TR-GTransmissions et rapports de vitesses

Chaîne cinématique simplifiée : des diamètres et des Z au rapport global, puis vitesse de sortie et cahier des charges

Idée directrice

Le bac donne la chaîne cinématique simplifiée — moteur, poulies-courroie, roue et vis sans fin, engrenages, organe de sortie — avec des diamètres et des nombres de dents, pas les rapports tout faits. Le geste est toujours le même : le rapport de chaque étage, le rapport global écrit littéralement puis calculé, la vitesse de rotation de sortie, la vitesse angulaire, la vitesse linéaire $V=\omega\cdot R$ du point utile, puis une phrase qui compare au cahier des charges. La question suivante remonte souvent la chaîne en sens inverse : quelle vitesse du moteur, ou quel diamètre, pour obtenir la vitesse imposée ?

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer le rapport global $r_g$ du réducteur » ; « Calculer la vitesse de rotation … » ; « Déduire la vitesse angulaire » ; « calculer la vitesse tangentielle » ; « Le cahier des charges impose une vitesse … » ; « Vérifier si la condition imposée par le cahier de charges est respectée »

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Rapport d’étage $=\dfrac{N_{\text{sortie}}}{N_{\text{entrée}}}$ : $\dfrac{d_{\text{menante}}}{d_{\text{menée}}}$ (poulies), $\dfrac{n_{\text{filets}}}{Z_{\text{roue}}}$ (roue et vis sans fin), $\dfrac{\text{produit des }Z\text{ menantes}}{\text{produit des }Z\text{ menées}}$ (engrenages).
$r_g$ = produit des rapports des étages : expression littérale d’abord, application numérique ensuite.
$\omega=\dfrac{2\pi N}{60}$ ( $N$ en tr/min, $\omega$ en rad/s), puis $V=\omega\cdot R$ avec $R$ en mètres.
Vérifier = comparer au critère du cahier des charges et conclure par une phrase.
Sens inverse : $N_{\text{sortie}}=\dfrac{60\,V}{2\pi R}$ , puis $N_m=\dfrac{N_{\text{sortie}}}{r_g}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire le rapport des poulies à l’envers ( $d_2/d_1$ ) ; mettre le nombre de dents de la roue au numérateur d’une roue et vis sans fin, ou oublier que la vis a plusieurs filets ; prendre le diamètre du tambour au lieu du rayon dans $V=\omega R$ ; laisser $R$ en millimètres (la vitesse sort mille fois trop grande) ; écrire $V=N\cdot R$ sans convertir la vitesse de rotation en rad/s.

Sujet principal

Exercice — étude cinématique d’un convoyeur à bande, dans l’esprit des sessions 2015–2025

8 questionsCorrigé masqué

Dans un poste de conditionnement, les colis sont évacués par un convoyeur à bande. La bande est entraînée par le tambour (7). La chaîne cinématique simplifiée de l’entraînement est donnée ci-dessous ; le tambour (7) est encastré sur l’arbre de la roue (6).

Moteur (M)	Poulies-courroie (1, 2)	Roue et vis sans fin (3, 4)	Engrenage (5, 6)	Tambour (7)
$N_m=1440$ tr/min	$d_1=100$ mm ; $d_2=250$ mm	vis (3) à 2 filets ; $Z_4=40$ dents	$Z_5=25$ ; $Z_6=40$ dents	$D=630$ mm

La poulie (1) est montée sur l’arbre moteur ; la poulie (2) est calée sur la vis sans fin (3) ; le pignon (5) est solidaire de la roue (4). Pour tenir la cadence d’évacuation sans que les colis glissent sur la bande, le cahier des charges impose une vitesse linéaire de la bande $0{,}55\ \text{m/s}\le V\le0{,}65\ \text{m/s}$ .

