à une machine moins chargée, pas à celle-ci.

4 Torsion — contrainte max pour d connu

Entraînement 04 / 11

Torsion — contrainte max pour d connu

3 questionsCorrigé masqué

Un arbre plein de diamètre $d=20\,\mathrm{mm}$ transmet un couple de torsion $M_t=36\,\mathrm{N\cdot m}$ . On travaille en torsion simple.

Exprimer $\tau_{\max}$ en fonction de $M_t$ et $d$ .
Calculer $\tau_{\max}$ en $\mathrm{N/mm^2}$ .
Comparer à une limite admissible $\tau_{\mathrm{adm}}=30\,\mathrm{N/mm^2}$ : l’arbre résiste-t-il ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\tau_{\max}=\dfrac{16 M_t}{\pi d^3}$ avec $M_t=36\times 10^3\,\mathrm{N\cdot mm}$ et $d=20\,\mathrm{mm}$ .

2. $\tau_{\max}=\dfrac{16\times 36\times 10^3}{\pi\times 20^3}=\dfrac{576\times 10^3}{25132{,}7}\approx 22{,}9\,\mathrm{N/mm^2}$ .

3. $22{,}9 < 30$ : la contrainte reste sous la limite admissible ; l’arbre résiste en torsion simple pour ces valeurs.

5 Torsion — coefficient de sécurité et Rpg

Entraînement 05 / 11

Torsion — coefficient de sécurité et Rpg

3 questionsCorrigé masqué

Un arbre de transmission reçoit un couple $C=100\,\mathrm{N\cdot m}$ . Le matériau a une limite élastique au glissement $R_{eg}=175\,\mathrm{N/mm^2}$ . On impose un coefficient de sécurité $s=2{,}5$ .

Calculer la résistance pratique au glissement $R_{pg}=R_{eg}/s$ .
En écrivant $\tau_{\max}=\dfrac{16 C}{\pi d^3}\le R_{pg}$ , calculer $d_{1\min}$ en $\mathrm{mm}$ .
Si l’on passe à $s=2$ (même $C$ et $R_{eg}$ ), $d_{1\min}$ augmente-t-il, diminue-t-il ou reste-t-il inchangé ? Justifier via $d\propto s^{1/3}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $R_{pg}=\dfrac{175}{2{,}5}=70\,\mathrm{N/mm^2}$ .

2. $d^3\ge\dfrac{16\times 100\times 10^3}{\pi\times 70}\approx 7276$ , d’où $d_{1\min}\approx 19{,}4\,\mathrm{mm}$ .

3. $d\propto s^{1/3}$ : baisser $s$ de $2{,}5$ à $2$ diminue le diamètre minimal (moins de marge de sécurité demandée).

6 Torsion — critère d’angle unitaire θ

Entraînement 06 / 11

Torsion — critère d’angle unitaire θ

3 questionsCorrigé masqué

Un arbre plein transmet $C_{30}=120\,\mathrm{N\cdot m}$ . Module d’élasticité transversale $G=8\times 10^{4}\,\mathrm{N/mm^2}$ . On impose que l’angle unitaire de torsion $\theta$ ne dépasse pas $\theta_{\max}=6{,}97\times 10^{-5}\,\mathrm{rad/mm}$ .

Rappeler que pour un arbre plein $\theta=\dfrac{C}{G I_0}$ avec $I_0=\dfrac{\pi d^4}{32}$ .
En déduire $d_{2\min}$ tel que $\theta\le\theta_{\max}$ (en $\mathrm{mm}$ ).
Comparer : le critère de rigidité en torsion est-il ici plus sévère qu’un $d_{1\min}\approx 19\,\mathrm{mm}$ obtenu par contrainte ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\theta=\dfrac{C}{G I_0}$ et $I_0=\dfrac{\pi d^4}{32}$ donnent $\theta=\dfrac{32 C}{G\pi d^4}$ .

