RD-CRésistance des matériaux — torsion

Flexion-torsion d'un arbre de pignon : moment idéal de flexion, diamètre minimal et comparaison au dessin

Idée directrice

Une sollicitation composée de flexion et de torsion se ramène à une flexion simple équivalente : le moment idéal de flexion $M_{fi}$ combine $M_{fzMax}$ et $M_t$ (pour l'acier, $M_{fi}=\sqrt{M_{fzMax}^2+M_t^2}$ ). On dimensionne ensuite avec $\dfrac{\pi d^3}{32}$ et $R_{pe}$ , puis on compare $d_{min}$ au plus petit diamètre relevé sur le dessin, ramené à sa valeur réelle par l'échelle.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« soumise à une sollicitation composée de flexion et de torsion » ; « calculer le moment idéal de flexion » ; « pour que la poutre résiste en toute sécurité à la flexion-torsion » ; « relever le plus petit diamètre de l'arbre et vérifier si le concepteur a respecté la condition de résistance »

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Écrire le rayon primitif avant le moment : $M_t=F_t\times\dfrac{mZ}{2}$ .
Calculer $\dfrac{1}{2\lambda}$ d'abord : pour l'acier ( $\lambda=0{,}5$ ) il vaut 1 et $M_{fi}=\sqrt{M_{fz}^2+M_t^2}$ .
Dimensionner comme en flexion simple avec $M_{fi}$ : $d\ge\sqrt[3]{32M_{fi}/(\pi R_{pe})}$ , $M_{fi}$ en N·mm et $R_{pe}$ en N/mm².
Sur le dessin : mesurer le plus petit diamètre, le ramener à sa valeur réelle par l'échelle (1:2 → × 2), puis le comparer à $d_{min}$ et cocher.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Vérifier avec $M_{fz}$ seul (ici 17,2 mm) en oubliant la torsion ; additionner $M_{fz}+M_t$ (197 N·m, 20,3 mm), ce qui fait cocher à tort « Ne résiste pas » ; mettre 16 (torsion) au lieu de 32 (flexion) dans la formule de $d$ ; garder $M_{fi}$ en N·m face à $R_{pe}$ en MPa ; prendre $m\,Z$ au lieu de $m\,Z/2$ comme bras de levier ; reporter la mesure dessinée (10 mm) sans la multiplier par 2 ; relever le diamètre de tête de la denture ou une portée de roulement au lieu du plus petit diamètre.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit du sujet de la session de contrôle 2024 : arbre de treuil en flexion-torsion

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Treuil électrique de levage. Le moteur entraîne le tambour du treuil par un réducteur à deux étages. L'arbre intermédiaire (8) reçoit le couple par la roue (7), clavetée sur son bout d'arbre, et le transmet par sa denture de pignon arbré, qui engrène avec la roue (10) du tambour. Il est guidé en rotation par les roulements R1 et R2.

L'arbre (8) est assimilé à une poutre cylindrique pleine de diamètre $d$ , soumise à une sollicitation composée de flexion et de torsion. On utilise le moment idéal de flexion :

M_{fi}=\left(1-\dfrac{1}{2\lambda}\right)M_{fzMax}

\qquad+\dfrac{1}{2\lambda}\sqrt{M_{fzMax}^{2}+M_t^{2}}

avec, pour l'acier, $\lambda=\dfrac{R_{pg}}{R_{pe}}=0{,}5$ .

On donne : denture de l'arbre (8) : module $m=2{,}5$ mm, $Z_8=22$ dents ; effort tangentiel maximal de la roue (10) sur cette denture : $\|\vec F_t\|=2800$ N ; moment de flexion maximal $M_{fzMax}=120$ N·m ; résistance pratique à l'extension de l'acier $R_{pe}=240$ MPa.

Justifier que l'arbre (8) est sollicité à la flexion et à la torsion.
Moment de torsion :
1. Calculer le diamètre primitif $d_8$ de la denture.
2. En déduire le moment de torsion $M_t$ sur l'arbre (8).
Calculer le moment idéal de flexion $M_{fi}$ .
Calculer le diamètre minimal $d_{min}$ pour que l'arbre (8) résiste en toute sécurité à la flexion-torsion.
En se référant au dessin ci-dessus :
1. relever le plus petit diamètre de l'arbre (8) : $d_{mesuré}=$ ………… ;
2. vérifier si le concepteur a respecté la condition de résistance, en mettant une croix dans la case correspondante.

$d$ mesuré	Résiste	Ne résiste pas
…………

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1. Idée : regarder où et comment l'effort de denture agit sur l'arbre.

$\vec F_t$ est perpendiculaire à l'axe et s'applique entre les roulements R1 et R2 : l'arbre se comporte comme une poutre sur deux appuis chargée transversalement, il est fléchi ;
$\vec F_t$ agit sur le cercle primitif, à la distance $d_8/2$ de l'axe : son moment équilibre le couple reçu par la roue (7), et le tronçon compris entre la roue (7) et la denture est tordu.

