Problème long sur un vérin électrique : FAST, schéma, torsion, train épicycloïdal et vis-écrou, conception et croquis de phase enchaînés (Partie A, 10 points)

1. Idée : se référer au dossier technique — le texte de fonctionnement dit ce que fait chaque processeur, la nomenclature donne les repères ; une fonction technique commence par un verbe à l'infinitif.

La nomenclature compte 6 coussinets (11) : deux par satellite, pour les trois satellites (10).

2.a Idée : dans chaque cercle, chercher le mouvement relatif possible entre les deux pièces qui s'y rencontrent.

• accouplement (15) : manchon, clavettes et vis de pression ne laissent aucun mouvement entre (18) et (13) — encastrement (démontable) ;
• L1 : pivot entre le pignon arbré (13) et le bâti (coussinets 14) ;
• L2 : pivot entre chaque satellite (10) et son axe (9) (coussinets 11) ;
• L3 : pivot entre l'ensemble (7+8+9) et le bâti (coussinets 20) ;
• L4 : hélicoïdale entre la vis (7) et l'ensemble (1+2+3+4), par l'écrou (4) ;
• L5 : glissière entre l'ensemble (1+2+3+4) et le bâti (tube 5, lames 6) : c'est elle qui empêche l'écrou de tourner avec la vis, donc qui rend la translation possible.

2.b On entoure r (rigide : un manchon métallique n'absorbe aucun défaut d'alignement), $\bar{a}$ (par obstacle : le couple passe par les clavettes (16)) et $\overline{\text{di}}$ (indirecte : les deux arbres ne se touchent pas, le manchon et les clavettes s'interposent). Avec c et dé déjà entourés, la liaison est complète, rigide, démontable, par obstacle et indirecte.

2.c Un bronze (alliage cuivre-étain), matériau antifriction : faible frottement contre l'acier, bonne tenue à l'usure et au grippage, il retient le lubrifiant. Plus tendre que l'arbre, c'est le coussinet, pièce simple et bon marché, qui s'use et que l'on remplace ; l'écrou (4) est en bronze pour la même raison.

2.d Les vis de pression (17) arrêtent le manchon (15) en translation sur les deux arbres ; elles ne transmettent pas le couple, ce sont les clavettes (16) qui le font. La goupille élastique (3) encastre l'écrou (4) dans la tige (2) : elle l'arrête en rotation et en translation, si bien que l'écrou entraîne la tige.

3.a Idée : couple = puissance / vitesse angulaire, avec $\omega$ en rad/s et $P$ en W.

soit $\omega_m\approx298{,}45\ \text{rad/s}$, puis

$\boxed{C_m\approx1{,}508\ \text{N·m}=1508\ \text{N·mm}}$.

3.b Idée : en rotation uniforme, le pignon arbré est en équilibre : le couple reçu de l'accouplement équilibre le couple résistant des satellites. Pertes négligées : $\boxed{M_t=C_m=1508\ \text{N·mm}}$.

3.c Résistance pratique au glissement : $R_{pg}=\dfrac{Reg}{s}=\dfrac{120}{4}=30\ \text{MPa}$. Condition de résistance en torsion d'un cylindre plein :

$\dfrac{16\times1508}{\pi\times30}\approx256\ \text{mm}^3$, d'où $\boxed{d_{min}\approx6{,}35\ \text{mm}}$.

3.d Le plus petit diamètre du pignon arbré est la portée Ø8 dans les coussinets (14) (le Ø10 du manchon et la denture Ø20 sont plus grands). $8\ \text{mm}>6{,}35\ \text{mm}$ : le pignon arbré résiste. Dans la portée Ø8, $\tau_{max}=\dfrac{16\times1508}{\pi\times8^3}\approx15\ \text{MPa}$, la moitié de $R_{pg}$.

4.a (13) : planétaire ; (10) : satellites ; (12) : couronne (denture intérieure, liée au carter) ; (7+8+9) : porte-satellites. Les nombres de dents le confirment : $Z_{13}+2\,Z_{10}=18+72=90=Z_{12}$, la condition géométrique d'engrènement à module commun.

