TR-KTransmissions et rapports de vitesses

Transformer la rotation en translation : vis-écrou et pignon-crémaillère, vitesse, course et temps en bout de chaîne

Idée directrice

En bout de chaîne cinématique, la rotation devient une translation. Avec un système vis-écrou, l'écrou avance à chaque tour de vis du pas de l'hélice $p=n\cdot P_a$ ( $n$ filets, pas apparent $P_a$ ) : $V=N_{vis}\cdot p$ . Avec un pignon-crémaillère, un tour de pignon fait avancer de $\pi d$ ( $d=mZ$ ) : $V=\omega\cdot\frac d2$ . On en tire la vitesse, la course, le temps de course ou, en sens inverse, la vitesse de rotation à imposer — en surveillant les unités (mm/min, mm/s, m/s).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer en m/s, la vitesse de translation » ; « Déduire le temps « t » mis pour … une course » ; « Déterminer la vitesse de rotation de la vis » ; « Calculer le nombre de tours … effectués par le pignon pour avoir la course « C » » ; « En déduire le nombre de dents nécessaire … de la crémaillère »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Pas de l'hélice (avance par tour) : $p=n\cdot P_a$ ; vitesse de translation $V=N_{vis}\cdot p$ .
$N$ en tr/min et $p$ en mm donnent des mm/min : diviser par $60$ pour des mm/s, puis par $1000$ pour des m/s.
Course et temps : $t=\dfrac{C}{V}$ ; nombre de tours de vis $=\dfrac{C}{p}$ .
Pignon-crémaillère : $d=mZ$ , un tour avance de $\pi d$ , $V=\omega\cdot\frac d2$ , $Z_{cr}=\dfrac{C}{\pi m}$ arrondi par excès.
Sens inverse (vitesse imposée) : $N_{vis}=\dfrac{V}{p}$ , puis $N_m=\dfrac{N_{vis}}{r}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre le pas apparent comme avance par tour en oubliant le nombre de filets ; laisser une vitesse en mm/min quand l'énoncé demande des m/s, ou diviser deux fois par $60$ ; confondre diamètre et rayon dans $V=\omega r$ ; arrondir par défaut le nombre de dents d'une crémaillère (la course n'est plus couverte) ; oublier que $\omega$ s'exprime en rad/s.

Sujet principal

Exercice — vérin électromécanique d'une porte coulissante (2 points), dans l'esprit des sessions 2019–2024

12 questionsCorrigé masqué

Une porte coulissante de hall industriel est ouverte par un vérin électromécanique. Le moteur (M) entraîne la vis (7) par deux engrenages cylindriques ; la rotation de la vis fait translater l'écrou (8), lié à la tige (9) qui pousse la porte. Le cahier des charges impose un temps d'ouverture $t\le8\ \text{s}$ pour une course $C=240\ \text{mm}$ de la tige.

Chaîne cinématique simplifiée :

Moteur (M) : $N_m=2800\ \text{tr/min}$ .
Engrenage (1, 2) : $Z_1=18$ dents, $Z_2=63$ dents.
Engrenage (3, 4) : $Z_3=20$ dents, $Z_4=50$ dents ; la roue (4) est encastrée sur la vis (7).
Système vis-écrou (7, 8) : vis à $n=2$ filets, de pas apparent $P_a=3\ \text{mm}$ .

Exprimer le rapport de transmission $r=\dfrac{N_7}{N_m}$ en fonction des nombres de dents, puis le calculer.
En déduire la vitesse de rotation $N_7$ de la vis.
Calculer le pas de l'hélice $p$ de la vis (7).
Calculer la vitesse de translation $V_9$ de la tige, en $\text{mm/s}$ puis en $\text{m/s}$ .
Calculer le temps $t$ mis par la tige pour parcourir la course $C$ .
La condition du cahier des charges est-elle satisfaite ? Justifier.
Calculer le temps d'ouverture obtenu avec une vis à un seul filet de même pas apparent. En déduire pourquoi le constructeur a choisi une vis à deux filets.
Pour ouvrir plus vite, on voudrait $V_9=0{,}040\ \text{m/s}$ sans changer la vis. Déterminer la vitesse de rotation nécessaire de la vis, puis celle du moteur avec les mêmes engrenages. Conclure.