Exprimer puis calculer le rapport de transmission de chaque étage :
1. $r_{1-2}$ de la transmission poulies-courroie ;
2. $r_{3-4}$ du système roue et vis sans fin ;
3. $r_{5-6}$ de l’engrenage.
Écrire l’expression littérale du rapport global $r_g=\dfrac{N_7}{N_m}$ , puis le calculer.
Calculer la vitesse de rotation $N_7$ du tambour.
En déduire sa vitesse angulaire $\omega_7$ .
Calculer la vitesse linéaire $V$ de la bande, en m/s.
Vérifier si la condition imposée par le cahier des charges est respectée.
Le client souhaite une vitesse de bande $V=0{,}6$ m/s sans modifier la transmission. Déterminer la vitesse de rotation que devrait avoir le moteur.
Le moteur tombe en panne ; le seul moteur disponible tourne à $N_m=950$ tr/min.
1. Calculer la nouvelle vitesse de la bande ; conclure.
2. Seule la poulie (1) peut être changée. Déterminer son diamètre $d_1$ pour retrouver $V=0{,}6$ m/s.
3. Le catalogue propose $d_1\in\{125\,;\,140\,;\,160\,;\,180\}$ mm. Choisir la poulie qui respecte le cahier des charges. Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : un rapport d’étage vaut $\dfrac{N_{\text{sortie}}}{N_{\text{entrée}}}$ ; il s’écrit avec les diamètres pour des poulies, avec le nombre de filets de la vis pour une roue et vis sans fin, avec les $Z$ pour un engrenage.

1.a $r_{1-2}=\dfrac{d_1}{d_2}=\dfrac{100}{250}$ , soit $\boxed{r_{1-2}=0{,}4}$ .

1.b La vis est toujours menante ; à chaque tour, une vis à $n$ filets fait avancer la roue de $n$ dents : $r_{3-4}=\dfrac{n}{Z_4}=\dfrac{2}{40}$ , soit $\boxed{r_{3-4}=0{,}05}$ .

1.c $r_{5-6}=\dfrac{Z_5}{Z_6}=\dfrac{25}{40}$ , soit $\boxed{r_{5-6}=0{,}625}$ .

2. Idée : le rapport global est le produit des rapports des étages ; l’expression littérale vient avant l’application numérique.

r_g=\dfrac{d_1}{d_2}\cdot\dfrac{n}{Z_4}\cdot\dfrac{Z_5}{Z_6}

r_g=0{,}4\times0{,}05\times0{,}625

\boxed{r_g=\dfrac{1}{80}=0{,}0125}

3. $N_7=r_g\cdot N_m=\dfrac{1440}{80}$ , soit $\boxed{N_7=18\ \text{tr/min}}$ .

4. $\omega_7=\dfrac{2\pi N_7}{60}=\dfrac{2\pi\times18}{60}$ , soit $\boxed{\omega_7\approx1{,}885\ \text{rad/s}}$ .

5. Idée : la bande avance à la vitesse d’un point de la périphérie du tambour ; on prend le rayon, en mètres. $R=\dfrac{D}{2}=315\ \text{mm}=0{,}315\ \text{m}$ , puis $V=\omega_7\cdot R=1{,}885\times0{,}315$ , soit $\boxed{V\approx0{,}594\ \text{m/s}}$ .

6. $0{,}55\le0{,}594\le0{,}65$ : la condition imposée par le cahier des charges est respectée.

7. Idée : en sens inverse, on remonte la chaîne : $V\to\omega_7\to N_7\to N_m$ , en divisant par $r_g$ .

N_7=\dfrac{60\,V}{2\pi R}=\dfrac{60\times0{,}6}{2\pi\times0{,}315}

soit $N_7\approx18{,}19$ tr/min, puis $N_m=\dfrac{N_7}{r_g}=80\times18{,}19$ , soit $\boxed{N_m\approx1455\ \text{tr/min}}$ . Le moteur actuel, à $1440$ tr/min, donne $0{,}594$ m/s, environ $1\,\%$ de moins.

8.a $V$ est proportionnelle à $N_m$ : $V=0{,}594\times\dfrac{950}{1440}$ , soit $\boxed{V\approx0{,}392\ \text{m/s}}$ , inférieure à $0{,}55$ m/s : la condition n’est plus respectée.

