TR-LTransmissions et rapports de vitesses

Remonter la chaîne : puissance, rendements, vitesse du moteur et choix du moteur dans un catalogue

Idée directrice

L'étude cinématique se termine souvent par un choix : on remonte la chaîne depuis l'organe de sortie. Les vitesses se divisent par le rapport global ( $N_m=\frac{N_s}{r_g}$ ), les puissances se divisent par le produit des rendements ( $P_m=\frac{C_s\,\omega_s}{\eta_g}$ ). Le moteur convenable est celui qui satisfait à la fois la puissance et la vitesse ; parmi ceux-là, le plus économique est le moins puissant.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On se propose dans cette partie de choisir le moteur électrique convenable » ; « choisir le type de moteur le plus économique » ; « mettre une croix pour choisir le moteur convenable » ; « Le constructeur a utilisé un moteur de référence … vérifier si son choix est conforme »

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Vitesses : descendre la chaîne avec $N_s=r_g\,N_m$ , la remonter avec $N_m=\dfrac{N_s}{r_g}$ ; $r_g$ = produit des rapports.
$P=C\,\omega$ avec $\omega=\dfrac{2\pi N}{60}$ en rad/s.
Rendement global = produit des rendements ; $P_m=\dfrac{P_s}{\eta_g}$ (on divise en remontant vers le moteur).
Choix sur catalogue : puissance nominale $\ge P_m$ et vitesse compatible ; parmi les moteurs qui conviennent, retenir la plus petite puissance.
Moteur imposé : vérifier les deux mêmes critères, puis dire s'il est surdimensionné.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Additionner ou moyenner les rendements ; multiplier par $\eta$ au lieu de diviser en remontant vers le moteur ; garder $N$ en tr/min dans $P=C\,\omega$ ; retenir le moteur le plus puissant « pour être sûr » ; choisir un moteur de puissance suffisante mais de mauvaise vitesse, ou l'inverse ; écrire le rapport de la roue et vis à l'envers ( $\frac{Z_{roue}}{Z_{vis}}$ ).

Sujet principal

Exercice — choix du moteur d'un treuil de monte-charge (2 points), dans l'esprit des sessions 2015–2025

10 questionsCorrigé masqué

Un monte-charge de chantier soulève des matériaux grâce à un treuil. Le moteur (M) entraîne, par poulies et courroie, une vis sans fin (5) qui engrène avec une roue (6) ; la roue est encastrée sur l'arbre du tambour (7) sur lequel s'enroule le câble. À pleine charge, le cahier des charges impose une vitesse du tambour comprise entre $23$ et $25\ \text{tr/min}$ avec un couple $C_7=180\ \text{N·m}$ sur son arbre.

Chaîne cinématique simplifiée :

Poulies-courroie : poulie motrice $d_1=100\ \text{mm}$ , poulie réceptrice $d_2=200\ \text{mm}$ ; rendement $\eta_1=0{,}95$ .
Roue et vis sans fin : vis (5) à $Z_5=2$ filets, roue (6) de $Z_6=40$ dents ; rendement $\eta_2=0{,}65$ .
Tambour (7) : rayon d'enroulement $R_7=100\ \text{mm}$ ; vitesse visée $N_7=24\ \text{tr/min}$ .

Extrait du catalogue du constructeur :

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline \text{Moteur} & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5\\ \hline P\ (\text{kW}) & 0{,}55 & 0{,}75 & 0{,}75 & 1{,}1 & 1{,}5\\ \hline N\ (\text{tr/min}) & 930 & 945 & 1430 & 940 & 950\\ \hline\end{array}

