Guidage en rotation — remplacer des coussinets par un montage en O ou en X

Case montage en O (croix du corrigé 2019). Le concepteur choisit ce montage parce que la roue dentée conique $(61)$ est montée en porte-à-faux sur l'arbre de sortie $(57)$.

Le X rapprocherait les centres de poussée à l'intérieur de la liaison : moins de bras de levier pour reprendre le moment de la denture, donc moins de rigidité sur un porte-à-faux. Le remplacement des coussinets usés n'impose pas le O à lui seul — c'est la position de la denture qui le fait.

Le O éloigne les centres de poussée et donne plus de rigidité à la liaison — phrase du corrigé 2022 pour l'arbre cannelé $(2)$.

Réglage du jeu : case bagues intérieures. En règle générale un arbre tournant mettrait les bagues extérieures glissantes ; ici l'accès à une bague extérieure est trop difficile, d'où un O « de moyeu tournant » avec une bague intérieure à très faible jeu. Ce n'est pas une contradiction du guidage, c'est un cas particulier d'accessibilité.

Montage en X — le corrigé 2016 de la vis sans fin $(11)$ / carter $(7)$ l'écrit tel quel après « Donner le nom de ce type de montage ».

Les centres de poussée se rapprochent à l'intérieur de la liaison : encombrement axial plus faible. Ce n'est pas le choix d'un pignon en porte-à-faux (là le bac 2019 force le O). Ici la vis est portée entre deux roulements dans le carter, d'où le X.

Le pignon rapporté transmet un couple par denture, rapporté sur l'arbre $(33)$ pour des raisons technico-économiques (pièce dentée séparée, liaison démontable). Ce n'est pas un palier.

Organe de guidage en rotation : coussinet ou roulement (BT, billes). Le bac 2015 P, sur un autre arbre, remplace d'ailleurs un coussinet par deux roulements à billes — même famille de question, autre fonction. Mélanger les deux, c'est coller une denture dans une case de palier.

Idée : un roulement à contact oblique ne travaille pas dans son plan médian — il travaille en son centre de poussée. Choisir entre O et X, ce n'est donc pas choisir un dessin, c'est choisir la portée sur laquelle l'arbre prend appui, et un porte-à-faux ne se juge que par rapport à cette portée-là.

1. La ligne d'action part du contact, au rayon $d_m/2$, et rejoint l'axe en faisant l'angle $\alpha$ avec le plan radial :

D'où $L_O=B+2a=90+36{,}92=\mathbf{126{,}9\ \mathrm{mm}}$ et $L_X=B-2a=90-36{,}92=\mathbf{53{,}1\ \mathrm{mm}}$. Le même entraxe de roulements offre donc, selon le montage, deux portées dans un rapport $2{,}39$ : c'est la traduction chiffrée de l'écartement des centres de poussée.

2. En O, le centre de poussée le plus proche se déplace vers la roue dentée, ce qui raccourcit le porte-à-faux : $c_O=b-a=50-18{,}46=31{,}54\,\mathrm{mm}$. En X il s'en éloigne : $c_X=b+a=68{,}46\,\mathrm{mm}$. Les réactions d'une poutre chargée en porte-à-faux valent $R_{\text{proche}}=F\left(1+\dfrac{c}{L}\right)$ et $R_{\text{loin}}=F\dfrac{c}{L}$ :

3. Le montage en O est celui à retenir : il abaisse la charge du roulement le plus sollicité de $1\,832$ à $999\,\mathrm{N}$, soit $-45\,\%$, et divise par plus de $5$ celle du roulement éloigné. Comme la durée de vie d'un roulement à billes varie comme l'inverse du cube de la charge, ce facteur $1{,}83$ sur l'effort représente un facteur voisin de $6$ sur la durée de vie — le choix du montage pèse ici bien plus lourd que le choix du roulement lui-même.

4. Charge appliquée à mi-distance entre les deux centres de poussée : par symétrie, chaque roulement reprend $F/2=\mathbf{400\ \mathrm{N}}$, et ce dans les deux montages, puisque les centres de poussée restent symétriques par rapport au point d'application. La répartition des charges cesse alors d'être un critère de choix ; il se reporte sur des critères de montage — accessibilité de la bague sur laquelle se règle le jeu de fonctionnement, et comportement de ce jeu vis-à-vis des dilatations en service.

Idée : le jeu axial n'est pas une imperfection qu'on cherche à annuler, c'est un réglage — une grandeur qu'on choisit en fonction de ce que le guidage en rotation doit privilégier : la précision de position, ou la tolérance à l'échauffement.