8.b Idée : seul $r_{1-2}=\dfrac{d_1}{d_2}$ change, donc $V$ est proportionnelle à $d_1$ ; il faut retrouver la vitesse de moteur « équivalente » de la question 7. $d_1=100\times\dfrac{1455}{950}$ , soit $\boxed{d_1\approx153\ \text{mm}}$ .

8.c Avec le moteur de $950$ tr/min, $V=0{,}392\times\dfrac{d_1}{100}$ ( $d_1$ en mm) :

$d_1$ (mm)	125	140	160	180
$V$ (m/s)	0,490	0,548	0,627	0,705

Seule la poulie de $\boxed{d_1=160\ \text{mm}}$ donne $0{,}55\le V\le0{,}65$ ; celle de $140$ mm reste juste au-dessous de $0{,}55$ m/s, celle de $180$ mm dépasse $0{,}65$ m/s.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : vitesse linéaire de la bande d’un convoyeur après calcul des nombres de dents d’un réducteur à entraxe commun (contrôle 2015) ; vitesse de la poulie de sortie en vitesse rapide puis lente, et nombre de dents d’une roue inconnue (contrôle 2016) ; vitesse de translation maximale de l’axe porte-mandrin imposée par le cahier des charges (contrôle 2018) ; trois vitesses de sortie d’une boîte à rapports donnés (principale 2019) ; vitesse tangentielle d’un maneton comprise dans un intervalle (contrôle 2021) ; nombres de dents retrouvés à partir d’un rapport global et d’un entraxe (contrôle 2024) ; chaîne cinématique simplifiée présentée en tableau et terminée par un train épicycloïdal (principale et contrôle 2025).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill TR-G.1 — réducteur à axes coaxiaux : retrouver les nombres de dents avec l’entraxe et le rapport global

Entraînement 01 / 04

Drill TR-G.1 — réducteur à axes coaxiaux : retrouver les nombres de dents avec l’entraxe et le rapport global

9 questionsCorrigé masqué

Un motoréducteur à axes coaxiaux (l’arbre de sortie est dans le prolongement de l’arbre moteur) comporte deux engrenages cylindriques à denture droite. Le pignon (2), sur l’arbre moteur, engrène avec la roue (3) ; le pignon (4), solidaire de la roue (3) sur l’arbre intermédiaire, engrène avec la roue (5) de l’arbre de sortie.

Moteur : $N_m=1450$ tr/min.
Engrenage (2, 3) : module $m_1=2$ mm, $Z_2=14$ dents.
Engrenage (4, 5) : module $m_2=2{,}5$ mm.
Entraxe $a=70$ mm ; rapport global $r_g=\dfrac{N_5}{N_m}=\dfrac{1}{10}$ .

Justifier que les deux engrenages ont le même entraxe $a$ .
Calculer le nombre de dents $Z_3$ .
Calculer le rapport $r_{2-3}$ , puis en déduire le rapport $r_{4-5}$ .
Écrire les deux relations qui lient $Z_4$ et $Z_5$ , puis calculer $Z_4$ et $Z_5$ .
Vérifier l’entraxe à l’aide des diamètres primitifs $d_4$ et $d_5$ , puis calculer la vitesse de rotation $N_5$ de l’arbre de sortie.

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1. L’arbre moteur et l’arbre de sortie ont le même axe ; l’arbre intermédiaire lui est parallèle. La distance entre ces deux axes est à la fois l’entraxe de (2, 3) et celui de (4, 5) : $a_{2-3}=a_{4-5}=a=70$ mm.

2. $a=\dfrac{m_1\,(Z_2+Z_3)}{2}$ donne $Z_3=\dfrac{2a}{m_1}-Z_2=\dfrac{140}{2}-14$ , soit $\boxed{Z_3=56\ \text{dents}}$ .