Exprimer le rapport global $r_g=\dfrac{N_7}{N_m}$ en fonction de $d_1$ , $d_2$ , $Z_5$ et $Z_6$ , puis le calculer.
Pour $N_7=24\ \text{tr/min}$ , calculer la vitesse de rotation $N_m$ nécessaire du moteur ; en déduire la plage de vitesses du moteur compatible avec le cahier des charges.
Calculer la puissance utile $P_7$ sur l'arbre du tambour.
Calculer le rendement global $\eta_g$ de la transmission, puis la puissance $P_m$ que doit fournir le moteur.
En tenant compte des résultats précédents, choisir dans le catalogue le moteur convenable le plus économique. Justifier en éliminant les autres.
Avec le moteur retenu, calculer la vitesse réelle du tambour et la vitesse de levée de la charge.
Le constructeur a monté le moteur $M_4$ . Son choix est-il conforme ? Est-il judicieux ?

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1. Idée : le rapport global est le produit des rapports ; pour la roue et vis, c'est le nombre de filets sur le nombre de dents. $r_g=\dfrac{d_1}{d_2}\cdot\dfrac{Z_5}{Z_6}=\dfrac{100}{200}\times\dfrac{2}{40}$ , soit $\boxed{r_g=\dfrac{1}{40}=0{,}025}$ .

2. On remonte la chaîne : $N_m=\dfrac{N_7}{r_g}=24\times40$ , soit $\boxed{N_m=960\ \text{tr/min}}$ . Le tambour reste entre $23$ et $25\ \text{tr/min}$ si $23\times40\le N_m\le25\times40$ , soit $\boxed{920\le N_m\le1000\ \text{tr/min}}$ .

3. $\omega_7=\dfrac{2\pi\times24}{60}\approx2{,}513\ \text{rad/s}$ ; $P_7=C_7\,\omega_7=180\times2{,}513$ , soit $\boxed{P_7\approx452{,}4\ \text{W}}$ .

4. Idée : chaque étage perd de la puissance ; en remontant vers le moteur, on divise par les rendements. $\eta_g=\eta_1\,\eta_2=0{,}95\times0{,}65=0{,}6175$ ; $P_m=\dfrac{P_7}{\eta_g}=\dfrac{452{,}4}{0{,}6175}$ , soit $\boxed{P_m\approx732{,}6\ \text{W}}$ .

5. Deux critères simultanés : $P\ge732{,}6\ \text{W}$ et $920\le N\le1000\ \text{tr/min}$ . $M_1$ : $550\ \text{W}<732{,}6\ \text{W}$ , puissance insuffisante. $M_3$ : $1430\ \text{tr/min}$ hors plage (le tambour tournerait à $35{,}75\ \text{tr/min}$ ). $M_2$ , $M_4$ et $M_5$ satisfont les deux critères ; le plus économique est le moins puissant : $\boxed{M_2\ (0{,}75\ \text{kW} ;\ 945\ \text{tr/min})}$ .

6. $N_7=r_g\cdot945=\dfrac{945}{40}\approx23{,}6\ \text{tr/min}$ , bien dans l'intervalle ; $V=\omega_7\cdot R_7=\dfrac{2\pi\times23{,}625}{60}\times0{,}100$ , soit $\boxed{V\approx0{,}247\ \text{m/s}}$ .

7. $M_4$ fournit $1100\ \text{W}\ge732{,}6\ \text{W}$ à $940\ \text{tr/min}$ , dans la plage : le choix est conforme. Il n'est pas le plus judicieux : le moteur ne travaillerait qu'à $\frac{732{,}6}{1100}\approx67\ \%$ de sa puissance nominale ; il est surdimensionné, donc plus cher et plus lourd que $M_2$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : moteur électrique convenable d'un pétrin, à partir d'une chaîne cinématique à compléter (principale 2015) ; vitesse et puissance d'un motoréducteur calculées depuis la puissance imposée sur une poulie (contrôle 2019) ; moteur « le plus économique » après une roue et vis sans fin et une vis-écrou (contrôle 2020) ; croix dans le tableau du moteur convenable pour le pivotement d'une colonne (principale 2021) ; vérification du moteur retenu par le constructeur après un pignon-crémaillère (contrôle 2024) ; choix du moteur après un train épicycloïdal (contrôle 2025).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill TR-L.1 — rendement global : on multiplie les rendements, on ne fait pas leur moyenne