2. $d^4\ge\dfrac{32\times 120\times 10^3}{8\times 10^{4}\times\pi\times 6{,}97\times 10^{-5}}$ conduit à $d_{2\min}\approx 21{,}6\,\mathrm{mm}$ (corrigé type $21{,}63\,\mathrm{mm}$ ).

3. Oui : $21{,}6>19$ , le critère d’angle est le plus pénalisant ; on dimensionne alors sur $d_{2\min}$ .

7 Torsion — retenir le plus grand des deux d min

Entraînement 07 / 11

Torsion — retenir le plus grand des deux d min

3 questionsCorrigé masqué

Pour un même arbre, le calcul de résistance en contrainte a donné $d_{1\min}=19{,}11\,\mathrm{mm}$ et le calcul de rigidité (angle unitaire) a donné $d_{2\min}=21{,}63\,\mathrm{mm}$ .

Quel diamètre minimal $d_{\min}$ doit-on retenir pour satisfaire les deux conditions ?
Justifier en une phrase le sens de « prendre le supremum » des deux valeurs.
Si le dessin d’ensemble propose $d=25\,\mathrm{mm}$ , conclure sur la conformité.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $d_{\min}=\sup(d_{1\min},d_{2\min})=d_{2\min}=21{,}63\,\mathrm{mm}$ .

2. Un diamètre plus grand diminue à la fois $\tau$ et $\theta$ ; le plus grand des deux minima garantit que chaque inégalité reste vraie.

3. $25>21{,}63$ : le diamètre réel est conforme aux deux critères (contrainte et rigidité).

8 Torsion — piège des unités N·m et N·mm

Entraînement 08 / 11

Torsion — piège des unités N·m et N·mm

3 questionsCorrigé masqué

On applique $\tau_{\max}=\dfrac{16 M_t}{\pi d^3}$ avec $M_t=24\,\mathrm{N\cdot m}$ et $\tau_{\max}=30\,\mathrm{N/mm^2}$ . Un élève oublie le facteur $10^3$ et calcule $d=\bigl(16\times 24/(\pi\times 30)\bigr)^{1/3}$ .

Montrer que ce calcul sans conversion est incohérent en unités.
Refaire le calcul correct avec $M_t=24\times 10^3\,\mathrm{N\cdot mm}$ et retrouver $d\approx 16\,\mathrm{mm}$ .
Quel ordre de grandeur absurde obtient-on sans le $10^3$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\tau$ en $\mathrm{N/mm^2}$ exige $M_t$ en $\mathrm{N\cdot mm}$ si $d$ est en $\mathrm{mm}$ ; laisser $M_t$ en $\mathrm{N\cdot m}$ mélange les unités.

2. $d=\left(\dfrac{16\times 24\times 10^3}{\pi\times 30}\right)^{1/3}\approx 15{,}97\,\mathrm{mm}\to 16\,\mathrm{mm}$ .

3. Sans $10^3$ : $d\approx 1{,}6\,\mathrm{mm}$ , valeur absurde pour un arbre de transmission de boîte de vitesses.

9 Torsion — répartition des contraintes τ

Entraînement 09 / 11

Torsion — répartition des contraintes τ

3 questionsCorrigé masqué

En torsion simple d’un arbre cylindrique plein, la contrainte tangentielle $\tau$ varie linéairement selon le rayon : nulle au centre, maximale en surface.

Où se produit $\tau_{\max}$ : centre, rayon intermédiaire, ou surface extérieure ?
Pourquoi le diamètre $d$ apparaît-il à la puissance $3$ dans $\tau_{\max}=16 M_t/(\pi d^3)$ ?
Si l’on double $d$ à $M_t$ constant, par quel facteur $\tau_{\max}$ est-elle divisée ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\tau_{\max}$ se produit à la surface extérieure ( $r=d/2$ ).

2. $I_0\propto d^4$ et $\tau=M_t r/I_0$ avec $r\propto d$ donnent $\tau\propto M_t/d^3$ , d’où le $d^3$ de la formule usuelle.

3. Doubler $d$ multiplie $d^3$ par $8$ : $\tau_{\max}$ est divisée par 8. Un léger surdimensionnement du diamètre abaisse très fortement la contrainte.