2.a Diamètre primitif :

d_8=m\,Z_8=2{,}5\times 22=\boxed{55\ \text{mm}}

2.b Idée : $F_t$ est tangent au cercle primitif, son bras de levier est le rayon primitif.

M_t=\|\vec F_t\|\times\dfrac{d_8}{2}=2800\times 27{,}5

M_t=77\,000\ \text{N·mm}=\boxed{77\ \text{N·m}}

3. Idée : calculer $\dfrac{1}{2\lambda}$ avant de développer la formule. Pour l'acier, $\dfrac{1}{2\lambda}=\dfrac{1}{2\times 0{,}5}=1$ : le premier terme s'annule.

M_{fi}=\sqrt{M_{fzMax}^{2}+M_t^{2}}=\sqrt{120^{2}+77^{2}}

M_{fi}=\sqrt{20\,329}\approx\boxed{142{,}58\ \text{N·m}}

4. Idée : la sollicitation composée est remplacée par une flexion simple de moment $M_{fi}$ ; le module de flexion d'une section pleine est $\dfrac{I_{Gz}}{v}=\dfrac{\pi d^{3}}{32}$ .

\sigma_{max}=\dfrac{32\,M_{fi}}{\pi d^{3}}\le R_{pe}

d\ge\sqrt[3]{\dfrac{32\,M_{fi}}{\pi R_{pe}}}

Avec $M_{fi}=142\,580$ N·mm et $R_{pe}=240$ N/mm² :

d\ge\sqrt[3]{\dfrac{4\,562\,560}{753{,}98}}=\sqrt[3]{6051}

d_{min}\approx\boxed{18{,}2\ \text{mm}}

5. Idée : à l'échelle 1:2, une longueur dessinée vaut la moitié de la longueur réelle ; on multiplie donc la mesure par 2. Le plus petit diamètre de l'arbre (8) est celui du bout d'arbre qui porte la roue (7) : il couvre 2 carreaux, soit 10 mm sur le dessin.

d_{mesuré}=10\times 2=\boxed{20\ \text{mm}}

$20\ \text{mm}\ge 18{,}2\ \text{mm}$ : croix dans la case « Résiste ». Le concepteur a respecté la condition de résistance, avec une marge d'environ 10 % sur le diamètre.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : la flexion-torsion par le moment idéal de flexion est récente et rare dans les sujets de la section : contrôle 2024 (arbre porte-pignon en prise avec une crémaillère, $M_{fzMax}$ et $R_{pe}$ donnés, plus petit diamètre relevé sur le dessin d'ensemble), puis principale 2026 (vis sans fin : $|M_f|_{max}$ relevé sur le diagramme des moments fléchissants, $R_{pe}=R_e/s$ , diamètre minimal). Elle y remplace la flexion plane simple d'un arbre, où l'on calculait les moments fléchissants le long de la poutre puis $d_{mini}$ , avant de relever le diamètre réel sur le dessin d'ensemble (contrôle 2018). Les exercices d'entraînement vérifient un diamètre donné par la contrainte (RD-C.1) et calculent $M_{fzMax}$ à partir des appuis (RD-C.2).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill RD-C.1 — Vérifier un diamètre par la contrainte idéale : le piège de

M_{fz}

seul

Entraînement 01 / 02

Drill RD-C.1 — Vérifier un diamètre par la contrainte idéale : le piège de $M_{fz}$ seul

5 questionsCorrigé masqué

L'arbre de sortie (12) d'un réducteur de convoyeur porte un pignon qui transmet une puissance $P=3$ kW à la vitesse $N=250$ tr/min. L'arbre est assimilé à une poutre cylindrique pleine soumise à une sollicitation composée de flexion et de torsion ; le moment de flexion maximal vaut $M_{fzMax}=150$ N·m. Dans la section la plus sollicitée, son diamètre est $d=22$ mm. Acier : $R_e=340$ MPa, coefficient de sécurité $s=2$ . Moment idéal de flexion :

M_{fi}=\left(1-\dfrac{1}{2\lambda}\right)M_{fzMax}

\qquad+\dfrac{1}{2\lambda}\sqrt{M_{fzMax}^{2}+M_t^{2}}

avec $\lambda=0{,}5$ pour l'acier.

Calculer le couple $C$ transmis par l'arbre et en déduire le moment de torsion $M_t$ .
Calculer le moment idéal de flexion $M_{fi}$ .
Calculer $R_{pe}$ puis la contrainte normale maximale $\sigma_{max}=\dfrac{32\,M_{fi}}{\pi d^{3}}$ . L'arbre résiste-t-il en toute sécurité ?
Un technicien a fait la vérification avec $M_{fzMax}$ seul. Quelle conclusion a-t-il obtenue, et pourquoi est-elle fausse ?
Quel plus petit diamètre entier, en mm, faudrait-il donner à cette section ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : le couple se déduit de la puissance, avec $\omega$ en rad/s.

\omega=\dfrac{2\pi N}{60}=\dfrac{2\pi\times 250}{60}=26{,}18\ \text{rad/s}

C=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{3000}{26{,}18}\approx 114{,}59\ \text{N·m}

Le tronçon entre l'entrée du couple et le pignon est tordu par ce couple : $\boxed{M_t=C=114{,}59\ \text{N·m}}$ .

