RD-BRésistance des matériaux — torsion

Torsion — couple moteur, Reg, coefficient de sécurité et dmini

Idée directrice

Quand le bac donne $C$ (ou $P$ et $N$ ), $R_{eg}$ et $s$ , on ne lit plus $\tau$ sur un dessin : on pose $R_{pg}=R_{eg}/s$ puis $d_{\min}=\sqrt[3]{16 C s/(\pi R_{eg})}$ . Un diamètre déjà choisi se vérifie : $\tau_{\max}\le R_{pg}$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Torsion simple » ; « $R_{eg}$ / $s$ » ; « $d_{\min}$ » ; « l'arbre résiste »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Homogénéiser $C$ en N·mm si $d$ est en mm.
Toujours former $R_{pg}=R_{eg}/s$ avant de comparer $\tau$ .
Vérification = comparer $\tau$ à $R_{pg}$ ou $d$ réel à $d_{\min}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier le facteur $10^3$ sur le couple ; prendre $s$ au numérateur d'un côté et l'oublier dans $R_{pg}$ de l'autre.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets techniques

3 questionsCorrigé masqué

Un arbre plein est sollicité en torsion simple (session principale 2015, machine à pain). On donne $C_{23}=3\,\mathrm{N\cdot m}$ , $R_{eg}=250\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=8$ .

Écrire $R_{pg}$ puis l'expression de $d_{\min}$ en fonction de $C$ , $s$ et $R_{eg}$ .
Calculer $d_{\min}$ en mm (le corrigé arrondit à $7{,}88\,\mathrm{mm}$ ).
Contrôle 2015 : $P_M=750\,\mathrm{W}$ , $N_M=950\,\mathrm{tr/min}$ , $R_{eg}=270\,\mathrm{N/mm^2}$ , $s=3$ , $d=12\,\mathrm{mm}$ . Le couple officiel est $C_m=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ . L'arbre résiste-t-il ? Justifier sans recopier le diamètre $7{,}88$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $R_{pg}=R_{eg}/s$ . Condition $\tau_{\max}=16C/(\pi d^3)\le R_{pg}$ d'où $d_{\min}=\sqrt[3]{16 C s/(\pi R_{eg})}$ .

2. $C=3\,\mathrm{N\cdot m}=3\cdot 10^3\,\mathrm{N\cdot mm}$ . $d_{\min}=\sqrt[3]{16\times 3\cdot 10^3\times 8/(\pi\times 250)}=\mathbf{7{,}88\,mm}$ .

3. $C_m=P\times 30/(\pi N)=750\times 30/(\pi\times 950)=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ . $\tau_{\max}=16 C_m/(\pi d^3)\approx 22{,}2\,\mathrm{N/mm^2}$ et $R_{pg}=270/3=90\,\mathrm{N/mm^2}$ . $\tau_{\max}<R_{pg}$ : l'arbre résiste en toute sécurité. (Équivalent : $d_{\min}\approx 7{,}53\,\mathrm{mm}<12\,\mathrm{mm}$ .)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RD-B.1 — dmini de l'arbre (23), bac 2015 P

Entraînement 01 / 03

Drill RD-B.1 — dmini de l'arbre (23), bac 2015 P

1 questionCorrigé masqué

Arbre $(23)$ à section circulaire pleine, torsion simple (machine à pain, 2015 P). Données officielles : $C_{23}=3\,\mathrm{N\cdot m}$ , $R_{eg}=250\,\mathrm{N/mm^2}$ , coefficient de sécurité $s=8$ . Poser $R_{pg}$ puis calculer le diamètre minimal $d_{\min}$ en mm.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$R_{pg}=R_{eg}/s=250/8=31{,}25\,\mathrm{N/mm^2}$ . Condition $\tau_{\max}=16C/(\pi d^3)\le R_{pg}$ .

Passer $C$ en N·mm : $3\cdot 10^3$ . Alors $d_{\min}=\sqrt[3]{16\times 3\cdot 10^3\times 8/(\pi\times 250)}=7{,}88\,\mathrm{mm}$ . Oublier le $10^3$ donne un diamètre absurde (dix fois trop petit).

2 Drill RD-B.2 — Couple depuis P et N, bac 2015 C

Entraînement 02 / 03

Drill RD-B.2 — Couple depuis P et N, bac 2015 C

1 questionCorrigé masqué

Chaîne de lavage de bacs, contrôle 2015. L'arbre moteur $(33)$ est en torsion simple. Puissance $P_M=750\,\mathrm{W}$ à $N_M=950\,\mathrm{tr/min}$ . Écrire $P=C\omega$ avec $\omega=2\pi N/60$ et calculer le couple $C_m$ en N·m.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$\omega=2\pi N/60$ d'où $C_m=P\times 30/(\pi N)$ (formule du corrigé : $C_m=P_m\times 30/(\pi N_m)$ ).

AN : $C_m=750\times 30/(\pi\times 950)=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ . Ce couple sert ensuite à $\tau_{\max}$ ou à $d_{\min}$ ; il n'est pas encore une contrainte.

3 Drill RD-B.3 — Vérifier d = 12 mm

Entraînement 03 / 03

Drill RD-B.3 — Vérifier d = 12 mm

1 questionCorrigé masqué

Même arbre moteur $(33)$ : $C_m=7{,}54\,\mathrm{N\cdot m}$ , $d=12\,\mathrm{mm}$ , $R_{eg}=270\,\mathrm{N/mm^2}$ , $s=3$ . L'arbre respecte-t-il la condition de résistance à la torsion ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Deux méthodes du corrigé. (1) $\tau_{\max}=16 C_m/(\pi d^3)$ avec $C_m=7{,}54\cdot 10^3\,\mathrm{N\cdot mm}$ , $d=12\,\mathrm{mm}$ → $\tau_{\max}\approx 22{,}2\,\mathrm{N/mm^2}$ . $R_{pg}=R_{eg}/s=270/3=90\,\mathrm{N/mm^2}$ . $\tau_{\max}<R_{pg}$ .

(2) $d_{\min}=\sqrt[3]{16 C s/(\pi R_{eg})}\approx 7{,}53\,\mathrm{mm}<12\,\mathrm{mm}$ . Les deux voies disent que l'arbre résiste en toute sécurité. Ne pas comparer $22{,}2$ à $270$ (on aurait oublié $s$ ).

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Torsion — couple moteur, Reg, coefficient de sécurité et dmini

Exercice — dans l'esprit des sujets techniques

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill RD-B.1 — dmini de l'arbre (23), bac 2015 P

Drill RD-B.2 — Couple depuis P et N, bac 2015 C

Drill RD-B.3 — Vérifier d = 12 mm

Relier ce raisonnement au bac