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1. Idée : rapport d'un étage = produit des $Z$ menantes sur produit des $Z$ menées. $r=\dfrac{Z_1\,Z_3}{Z_2\,Z_4}=\dfrac{18\times20}{63\times50}=\dfrac{360}{3150}$ , soit $\boxed{r=\dfrac{4}{35}\approx0{,}1143}$ .

2. $N_7=r\,N_m=\dfrac{4}{35}\times2800$ , soit $\boxed{N_7=320\ \text{tr/min}}$ .

3. Idée : à chaque tour de vis, l'écrou avance du pas de l'hélice, qui vaut le pas apparent multiplié par le nombre de filets. $p=n\cdot P_a=2\times3$ , soit $\boxed{p=6\ \text{mm}}$ .

4. $V_9=N_7\cdot p=320\times6=1920\ \text{mm/min}$ ; en divisant par $60$ : $\boxed{V_9=32\ \text{mm/s}}$ , et en divisant par $1000$ : $\boxed{V_9=0{,}032\ \text{m/s}}$ .

5. $t=\dfrac{C}{V_9}=\dfrac{240}{32}$ , soit $\boxed{t=7{,}5\ \text{s}}$ .

6. $7{,}5\ \text{s}\le8\ \text{s}$ : le temps d'ouverture respecte le cahier des charges.

7. Avec un filet, l'avance par tour tombe à $3\ \text{mm}$ : $V'=\dfrac{320\times3}{60}=16\ \text{mm/s}$ et $t'=\dfrac{240}{16}=15\ \text{s}>8\ \text{s}$ , non conforme. La vis à deux filets double l'avance par tour sans agrandir le profil du filet (même pas apparent, même diamètre de vis) : à vitesse de rotation égale, la tige va deux fois plus vite. En contrepartie, l'angle d'hélice augmente et la vis est moins irréversible.

8. Idée : en sens inverse, on divise par le pas puis par le rapport. $N_7'=\dfrac{V_9}{p}=\dfrac{40\times60}{6}=400\ \text{tr/min}$ , puis $N_m'=\dfrac{N_7'}{r}=400\times\dfrac{35}{4}=3500\ \text{tr/min}$ . Le moteur ne tourne qu'à $2800\ \text{tr/min}$ : l'objectif est inaccessible sans changer le rapport des engrenages ou la vis.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : vitesse de translation de la tige d'un vérin électromécanique en m/s, puis temps de descente pour une course donnée (principale 2022) ; vis à plusieurs filets en aval d'une roue et vis sans fin, suivie du choix du moteur (contrôle 2020) ; pas de la vis retrouvé à partir d'une hauteur de levée et d'un nombre de tours (contrôle 2017) ; vitesse de translation de l'embout d'une rampe après un train épicycloïdal (principale 2024) ; pignon-crémaillère : nombre de tours du pignon et nombre de dents de la crémaillère pour une course donnée (contrôle 2024) ; course d'une crémaillère pour une rotation de $180^\circ$ d'un bras (contrôle 2022).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill TR-K.1 — vis-mère d'un trainard : vitesse d'avance en m/min et en mm/s

Entraînement 01 / 06

Drill TR-K.1 — vis-mère d'un trainard : vitesse d'avance en m/min et en mm/s

4 questionsCorrigé masqué

Le trainard d'un tour est déplacé par une vis-mère (36) à un filet, de pas $2\ \text{mm}$ . Le moteur tourne à $N_m=1450\ \text{tr/min}$ ; entre le moteur et la vis-mère se trouvent deux engrenages : $Z_a=24$ dents menant $Z_b=60$ dents, puis $Z_c=30$ dents menant $Z_d=90$ dents.

Calculer le rapport global $r_g=\dfrac{N_{36}}{N_m}$ , puis la vitesse de rotation $N_{36}$ de la vis-mère.
Calculer la vitesse d'avance $V$ du trainard en $\text{mm/min}$ , puis en $\text{m/min}$ .
Exprimer $V$ en $\text{mm/s}$ .
Calculer le temps nécessaire pour usiner une longueur $L=600\ \text{mm}$ .