10 Drill RD-A.10 — Relever le plus petit diamètre sur un dessin à l'échelle 2:1 et conclure

Entraînement 10 / 11

Drill RD-A.10 — Relever le plus petit diamètre sur un dessin à l'échelle 2:1 et conclure

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Perceuse d'établi. Le moteur ( $P_m=1{,}1$ kW, $N_m=1400$ tr/min) entraîne le pignon arbré (5) par le manchon d'accouplement rigide (4). Le bureau d'études vérifie le dimensionnement du pignon arbré. Le pignon arbré (5) est assimilé à une poutre cylindrique pleine sollicitée à la torsion simple ; il est en acier de limite élastique au glissement $R_{eg}=180$ MPa, et l'on prend un coefficient de sécurité $s=6$ .

Calculer le couple moteur $C_m$ .
À partir de l'équilibre en rotation du pignon arbré (5), en déduire le moment de torsion $M_t$ .
Déterminer le diamètre minimal $d_{min}$ pour que le pignon arbré résiste en toute sécurité.
En se référant au dessin ci-dessus, relever la valeur réelle du plus petit diamètre du pignon arbré (5) et conclure en mettant une croix dans la case correspondante.
Quel plus petit diamètre entier, en mm, le concepteur aurait-il dû prévoir ?

$d$ mesuré	Résiste	Ne résiste pas
…………

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $C=P/\omega$ avec $\omega$ en rad/s et $P$ en W.

\omega_m=\dfrac{2\pi\times 1400}{60}=146{,}61\ \text{rad/s}

C_m=\dfrac{1100}{146{,}61}\approx\boxed{7{,}50\ \text{N·m}}

2. Le pignon arbré (5) tourne à vitesse constante : le couple moteur reçu par le manchon rigide (4) équilibre le couple résistant de la denture. $\boxed{M_t=C_m=7{,}50\ \text{N·m}}$ , soit 7503 N·mm.

3. $R_{pg}=\dfrac{R_{eg}}{s}=\dfrac{180}{6}=30$ MPa, et $\tau_{max}=\dfrac{16M_t}{\pi d^3}\le R_{pg}$ :

d\ge\sqrt[3]{\dfrac{16\times 7503}{\pi\times 30}}=\sqrt[3]{1274}

d_{min}\approx\boxed{10{,}84\ \text{mm}}

4. Idée : à l'échelle 2:1 le dessin est deux fois plus grand que la pièce ; on divise la mesure par 2. Le plus petit diamètre est celui du bout d'arbre logé dans le manchon (4) : 4 carreaux, soit 20 mm sur le dessin.

d_{mesuré}=\dfrac{20}{2}=\boxed{10\ \text{mm}}

$10\ \text{mm}<10{,}84\ \text{mm}$ : croix dans la case « Ne résiste pas ». Avec $d=10$ mm, $\tau_{max}=\dfrac{16\times 7503}{\pi\times 10^3}\approx 38{,}2$ MPa dépasse $R_{pg}=30$ MPa : le coefficient de sécurité imposé n'est pas respecté. L'élève qui garde les 20 mm du dessin coche « Résiste » à tort.

5. Le diamètre doit être au moins égal à 10,84 mm : $\boxed{d=11\ \text{mm}}$ .

11 Drill RD-A.11 — Deux conditions (contrainte et angle unitaire), puis lecture à l'échelle 3:2

Entraînement 11 / 11

Drill RD-A.11 — Deux conditions (contrainte et angle unitaire), puis lecture à l'échelle 3:2

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Malaxeur. Un moteur ( $P_m=2{,}2$ kW, $N_m=1440$ tr/min) entraîne par poulies et courroie (rapport $r=\dfrac12$ , rendement $\eta=0{,}95$ ) le pignon arbré (9), sur le bout duquel est clavetée la poulie réceptrice (10). Le pignon arbré (9) est assimilé à une poutre cylindrique pleine soumise à la torsion simple. Acier : $R_{eg}=240$ MPa, coefficient de sécurité $s=4$ , module d'élasticité transversale $G=81\,000$ MPa.

