RD-BRésistance des matériaux — torsion

Torsion — couple moteur, Reg, coefficient de sécurité et dmini

Idée directrice

Quand le bac donne $C$ (ou $P$ et $N$ ), $R_{eg}$ et $s$ , on ne lit plus $\tau$ sur un dessin : on pose $R_{pg}=R_{eg}/s$ puis $d_{\min}=\sqrt[3]{16 C s/(\pi R_{eg})}$ . Un diamètre déjà choisi se vérifie : $\tau_{\max}\le R_{pg}$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Torsion simple » ; « $R_{eg}$ / $s$ » ; « $d_{\min}$ » ; « l'arbre résiste »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Homogénéiser $C$ en N·mm si $d$ est en mm.
Toujours former $R_{pg}=R_{eg}/s$ avant de comparer $\tau$ .
Vérification = comparer $\tau$ à $R_{pg}$ ou $d$ réel à $d_{\min}$ .
Choix du matériau : calculer $\tau_{\max}$ au diamètre imposé, puis retenir le premier matériau de la liste dont la résistance pratique la dépasse.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier le facteur $10^3$ sur le couple ; prendre $s$ au numérateur d'un côté et l'oublier dans $R_{pg}$ de l'autre.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets techniques

3 questionsCorrigé masqué

Un arbre plein est sollicité en torsion simple (session principale 2015, machine à pain). On donne $C_{23}=3\,\mathrm{N\cdot m}$ , $R_{eg}=250\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=8$ .

Écrire $R_{pg}$ puis l'expression de $d_{\min}$ en fonction de $C$ , $s$ et $R_{eg}$ .
Calculer $d_{\min}$ en mm (le corrigé arrondit à $7{,}88\,\mathrm{mm}$ ).
Contrôle 2015 : $P_M=750\,\mathrm{W}$ , $N_M=950\,\mathrm{tr/min}$ , $R_{eg}=270\,\mathrm{N/mm^2}$ , $s=3$ , $d=12\,\mathrm{mm}$ . Le couple officiel est $C_m=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ . L'arbre résiste-t-il ? Justifier sans recopier le diamètre $7{,}88$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $R_{pg}=R_{eg}/s$ . Condition $\tau_{\max}=16C/(\pi d^3)\le R_{pg}$ d'où $d_{\min}=\sqrt[3]{16 C s/(\pi R_{eg})}$ .

2. $C=3\,\mathrm{N\cdot m}=3\cdot 10^3\,\mathrm{N\cdot mm}$ . $d_{\min}=\sqrt[3]{16\times 3\cdot 10^3\times 8/(\pi\times 250)}=\mathbf{7{,}88\,mm}$ .

3. $C_m=P\times 30/(\pi N)=750\times 30/(\pi\times 950)=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ . $\tau_{\max}=16 C_m/(\pi d^3)\approx 22{,}2\,\mathrm{N/mm^2}$ et $R_{pg}=270/3=90\,\mathrm{N/mm^2}$ . $\tau_{\max}<R_{pg}$ : l'arbre résiste en toute sécurité. (Équivalent : $d_{\min}\approx 7{,}53\,\mathrm{mm}<12\,\mathrm{mm}$ .)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : couple déduit de $P$ et $N$ (bac 2015 contrôle) ; vérification d'un diamètre mesuré sur le dessin d'ensemble (bac 2019 principale) ; diamètre minimal par la résistance puis par l'angle unitaire (bac 2021 principale) ; choix d'un matériau dans une liste par sa limite élastique (bac 2016 principale, en flexion).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RD-B.1 — dmini de l'arbre (23), bac 2015 P

Entraînement 01 / 04

Drill RD-B.1 — dmini de l'arbre (23), bac 2015 P

1 questionCorrigé masqué

Arbre $(23)$ à section circulaire pleine, torsion simple (machine à pain, 2015 P). Données officielles : $C_{23}=3\,\mathrm{N\cdot m}$ , $R_{eg}=250\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=8$ . Poser $R_{pg}$ puis calculer le diamètre minimal $d_{\min}$ en mm.

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$R_{pg}=R_{eg}/s=250/8=31{,}25\,\mathrm{N/mm^2}$ . Condition $\tau_{\max}=16C/(\pi d^3)\le R_{pg}$ .

Passer $C$ en N·mm : $3\cdot 10^3$ . Alors $d_{\min}=\sqrt[3]{16\times 3\cdot 10^3\times 8/(\pi\times 250)}=7{,}88\,\mathrm{mm}$ . Oublier le $10^3$ donne un diamètre absurde (dix fois trop petit).

2 Drill RD-B.2 — Couple depuis P et N, bac 2015 C

Entraînement 02 / 04

Drill RD-B.2 — Couple depuis P et N, bac 2015 C

1 questionCorrigé masqué

Chaîne de lavage de bacs, contrôle 2015. L'arbre moteur $(33)$ est en torsion simple. Puissance $P_M=750\,\mathrm{W}$ à $N_M=950\,\mathrm{tr/min}$ . Écrire $P=C\omega$ avec $\omega=2\pi N/60$ et calculer le couple $C_m$ en N·m.