3. $r_{2-3}=\dfrac{Z_2}{Z_3}=\dfrac{14}{56}=\dfrac14$ . Comme $r_g=r_{2-3}\cdot r_{4-5}$ : $r_{4-5}=\dfrac{r_g}{r_{2-3}}=\dfrac{1/10}{1/4}$ , soit $\boxed{r_{4-5}=0{,}4}$ .

4. Idée : deux inconnues, deux équations — l’entraxe donne la somme des dents, le rapport leur quotient.

Z_4+Z_5=\dfrac{2a}{m_2}=\dfrac{140}{2{,}5}=56

Z_4=r_{4-5}\cdot Z_5=0{,}4\,Z_5

d’où $1{,}4\,Z_5=56$ : $\boxed{Z_5=40\ \text{dents}}$ et $\boxed{Z_4=16\ \text{dents}}$ .

5. $d_4=m_2Z_4=40$ mm et $d_5=m_2Z_5=100$ mm ; $\dfrac{d_4+d_5}{2}=70$ mm $=a$ . $N_5=r_g\cdot N_m=\dfrac{1450}{10}$ , soit $\boxed{N_5=145\ \text{tr/min}}$ .

2 Drill TR-G.2 — sens de rotation : compter les contacts extérieurs ; la roue intermédiaire ne change pas le rapport

Entraînement 02 / 04

Drill TR-G.2 — sens de rotation : compter les contacts extérieurs ; la roue intermédiaire ne change pas le rapport

6 questionsCorrigé masqué

La boîte à deux gammes d’un chariot comporte trois arbres parallèles : l’arbre moteur, un arbre intermédiaire et l’arbre de sortie. Le moteur tourne à $N_m=1500$ tr/min. Le pignon A ( $Z_A=20$ dents) de l’arbre moteur engrène avec la roue B ( $Z_B=50$ dents) de l’arbre intermédiaire.

Embrayage E1 embrayé : le pignon C ( $Z_C=30$ ) de l’arbre intermédiaire engrène avec la roue D ( $Z_D=45$ ), liée à l’arbre de sortie par E1.
Embrayage E2 embrayé : le pignon F ( $Z_F=18$ ) de l’arbre intermédiaire engrène avec une roue intermédiaire G ( $Z_G=40$ ), qui tourne librement sur un axe fixe et engrène avec la roue H ( $Z_H=45$ ), liée à l’arbre de sortie par E2.

Tous ces engrenages sont à denture extérieure.

Pour chaque cas, écrire la suite des engrènements et calculer la vitesse de sortie $N_s$ .
Montrer que le nombre de dents de la roue G n’intervient pas dans le rapport. Quel est alors son rôle ?
Indiquer, pour chaque cas, si l’arbre de sortie tourne dans le même sens que le moteur ou en sens contraire.
On remplace l’engrenage (C, D) par un pignon C′ de $15$ dents qui engrène à l’intérieur d’une couronne D′ de $45$ dents liée à l’arbre de sortie par E1. Calculer la nouvelle vitesse de sortie et donner son sens.

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1. E1 : engrènements (A, B) puis (C, D).

N_s=1500\times\dfrac{20}{50}\times\dfrac{30}{45}

soit $\boxed{N_s=400\ \text{tr/min}}$ . E2 : engrènements (A, B), (F, G) puis (G, H).

N_s=1500\times\dfrac{20}{50}\times\dfrac{18}{40}\times\dfrac{40}{45}

soit $\boxed{N_s=240\ \text{tr/min}}$ .

2. Idée : la roue G est menée par F puis menante pour H : $Z_G$ est au dénominateur puis au numérateur. $\dfrac{Z_F}{Z_G}\cdot\dfrac{Z_G}{Z_H}=\dfrac{Z_F}{Z_H}=\dfrac{18}{45}$ : $Z_G$ se simplifie. La roue intermédiaire ne modifie pas le rapport ; elle ajoute un contact extérieur, donc inverse le sens de rotation.

3. Idée : chaque contact extérieur inverse le sens, un contact intérieur le conserve ; avec $n$ contacts extérieurs, même sens si $n$ est pair, sens contraire si $n$ est impair. E1 : $n=2$ , même sens que le moteur. E2 : $n=3$ , sens contraire : c’est la marche arrière du chariot.