Entraînement 01 / 05

Drill TR-L.1 — rendement global : on multiplie les rendements, on ne fait pas leur moyenne

3 questionsCorrigé masqué

Une transmission comporte trois étages : poulies-courroie ( $\eta_1=0{,}95$ ), engrenages ( $\eta_2=0{,}90$ ) et roue et vis sans fin ( $\eta_3=0{,}70$ ). La puissance utile demandée en sortie est $P_s=1{,}2\ \text{kW}$ .

En remontant depuis la sortie, calculer la puissance à l'entrée de chaque étage.
En déduire la puissance $P_m$ du moteur, puis le rendement global ; comparer à $\eta_1\,\eta_2\,\eta_3$ .
Un élève prend pour rendement global la moyenne $\dfrac{\eta_1+\eta_2+\eta_3}{3}$ . Quelle puissance moteur trouve-t-il ? Quelle serait la conséquence ?

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1. Idée : chaque étage reçoit plus qu'il ne rend ; on divise par son rendement. Entrée de la roue et vis : $\dfrac{1200}{0{,}70}\approx1714{,}3\ \text{W}$ ; entrée des engrenages : $\dfrac{1714{,}3}{0{,}90}\approx1904{,}8\ \text{W}$ ; entrée des poulies : $\dfrac{1904{,}8}{0{,}95}\approx2005\ \text{W}$ .

2. $\boxed{P_m\approx2005\ \text{W}}$ ; $\eta_g=\dfrac{1200}{2005}\approx0{,}5985$ , qui est bien $0{,}95\times0{,}90\times0{,}70=0{,}5985$ .

3. La moyenne vaut $0{,}85$ : il trouverait $\dfrac{1200}{0{,}85}\approx1412\ \text{W}$ , soit près de $600\ \text{W}$ de moins que nécessaire. Le moteur choisi serait sous-dimensionné : il chaufferait ou n'entraînerait pas la charge.

2 Drill TR-L.2 — deux moteurs conviennent : retenir le moins puissant

Entraînement 02 / 05

Drill TR-L.2 — deux moteurs conviennent : retenir le moins puissant

3 questionsCorrigé masqué

Le tambour d'un convoyeur doit tourner à $N_s=72\ \text{tr/min}$ (tolérance : entre $70$ et $74\ \text{tr/min}$ ) sous un couple $C_s=150\ \text{N·m}$ . Le rapport global de la transmission est $r_g=\dfrac1{20}$ et son rendement global $\eta_g=0{,}8$ . Catalogue :

\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \text{Moteur} & A & B & C & D\\ \hline P\ (\text{kW}) & 1{,}1 & 1{,}5 & 2{,}2 & 1{,}5\\ \hline N\ (\text{tr/min}) & 1435 & 1440 & 1440 & 950\\ \hline\end{array}

Calculer la vitesse $N_m$ nécessaire du moteur et la plage de vitesses admissible.
Calculer la puissance utile $P_s$ sur le tambour, puis la puissance $P_m$ du moteur.
Choisir le moteur convenable le plus économique en justifiant l'élimination des autres.

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1. $N_m=\dfrac{N_s}{r_g}=72\times20$ , soit $\boxed{N_m=1440\ \text{tr/min}}$ ; plage $70\times20\le N_m\le74\times20$ , soit $1400$ à $1480\ \text{tr/min}$ .

2. $P_s=C_s\,\omega_s=150\times\dfrac{2\pi\times72}{60}\approx1131{,}0\ \text{W}$ ; $P_m=\dfrac{1131{,}0}{0{,}8}$ , soit $\boxed{P_m\approx1413{,}7\ \text{W}}$ .