4.b Engrenage 13-10 : extérieur ; engrenage 10-12 : intérieur (la couronne est à denture intérieure) ; donc $k=1$. Idée : entrée sur le planétaire, « sortie » sur la couronne, dont la vitesse est connue (nulle) ; le porte-satellites tourne avec la vis, $N_{ps}=N_7$.

Couronne fixe, $N_{12}=0$ :

4.c $r_{13-7}=\dfrac{18}{90+18}=\dfrac{18}{108}$, soit $\boxed{r_{13-7}=\dfrac16\approx0{,}167}$ : positif, le porte-satellites tourne dans le même sens que le planétaire.

4.d L'accouplement étant rigide, $N_{13}=N_m$ : $N_7=r_{13-7}\,N_m=\dfrac{2850}{6}$, soit $\boxed{N_7=475\ \text{tr/min}}$.

4.e Idée : à chaque tour de la vis, l'écrou avance du pas de l'hélice, égal au nombre de filets multiplié par le pas. $p_h=2\times1{,}5=3\ \text{mm}$, puis

$\boxed{V=23{,}75\ \text{mm/s}}$.

4.f $23{,}75\ \text{mm/s}\le25\ \text{mm/s}$ : la condition du cahier des charges est respectée, avec une marge de 5 %.

5.a Idée : encastrer de façon démontable, c'est arrêter le pignon en rotation (transmettre le couple) et en translation.

• S2 : clavette parallèle + écrou à encoches et rondelle frein, sur un bout d'arbre fileté ;
• S3 : cannelures + anneau élastique logé dans une gorge.
• Sont aussi acceptées : une goupille transversale (arrêt en rotation et en translation à la fois) ; une vis de pression sur méplat pour un couple faible. Un frettage serré n'est pas démontable.

5.b Idée : lire chaque tableau à la bonne ligne, puis doubler toutes les cotes pour l'échelle 2:1. Pour $d=10$, la ligne est « 8 à 10 » (10 y est inclus) : $a\times b=3\times3$, $j=d-1{,}8=8{,}2$ et $k=d+1{,}4=11{,}4$ — rainure de 1,8 mm dans l'arbre, de 1,4 mm dans le moyeu, jeu de 0,2 mm au-dessus de la clavette. Vis M5 : $c=8{,}5$, $k=5$. Rondelle M5 : $A=15$, $B=5{,}3$, $C=1{,}2$ ; $A=15>10$, la rondelle déborde de l'alésage et plaque le moyeu contre l'épaulement, sans dépasser le moyeu Ø15.

Sur le dessin, le bout de l'arbre s'arrête un peu avant la face du moyeu : sinon la rondelle serrerait l'arbre au lieu du pignon.

5.c $\boxed{\text{Ø10 H7/k6}}$ : ajustement incertain (pour Ø10, H7 : $0$ / $+0{,}015$ ; k6 : $+0{,}001$ / $+0{,}010$ ; jeu maxi 0,014, serrage maxi 0,010). Il centre précisément le pignon et reste démontable à l'arrache-moyeu ; H7/g6 laisserait un jeu qui fait battre le pignon, H7/p6 exigerait une presse. Ø10 H7/h6 (glissant juste, jeu de 0 à 0,024) est aussi recevable : la clavette transmet le couple et la vis avec sa rondelle arrête le pignon en translation.

6.a Idée : les normales portées par une même surface se comptent ensemble. Normales 1, 2, 3 sur la face ④ : appui plan (3 degrés de liberté supprimés) ; normales 4, 5 sur la partie dentée ⑤ : centrage court (2 degrés), court car cette portée ne mesure que 12 mm pour Ø20. Le serrage maintient la pièce, il ne la positionne pas.

6.b Relevées sur le dessin de définition : $Cf_1=12\pm0{,}1$ (de ④ à ③), $Cf_2=20\pm0{,}1$ (de ④ à ①), $2Cf_3=\text{Ø}15\pm0{,}1$ (moyeu ②).

6.c Surface ② : cylindre extérieur, chariotage ; surface ③ : face plane perpendiculaire à l'axe (épaulement), dressage.

6.d Cf1 relie la face ④, surface du référentiel, à la surface usinée ③ : cote appareillage. 2Cf3 est un diamètre obtenu par la position radiale de l'outil, réglée sur la machine : cote machine.