1. L'empilage doit combler tout l'espace sauf le jeu visé :

Avec les cales disponibles, $3{,}10=6\times0{,}50+1\times0{,}10$, soit 7 cales. Aucune combinaison de $6$ cales ou moins n'atteint $3{,}10$ : six cales de $0{,}50$ ne donnent que $3{,}00$, et remplacer l'une d'elles par une cale plus mince ne fait que descendre. Empiler davantage de cales minces serait possible mais multiplierait les surfaces de contact, donc le tassement en service.

2. Une denture conique en porte-à-faux transmet un effort axial et un moment de renversement : tout jeu axial se traduit en basculement de l'arbre, donc en défaut d'engrènement. Il faut donc une légère précharge. Le jeu nul, lui, n'est pas un réglage sûr : il est la frontière entre deux comportements opposés, et les dispersions d'usinage, de mesure et de température le font basculer au hasard d'un côté ou de l'autre. Un réglage ne se place jamais sur une frontière — on choisit délibérément un petit jeu ou une petite précharge, et on sait laquelle on a.

3. Non. En régime rapide, l'arbre s'échauffe plus que le carter et s'allonge davantage : la précharge initiale s'ajoute à ce serrage thermique, la charge interne des roulements grimpe, l'échauffement augmente encore — l'emballement est possible jusqu'au grippage. Il faut repasser à un jeu axial positif, choisi assez grand pour rester positif à chaud, et accepter la perte de rigidité qui en découle. Le bon réglage n'est donc pas une propriété du montage seul, mais du couple montage-régime thermique.

4. Les deux derniers chiffres donnent $05\times5=\mathbf{25\ \mathrm{mm}}$ d'alésage. Le remplacement par des $6205$ ne conserve pas le réglage : un roulement rigide à billes a un jeu interne fixé à la fabrication, sans ligne d'action inclinée, donc aucune précharge ne peut être créée en opposant les deux roulements par un empilage de cales. On perd à la fois le réglage du jeu, la rigidité au basculement que donnait l'inclinaison à $40^\circ$, et la capacité de charge axiale dans le sens du contact oblique. L'alésage identique ne suffit pas : deux roulements interchangeables sur le papier ne remplissent pas la même fonction.

Idée : deux roulements bloqués en sens opposés enferment l'arbre entre deux butées portées par une pièce qui ne chauffe pas comme lui. Le jeu axial réglé à froid est donc une réserve, et il faut vérifier qu'elle est plus grande que ce que la dilatation différentielle vient y prendre.

1. $\Delta L=\alpha\,L\,\Delta\theta$ pour chaque pièce :

L'allongement différentiel vaut $\Delta=\Delta L_a-\Delta L_c=\mathbf{0{,}078\ \mathrm{mm}}$, l'arbre s'allongeant davantage que le carter — moins à cause des matériaux, très proches, qu'à cause des $25\,^\circ\mathrm{C}$ d'écart de température.

2. $0{,}078\,\mathrm{mm}>J_0=0{,}04\,\mathrm{mm}$ : la dilatation consomme tout le jeu puis impose un serrage de $0{,}078-0{,}04=0{,}038\,\mathrm{mm}$. Les roulements subissent donc une précharge involontaire, non maîtrisée, qui s'ajoute aux charges de service : la charge interne augmente, l'échauffement aussi, ce qui accroît encore la dilatation. C'est un mécanisme cumulatif, et c'est ce qui rend ce défaut plus dangereux qu'un simple excès de jeu.

3. Il faut que le jeu à froid couvre la dilatation différentielle plus le jeu résiduel voulu :

Le prix à payer se lit à froid : au démarrage, l'arbre dispose de $0{,}11\,\mathrm{mm}$ de battement axial, avec la perte de précision d'engrènement et le bruit qui vont avec, sur une denture précisément montée en porte-à-faux. Un montage réglé pour le régime chaud est mal réglé à froid, et réciproquement.

4. Avec un seul roulement bloqué et l'autre monté libre de coulisser, l'allongement différentiel se traduit par un simple glissement de la bague extérieure dans son alésage : il ne crée plus aucun effort, et le calcul de la question 3 devient sans objet. On perd en contrepartie la rigidité axiale à deux points d'appui du montage en O : un seul roulement encaisse désormais la charge axiale dans les deux sens, et il faut le choisir en conséquence. Permuter O et X ne changerait rien : dans les deux cas les deux roulements restent bloqués axialement en sens opposés, et l'allongement différentiel est intégralement repris par le jeu axial. Le remède est de libérer un palier, pas d'inverser le sens des contacts obliques.