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1. $r_g=\dfrac{Z_a\,Z_c}{Z_b\,Z_d}=\dfrac{24\times30}{60\times90}=\dfrac{2}{15}\approx0{,}133$ ; $N_{36}=\dfrac{2}{15}\times1450$ , soit $\boxed{N_{36}\approx193{,}3\ \text{tr/min}}$ .

2. Un filet : l'avance par tour vaut le pas. $V=N_{36}\cdot p=193{,}33\times2\approx386{,}7\ \text{mm/min}$ , soit $\boxed{V\approx0{,}387\ \text{m/min}}$ .

3. $V=\dfrac{386{,}7}{60}$ , soit $\boxed{V\approx6{,}44\ \text{mm/s}}$ .

4. $t=\dfrac{L}{V}=\dfrac{600}{386{,}7}\approx1{,}55\ \text{min}$ , soit $\boxed{t\approx93\ \text{s}}$ .

2 Drill TR-K.2 — retrouver le pas de l'hélice et le nombre de filets à partir d'une levée

Entraînement 02 / 06

Drill TR-K.2 — retrouver le pas de l'hélice et le nombre de filets à partir d'une levée

4 questionsCorrigé masqué

Le plateau d'un empileur monte d'une hauteur $h=60\ \text{mm}$ à chaque nouvelle couche de cartons. Pour cette montée, le moteur effectue $n_m=360$ tours ; le rapport de transmission du moteur à la vis d'entraînement est $r=\dfrac{1}{36}$ . La vis a un pas apparent $P_a=3\ \text{mm}$ .

Calculer le nombre de tours $n_v$ effectués par la vis pendant une montée.
En déduire le pas de l'hélice $p$ de la vis.
Déterminer le nombre de filets $n$ de la vis.
Le plateau doit monter à $12\ \text{mm/s}$ . Calculer la vitesse de rotation de la vis.

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1. Idée : le rapport s'applique aux nombres de tours comme aux vitesses. $n_v=r\cdot n_m=\dfrac{360}{36}$ , soit $\boxed{n_v=10\text{ tours}}$ .

2. $h=n_v\cdot p$ , donc $p=\dfrac{h}{n_v}=\dfrac{60}{10}$ , soit $\boxed{p=6\ \text{mm}}$ .

3. $p=n\cdot P_a$ , donc $n=\dfrac{p}{P_a}=\dfrac63$ , soit $\boxed{n=2\text{ filets}}$ .

4. $N_v=\dfrac{V}{p}=\dfrac{12\times60}{6}$ (vitesse convertie en mm/min), soit $\boxed{N_v=120\ \text{tr/min}}$ .

3 Drill TR-K.3 — pignon-crémaillère : nombre de tours, dents de la crémaillère, vitesse de la navette

Entraînement 03 / 06

Drill TR-K.3 — pignon-crémaillère : nombre de tours, dents de la crémaillère, vitesse de la navette

5 questionsCorrigé masqué

Un transstockeur déplace sa navette en translation suivant X grâce à un pignon (17) qui engrène avec une crémaillère fixe. On donne : module $m=2{,}5\ \text{mm}$ , $Z_{17}=32$ dents, $N_{17}=120\ \text{tr/min}$ , course à parcourir $C=1200\ \text{mm}$ . Le cahier des charges impose $V\le0{,}6\ \text{m/s}$ .

Calculer le diamètre primitif $d_{17}$ du pignon.
Calculer le nombre de tours $n_{17}$ effectués par le pignon pour parcourir la course $C$ .
En déduire le nombre de dents nécessaire $Z_{cr}$ de la crémaillère.
Calculer la vitesse de déplacement $V$ de la navette et vérifier le cahier des charges.
Calculer la durée du déplacement.

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1. $d_{17}=m\,Z_{17}=2{,}5\times32$ , soit $\boxed{d_{17}=80\ \text{mm}}$ .