2. $\dfrac{1}{2\lambda}=1$ , donc :

M_{fi}=\sqrt{150^{2}+114{,}59^{2}}\approx\boxed{188{,}76\ \text{N·m}}

3. $R_{pe}=\dfrac{R_e}{s}=\dfrac{340}{2}=\boxed{170\ \text{MPa}}$ . Module de flexion :

\dfrac{\pi d^{3}}{32}=\dfrac{\pi\times 22^{3}}{32}\approx 1045{,}4\ \text{mm}^3

\sigma_{max}=\dfrac{188\,760}{1045{,}4}\approx\boxed{180{,}6\ \text{MPa}}

$180{,}6\ \text{MPa}>R_{pe}=170\ \text{MPa}$ : l'arbre ne résiste pas en toute sécurité.

4. Idée : refaire le calcul comme le technicien, puis comparer les deux moments.

\sigma_f=\dfrac{150\,000}{1045{,}4}\approx 143{,}5\ \text{MPa}\le 170

Il a conclu « l'arbre résiste ». C'est faux : il a ignoré la torsion. Dès que $M_t\ne 0$ , $M_{fi}=\sqrt{M_{fz}^2+M_t^2}$ est plus grand que $M_{fz}$ ; ici il passe de 150 à 188,76 N·m et la contrainte franchit $R_{pe}$ .

5. Idée : poser la condition sur $d$ et arrondir au-dessus.

d\ge\sqrt[3]{\dfrac{32\times 188\,760}{\pi\times 170}}=\sqrt[3]{11\,310}

$d\ge 22{,}45$ mm : le plus petit diamètre entier qui convient est $\boxed{d=23\ \text{mm}}$ ; 22 mm est insuffisant, comme la question 3 l'a montré.

2 Drill RD-C.2 — Calculer d'abord

M_{fzMax}

: pignon entre deux roulements

Entraînement 02 / 02

Drill RD-C.2 — Calculer d'abord $M_{fzMax}$ : pignon entre deux roulements

6 questionsCorrigé masqué

L'arbre (3) d'un réducteur de bétonnière est guidé par deux roulements, modélisés par des appuis simples en A et B, distants de $AB=120$ mm. Il porte en C, avec $AC=40$ mm, un pignon à denture droite de module $m=2$ mm et de $Z=30$ dents. La roue menée exerce sur ce pignon un effort tangentiel $\|\vec F\|=3000$ N, perpendiculaire à l'axe (on néglige l'effort radial et le poids). Le couple entre par un accouplement monté en bout d'arbre, côté A.

L'arbre, assimilé à une poutre cylindrique pleine, est soumis à la flexion et à la torsion. Pour l'acier, $\lambda=0{,}5$ et le moment idéal de flexion se réduit à $M_{fi}=\sqrt{M_{fzMax}^{2}+M_t^{2}}$ . On donne $R_{pe}=200$ MPa.

Calculer les actions des appuis A et B sur l'arbre.
Exprimer le moment fléchissant entre A et C, puis entre C et B ; en déduire $M_{fzMax}$ .
Calculer le moment de torsion $M_t$ .
Calculer $M_{fi}$ .
Calculer le diamètre minimal $d_{min}$ de l'arbre.
Choisir le diamètre à retenir dans la série : 16 — 18 — 20 — 22 — 25 mm.

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1. Idée : équilibre de la poutre, moments en B puis somme des forces.

R_A\times 120=3000\times 80\ \Rightarrow\ R_A=2000\ \text{N}

R_B=3000-2000=1000\ \text{N}

2. Idée : le moment fléchissant est affine par tronçon, nul aux appuis, maximal sous la charge. Entre A et C : $M_f(x)=R_A\,x$ ; entre C et B : $M_f(x)=R_B\,(120-x)$ ( $x$ en mm depuis A).

M_{fzMax}=M_f(C)=2000\times 40=80\,000\ \text{N·mm}

On retrouve la même valeur par la droite : $1000\times 80$ . Donc $\boxed{M_{fzMax}=80\ \text{N·m}}$ .

3. Idée : le bras de levier de $\vec F$ est le rayon primitif $\dfrac{mZ}{2}=\dfrac{2\times 30}{2}=30$ mm.

M_t=\|\vec F\|\times\dfrac{mZ}{2}=3000\times 30=90\,000\ \text{N·mm}

soit $\boxed{M_t=90\ \text{N·m}}$ .

M_{fi}=\sqrt{80^{2}+90^{2}}=\sqrt{14\,500}

M_{fi}\approx\boxed{120{,}42\ \text{N·m}}

d\ge\sqrt[3]{\dfrac{32\times 120\,420}{\pi\times 200}}=\sqrt[3]{6133}

d_{min}\approx\boxed{18{,}3\ \text{mm}}

6. Idée : le diamètre retenu doit être au moins égal à $d_{min}$ . 18 mm est trop petit ; on retient $\boxed{d=20\ \text{mm}}$ , première valeur de la série au-dessus de 18,3 mm.

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