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$\omega=2\pi N/60$ d'où $C_m=P\times 30/(\pi N)$ (formule du corrigé : $C_m=P_m\times 30/(\pi N_m)$ ).

AN : $C_m=750\times 30/(\pi\times 950)=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ . Ce couple sert ensuite à $\tau_{\max}$ ou à $d_{\min}$ ; il n'est pas encore une contrainte.

3 Drill RD-B.3 — Vérifier d = 12 mm

Entraînement 03 / 04

Drill RD-B.3 — Vérifier d = 12 mm

1 questionCorrigé masqué

Même arbre moteur $(33)$ : $C_m=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ , $d=12\,\mathrm{mm}$ , $R_{eg}=270\,\mathrm{N/mm^2}$ , $s=3$ . L'arbre respecte-t-il la condition de résistance à la torsion ?

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Deux méthodes du corrigé. (1) $\tau_{\max}=16 C_m/(\pi d^3)$ avec $C_m=7{,}54\cdot 10^3\,\mathrm{N\cdot mm}$ , $d=12\,\mathrm{mm}$ → $\tau_{\max}\approx 22{,}2\,\mathrm{N/mm^2}$ . $R_{pg}=R_{eg}/s=270/3=90\,\mathrm{N/mm^2}$ . $\tau_{\max}<R_{pg}$ .

(2) $d_{\min}=\sqrt[3]{16 C s/(\pi R_{eg})}\approx 7{,}53\,\mathrm{mm}<12\,\mathrm{mm}$ . Les deux voies disent que l'arbre résiste en toute sécurité. Ne pas comparer $22{,}2$ à $270$ (on aurait oublié $s$ ).

4 Drill RD-B.4 — Choisir le matériau d'un arbre en torsion par sa résistance pratique

Entraînement 04 / 04

Drill RD-B.4 — Choisir le matériau d'un arbre en torsion par sa résistance pratique

5 questionsCorrigé masqué

Un arbre de sortie plein transmet un couple $C=60\ \mathrm{N\cdot m}$ ; il est sollicité à la torsion simple. Le bureau d'études propose quatre aciers ; le tableau donne pour chacun la résistance pratique au glissement $R_{pg}$ (coefficient de sécurité déjà pris en compte).

Résistances pratiques au glissement données : S 235 : $R_{pg}=30\ \mathrm{MPa}$ ; E 295 : $R_{pg}=38\ \mathrm{MPa}$ ; E 335 : $R_{pg}=43\ \mathrm{MPa}$ ; C 45 : $R_{pg}=55\ \mathrm{MPa}$ .

Le diamètre de l'arbre est $d=22\ \mathrm{mm}$ . Calculer la contrainte tangentielle maximale $\tau_{\max}$ .
Choisir, dans l'ordre du tableau, le premier matériau qui convient. Justifier.
Pour gagner de la place, on réduit le diamètre à $d=20\ \mathrm{mm}$ . Refaire le choix.
Avec l'acier E 295, quel est le diamètre minimal de l'arbre ?
Donner la signification des désignations S 235, E 295 et C 45.

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Idée : on calcule d'abord la contrainte réelle, puis on parcourt la liste : le bon choix est le premier matériau dont la résistance pratique dépasse cette contrainte, pas le plus résistant.

1. $\tau_{\max}=\dfrac{16\,C}{\pi d^3}=\dfrac{16\times60\times10^3}{\pi\times22^3}\approx28{,}7\ \mathrm{MPa}$ .

2. Il faut $R_{pg}\ge\tau_{\max}$ : S 235 ( $30\ \mathrm{MPa}\ge28{,}7\ \mathrm{MPa}$ ) convient. Choix : S 235.

3. $\tau_{\max}=\dfrac{16\times60\times10^3}{\pi\times20^3}\approx38{,}2\ \mathrm{MPa}$ . S 235 ( $30$ ) et E 295 ( $38<38{,}2$ ) ne conviennent plus ; choix : E 335 ( $43\ \mathrm{MPa}$ ). Attention : E 295 échoue de peu, il ne faut pas arrondir $\tau$ vers le bas.

4. $d_{\min}=\sqrt[3]{\dfrac{16\,C}{\pi R_{pg}}}=\sqrt[3]{\dfrac{16\times60\times10^3}{\pi\times38}}\approx20{,}03\ \mathrm{mm}$ : il faut au moins $21\ \mathrm{mm}$ .

5. S 235 : acier de construction d'usage général, limite élastique minimale $235\ \mathrm{MPa}$ . E 295 : acier de construction mécanique, limite élastique minimale $295\ \mathrm{MPa}$ . C 45 : acier non allié pour traitement thermique, $0{,}45\ \%$ de carbone.

Relier ce raisonnement au bac

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Torsion — couple moteur, Reg, coefficient de sécurité et dmini

Exercice — dans l'esprit des sujets techniques

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill RD-B.1 — dmini de l'arbre (23), bac 2015 P

Drill RD-B.2 — Couple depuis P et N, bac 2015 C

Drill RD-B.3 — Vérifier d = 12 mm

Drill RD-B.4 — Choisir le matériau d'un arbre en torsion par sa résistance pratique

Relier ce raisonnement au bac