Calculer la puissance $P_9$ et la vitesse $N_9$ reçues par le pignon arbré (9), puis le moment de torsion $M_t$ .
Calculer le diamètre minimal $d_{9a\,min}$ qui assure la condition de résistance.
Calculer le diamètre minimal $d_{9b\,min}$ pour que l'angle unitaire de torsion $\theta$ ne dépasse pas 0,025 rd/m.
Déduire le diamètre minimal $d_{9\,min}$ . Justifier.
Relever sur le dessin ci-dessus la valeur réelle du plus petit diamètre $d_9$ du pignon arbré.
Le choix du constructeur est-il judicieux ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : la courroie divise la vitesse par 2 et prélève 5 % de la puissance.

P_9=2200\times 0{,}95=2090\ \text{W}

N_9=1440\times\dfrac12=720\ \text{tr/min}

\omega_9=\dfrac{2\pi\times 720}{60}=75{,}40\ \text{rad/s}

M_t=\dfrac{2090}{75{,}40}\approx\boxed{27{,}72\ \text{N·m}}

2. $R_{pg}=\dfrac{240}{4}=60$ MPa :

d\ge\sqrt[3]{\dfrac{16\times 27\,720}{\pi\times 60}}=\sqrt[3]{2353}

d_{9a\,min}\approx\boxed{13{,}3\ \text{mm}}

3. Idée : $\theta=\dfrac{M_t}{G\,I_0}$ avec $I_0=\dfrac{\pi d^4}{32}$ , et $\theta$ en rd/mm pour rester en N et mm : 0,025 rd/m $=2{,}5\cdot10^{-5}$ rd/mm.

d\ge\sqrt[4]{\dfrac{32\,M_t}{\pi\,G\,\theta}}

d\ge\sqrt[4]{\dfrac{887\,040}{6{,}362}}=\sqrt[4]{139\,430}

d_{9b\,min}\approx\boxed{19{,}3\ \text{mm}}

4. Les deux conditions doivent être satisfaites ensemble : on garde la plus grande valeur, $\boxed{d_{9\,min}=d_{9b\,min}\approx 19{,}3\ \text{mm}}$ . Ici c'est la déformation qui impose le diamètre.

5. Idée : à l'échelle 3:2, le dessin est 1,5 fois plus grand ; on multiplie la mesure par $\dfrac23$ . Le plus petit diamètre est celui du bout d'arbre portant la poulie (10) : 6 carreaux, soit 30 mm sur le dessin.

d_9=30\times\dfrac23=\boxed{20\ \text{mm}}

6. $20\ \text{mm}\ge 19{,}3\ \text{mm}$ : le choix est judicieux. L'arbre résiste et sa déformation reste admissible : pour $d=20$ mm, $\theta\approx 0{,}0218$ rd/m, sous la limite de 0,025 rd/m. Multiplier la mesure par 3/2 (45 mm) ou ne comparer qu'à $d_{9a\,min}$ donnerait la même réponse par un raisonnement faux.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Autres repères du catalogue · toutes filières

Autres sujets de référence

Bac Technique — principale 2019 (torsion + frein)· Partie A — Génie mécaniquelien confirméTorsion arbre + frein multi-disques

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Torsion d’arbre — diamètre minimal et sécurité

Exercice — dans l’esprit des sujets techniques

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill — contrainte max

Drill — sécurité s

Transfert — arbre plein ou arbre creux : choisir à masse minimale

Torsion — contrainte max pour d connu

Torsion — coefficient de sécurité et Rpg

Torsion — critère d’angle unitaire θ

Torsion — retenir le plus grand des deux d min

Torsion — piège des unités N·m et N·mm

Torsion — répartition des contraintes τ

Drill RD-A.10 — Relever le plus petit diamètre sur un dessin à l'échelle 2:1 et conclure

Drill RD-A.11 — Deux conditions (contrainte et angle unitaire), puis lecture à l'échelle 3:2

Relier ce raisonnement au bac

Autres sujets de référence