3. A : $1100\ \text{W}<1413{,}7\ \text{W}$ , insuffisant. D : $950\ \text{tr/min}$ hors plage (tambour à $47{,}5\ \text{tr/min}$ ). B et C conviennent ; C ne travaillerait qu'à $64\ \%$ de sa puissance. Le plus économique est $\boxed{B\ (1{,}5\ \text{kW} ;\ 1440\ \text{tr/min})}$ .

3 Drill TR-L.3 — bonne vitesse mais puissance insuffisante : ne pas prendre le premier moteur venu

Entraînement 03 / 05

Drill TR-L.3 — bonne vitesse mais puissance insuffisante : ne pas prendre le premier moteur venu

3 questionsCorrigé masqué

L'arbre de sortie d'un malaxeur doit tourner à $N_s=143\ \text{tr/min}$ (entre $140$ et $146\ \text{tr/min}$ ) sous un couple $C_s=110\ \text{N·m}$ . Rapport global $r_g=\dfrac1{10}$ ; rendement global $\eta_g=0{,}78$ . Catalogue :

\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \text{Moteur} & A & B & C & D\\ \hline P\ (\text{kW}) & 1{,}5 & 2{,}2 & 2{,}2 & 3\\ \hline N\ (\text{tr/min}) & 1435 & 950 & 1440 & 1435\\ \hline\end{array}

Calculer la vitesse $N_m$ nécessaire du moteur et la plage admissible.
Calculer la puissance $P_m$ que doit fournir le moteur.
Pour chaque moteur, dire quel critère est satisfait ; en déduire le moteur convenable le plus économique.

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1. $N_m=143\times10$ , soit $\boxed{N_m=1430\ \text{tr/min}}$ ; plage $1400$ à $1460\ \text{tr/min}$ .

2. $P_s=110\times\dfrac{2\pi\times143}{60}\approx1647{,}2\ \text{W}$ ; $P_m=\dfrac{1647{,}2}{0{,}78}$ , soit $\boxed{P_m\approx2111{,}8\ \text{W}}$ .

3. A : vitesse correcte mais $1500\ \text{W}<2111{,}8\ \text{W}$ , rejeté. B : puissance suffisante mais $950\ \text{tr/min}$ donnerait $95\ \text{tr/min}$ en sortie, rejeté. C et D satisfont les deux critères ; on retient le moins puissant : $\boxed{C\ (2{,}2\ \text{kW} ;\ 1440\ \text{tr/min})}$ .

4 Drill TR-L.4 — vérifier le moteur retenu par le constructeur

Entraînement 04 / 05

Drill TR-L.4 — vérifier le moteur retenu par le constructeur

4 questionsCorrigé masqué

L'arbre de sortie (24) d'un mécanisme de translation doit tourner à $N_{24}=180\ \text{tr/min}$ sous un couple $C_{24}=50\ \text{N·m}$ . Le rapport global est $r_g=\dfrac18$ et le rendement global $\eta_g=0{,}75$ . Le constructeur a utilisé un moteur de $1{,}5\ \text{kW}$ tournant à $1440\ \text{tr/min}$ .

Calculer la vitesse de rotation nécessaire du moteur.
Calculer la puissance $P_{24}$ sur l'arbre de sortie, puis la puissance $P_m$ nécessaire au moteur.
Calculer le couple moteur nécessaire $C_m$ et le couple nominal $C_n$ du moteur choisi.
Le choix du constructeur est-il conforme ? Justifier.

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1. $N_m=\dfrac{N_{24}}{r_g}=180\times8$ , soit $\boxed{N_m=1440\ \text{tr/min}}$ , exactement la vitesse du moteur choisi.

2. $P_{24}=C_{24}\,\omega_{24}=50\times\dfrac{2\pi\times180}{60}\approx942{,}5\ \text{W}$ ; $P_m=\dfrac{942{,}5}{0{,}75}$ , soit $\boxed{P_m\approx1256{,}6\ \text{W}}$ .