4. $N_s=1500\times\dfrac{20}{50}\times\dfrac{15}{45}$ , soit $\boxed{N_s=200\ \text{tr/min}}$ . Le contact (C′, D′) est intérieur : seul (A, B) est extérieur, $n=1$ , l’arbre de sortie tourne en sens contraire du moteur.

3 Drill TR-G.3 — deux vitesses par crabotage : de la vitesse imposée à la vitesse du moteur, puis le nombre de dents inconnu

Entraînement 03 / 04

Drill TR-G.3 — deux vitesses par crabotage : de la vitesse imposée à la vitesse du moteur, puis le nombre de dents inconnu

7 questionsCorrigé masqué

Un chariot porte-caméra suit les nageurs le long d’un bassin ; il est tiré par un câble enroulé sur une poulie (P) de diamètre $D=200$ mm. Le moteur entraîne l’arbre d’entrée (E) d’une boîte à deux vitesses par une transmission poulies-courroie : $d_a=80$ mm sur le moteur, $d_b=240$ mm sur l’arbre (E).

Vitesse rapide (retour du chariot) : un crabot lie directement l’arbre (E) à l’arbre de la poulie (P) (prise directe) ; le cahier des charges impose $V_r=5$ m/s.
Vitesse lente (poursuite) : le crabot engage la roue (4) ; le mouvement passe par le pignon (1) ( $Z_1=24$ ) et la roue (2) ( $Z_2=36$ ), puis par le pignon (3) ( $Z_3=24$ ) et la roue (4) ( $Z_4$ inconnu) ; le cahier des charges impose $V_l=2$ m/s.

Calculer la vitesse de rotation $N_{Pr}$ de la poulie (P) en vitesse rapide.
En déduire la vitesse de rotation de l’arbre (E), puis celle du moteur $N_m$ .
Calculer la vitesse de rotation $N_{Pl}$ de la poulie (P) en vitesse lente.
Montrer que le rapport $r_l$ de la boîte en vitesse lente est égal à $\dfrac{V_l}{V_r}$ , puis le calculer.
Calculer le nombre de dents $Z_4$ de la roue (4).

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1. Idée : $V=\omega\cdot\dfrac D2=\dfrac{\pi D N}{60}$ , donc $N=\dfrac{60\,V}{\pi D}$ avec $D$ en mètres. $N_{Pr}=\dfrac{60\times5}{\pi\times0{,}2}$ , soit $\boxed{N_{Pr}\approx477{,}5\ \text{tr/min}}$ .

2. En prise directe, $N_E=N_{Pr}\approx477{,}5$ tr/min. Poulies-courroie : $\dfrac{N_E}{N_m}=\dfrac{d_a}{d_b}=\dfrac13$ , donc $N_m=3\times477{,}5$ , soit $\boxed{N_m\approx1432\ \text{tr/min}}$ .

3. $N_{Pl}=\dfrac{60\times2}{\pi\times0{,}2}$ , soit $\boxed{N_{Pl}\approx191{,}0\ \text{tr/min}}$ .

4. Idée : l’arbre (E) tourne à la même vitesse dans les deux cas, et la vitesse de la poulie est proportionnelle à celle du câble. $r_l=\dfrac{N_{Pl}}{N_E}=\dfrac{N_{Pl}}{N_{Pr}}=\dfrac{V_l}{V_r}=\dfrac25$ , soit $\boxed{r_l=0{,}4}$ .

5. $r_l=\dfrac{Z_1}{Z_2}\cdot\dfrac{Z_3}{Z_4}$ donne $Z_4=\dfrac{Z_1\,Z_3}{Z_2\,r_l}=\dfrac{24\times24}{36\times0{,}4}$ , soit $\boxed{Z_4=40\ \text{dents}}$ .