3. $\omega_m=\dfrac{2\pi\times1440}{60}\approx150{,}8\ \text{rad/s}$ ; $C_m=\dfrac{P_m}{\omega_m}$ , soit $\boxed{C_m\approx8{,}33\ \text{N·m}}$ ; $C_n=\dfrac{1500}{150{,}8}$ , soit $\boxed{C_n\approx9{,}95\ \text{N·m}}$ .

4. Vitesse identique et $1500\ \text{W}\ge1256{,}6\ \text{W}$ (de même $C_n\ge C_m$ ) : le choix est conforme, avec une réserve de puissance d'environ $19\ \%$ .

5 Drill TR-L.5 — chaîne avec train épicycloïdal : rapport, vitesse et puissance du moteur, choix

Entraînement 05 / 05

Drill TR-L.5 — chaîne avec train épicycloïdal : rapport, vitesse et puissance du moteur, choix

5 questionsCorrigé masqué

Un moteur entraîne un engrenage de rapport $r_1=\dfrac14$ , suivi d'un train épicycloïdal à couronne fixe (planétaire de $Z_p=18$ dents, satellites de $Z_s=36$ dents, module commun) dont le porte-satellites entraîne l'arbre de sortie. On rappelle que, couronne fixe, la formule de Willis conduit au rapport $r_t=\dfrac{Z_p}{Z_p+Z_c}$ . L'arbre de sortie doit tourner à $N_s=60\ \text{tr/min}$ (entre $58$ et $62\ \text{tr/min}$ ) sous $C_s=160\ \text{N·m}$ ; rendement global $\eta_g=0{,}88$ . Catalogue :

\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline \text{Moteur} & A & B & C & D\\ \hline P\ (\text{kW}) & 0{,}75 & 1{,}1 & 1{,}5 & 1{,}5\\ \hline N\ (\text{tr/min}) & 1440 & 1445 & 1440 & 940\\ \hline\end{array}

Calculer le nombre de dents $Z_c$ de la couronne.
Calculer $r_t$ puis le rapport global $r_g$ .
Calculer la vitesse $N_m$ nécessaire du moteur et la plage admissible.
Calculer la puissance $P_m$ du moteur.
Choisir le moteur convenable le plus économique.

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1. $Z_c=Z_p+2\,Z_s=18+72$ , soit $\boxed{Z_c=90\text{ dents}}$ .

2. $r_t=\dfrac{18}{18+90}=\dfrac16$ ; $r_g=r_1\cdot r_t=\dfrac14\times\dfrac16$ , soit $\boxed{r_g=\dfrac{1}{24}}$ .

3. $N_m=60\times24$ , soit $\boxed{N_m=1440\ \text{tr/min}}$ ; plage $58\times24=1392$ à $62\times24=1488\ \text{tr/min}$ .

4. $P_s=160\times\dfrac{2\pi\times60}{60}\approx1005{,}3\ \text{W}$ ; $P_m=\dfrac{1005{,}3}{0{,}88}$ , soit $\boxed{P_m\approx1142{,}4\ \text{W}}$ .

5. A ( $750\ \text{W}$ ) et B ( $1100\ \text{W}$ ) sont insuffisants — B de peu, mais $1100<1142{,}4$ . D : $940\ \text{tr/min}$ donnerait $39{,}2\ \text{tr/min}$ en sortie. Seul convient $\boxed{C\ (1{,}5\ \text{kW} ;\ 1440\ \text{tr/min})}$ .

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Drill TR-L.1 — rendement global : on multiplie les rendements, on ne fait pas leur moyenne

Drill TR-L.2 — deux moteurs conviennent : retenir le moins puissant

Drill TR-L.3 — bonne vitesse mais puissance insuffisante : ne pas prendre le premier moteur venu

Drill TR-L.4 — vérifier le moteur retenu par le constructeur

Drill TR-L.5 — chaîne avec train épicycloïdal : rapport, vitesse et puissance du moteur, choix

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