4 Drill TR-G.4 — vitesse tangentielle d’un maneton : vérifier un intervalle, puis choisir la roue qui le rétablit

Entraînement 04 / 04

Drill TR-G.4 — vitesse tangentielle d’un maneton : vérifier un intervalle, puis choisir la roue qui le rétablit

5 questionsCorrigé masqué

Une cisaille coupe en continu une bande de carton. Le moteur, qui tourne à $N_m=1450$ tr/min, entraîne l’arbre (15) par un embrayage-frein. Un réducteur à deux engrenages — denture droite (16, 17) avec $Z_{16}=20$ et $Z_{17}=87$ dents, puis denture hélicoïdale (18, 19) avec $Z_{18}=15$ et $Z_{19}=50$ dents — transmet la rotation à l’arbre de sortie (20). La manivelle (21), clavetée sur l’arbre (20), porte le maneton (22), dont l’axe est à $R=55$ mm de celui de l’arbre (20). Pour une coupe nette, le cahier des charges impose $0{,}50\ \text{m/s}\le V_{22}\le0{,}60\ \text{m/s}$ .

Exprimer puis calculer le rapport global $r_g=\dfrac{N_{20}}{N_m}$ .
Calculer $N_{20}$ , puis la vitesse angulaire $\omega_{20}$ de l’arbre (20).
Calculer la vitesse tangentielle $V_{22}$ du maneton et vérifier le cahier des charges.
Le moteur est remplacé par un moteur de $960$ tr/min. Calculer la nouvelle vitesse du maneton ; conclure.
Avec ce moteur, on ne peut changer que la roue (17). Parmi $Z_{17}\in\{50\,;\,60\,;\,70\}$ , laquelle rétablit la condition ? Justifier par le calcul.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $r_g=\dfrac{Z_{16}\,Z_{18}}{Z_{17}\,Z_{19}}=\dfrac{20\times15}{87\times50}$ , soit $\boxed{r_g=\dfrac{2}{29}\approx0{,}069}$ .

2. $N_{20}=\dfrac{2}{29}\times1450$ , soit $\boxed{N_{20}=100\ \text{tr/min}}$ ; $\omega_{20}=\dfrac{2\pi\times100}{60}$ , soit $\boxed{\omega_{20}\approx10{,}47\ \text{rad/s}}$ .

3. Idée : le maneton décrit un cercle de rayon $R$ autour de l’axe de l’arbre (20) : $R$ est l’excentration de la manivelle, pas un diamètre de roue. $V_{22}=\omega_{20}\cdot R=10{,}47\times0{,}055$ , soit $\boxed{V_{22}\approx0{,}576\ \text{m/s}}$ ; $0{,}50\le0{,}576\le0{,}60$ : la condition est respectée.

4. $N_{20}=\dfrac{2}{29}\times960\approx66{,}2$ tr/min, puis $V_{22}=\dfrac{2\pi\times66{,}2}{60}\times0{,}055\approx0{,}381$ m/s $<0{,}50$ m/s : la condition n’est plus respectée.

5. Idée : seule $Z_{17}$ change ; on recalcule $N_{20}=960\times\dfrac{20}{Z_{17}}\times\dfrac{15}{50}$ puis $V_{22}=\omega_{20}\cdot R$ pour chaque roue.

$Z_{17}$	50	60	70
$N_{20}$ (tr/min)	115,2	96	82,3
$V_{22}$ (m/s)	0,664	0,553	0,474

Seule la roue de $\boxed{Z_{17}=60\ \text{dents}}$ donne $0{,}50\le V_{22}\le0{,}60$ m/s.

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill TR-G.1 — réducteur à axes coaxiaux : retrouver les nombres de dents avec l’entraxe et le rapport global

Drill TR-G.2 — sens de rotation : compter les contacts extérieurs ; la roue intermédiaire ne change pas le rapport

Drill TR-G.3 — deux vitesses par crabotage : de la vitesse imposée à la vitesse du moteur, puis le nombre de dents inconnu

Drill TR-G.4 — vitesse tangentielle d’un maneton : vérifier un intervalle, puis choisir la roue qui le rétablit

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