2. Idée : un tour de pignon déroule son périmètre primitif sur la crémaillère. $n_{17}=\dfrac{C}{\pi\,d_{17}}=\dfrac{1200}{\pi\times80}$ , soit $\boxed{n_{17}\approx4{,}77\text{ tours}}$ .

3. Le pas de la crémaillère vaut $\pi m\approx7{,}854\ \text{mm}$ : $Z_{cr}=\dfrac{C}{\pi m}\approx152{,}8$ (on retrouve $n_{17}\cdot Z_{17}$ ). On arrondit par excès, sinon la course n'est pas couverte : $\boxed{Z_{cr}=153\text{ dents}}$ .

4. $V=\dfrac{\pi\,d_{17}\,N_{17}}{60}=\dfrac{\pi\times0{,}080\times120}{60}$ , soit $\boxed{V\approx0{,}503\ \text{m/s}}$ ; $0{,}503\le0{,}6\ \text{m/s}$ : condition satisfaite.

5. $t=\dfrac{C}{V}=\dfrac{1{,}2}{0{,}503}$ , soit $\boxed{t\approx2{,}39\ \text{s}}$ .

4 Drill TR-K.4 — crémaillère qui fait pivoter un bras de

180^\circ

: course et vitesse de la tige

Entraînement 04 / 06

Drill TR-K.4 — crémaillère qui fait pivoter un bras de $180^\circ$ : course et vitesse de la tige

5 questionsCorrigé masqué

Un bras de transfert (33) doit pivoter d'un angle $\alpha=180^\circ$ . Il est lié à une roue dentée (32) de module $m=2\ \text{mm}$ et de $Z_{32}=30$ dents, qui engrène avec une crémaillère (31) solidaire de la tige d'un vérin pneumatique.

Calculer le diamètre primitif $d_{32}$ et le rayon primitif $R_{32}$ de la roue.
Calculer la course $C$ de la crémaillère nécessaire pour faire pivoter le bras de $180^\circ$ .
La tige se déplace à $V_{31}=0{,}1\ \text{m/s}$ . Calculer la vitesse angulaire $\omega_{32}$ de la roue, puis sa vitesse de rotation $N_{32}$ .
Calculer la durée du pivotement.
Quelle course faudrait-il pour un pivotement de $90^\circ$ ?

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1. $d_{32}=m\,Z_{32}=60\ \text{mm}$ , donc $R_{32}=30\ \text{mm}$ .

2. Idée : la crémaillère avance de la longueur d'arc primitif parcourue par la roue. $C=\alpha\cdot R_{32}=\pi\times30=\dfrac{\pi\,d_{32}}{2}$ , soit $\boxed{C\approx94{,}25\ \text{mm}}$ .

3. $V_{31}=\omega_{32}\cdot R_{32}$ , donc $\omega_{32}=\dfrac{0{,}1}{0{,}030}$ , soit $\boxed{\omega_{32}\approx3{,}33\ \text{rad/s}}$ , et $N_{32}=\dfrac{60\,\omega_{32}}{2\pi}$ , soit $\boxed{N_{32}\approx31{,}8\ \text{tr/min}}$ .

4. $t=\dfrac{C}{V_{31}}=\dfrac{0{,}09425}{0{,}1}$ , soit $\boxed{t\approx0{,}94\ \text{s}}$ .

5. La course est proportionnelle à l'angle : $\dfrac{94{,}25}{2}$ , soit $\boxed{C'\approx47{,}1\ \text{mm}}$ .

5 Drill TR-K.5 — convoyeur à chaîne :

V=\omega\cdot r

d'un pignon, dans les deux sens

Entraînement 05 / 06

Drill TR-K.5 — convoyeur à chaîne : $V=\omega\cdot r$ d'un pignon, dans les deux sens

3 questionsCorrigé masqué

La chaîne d'un convoyeur est entraînée par un pignon (12) de diamètre primitif $d_{12}=120\ \text{mm}$ . Le motoréducteur qui entraîne le pignon a un rapport global $r_g=\dfrac{1}{25}$ .

Le pignon tourne à $N_{12}=45\ \text{tr/min}$ . Calculer sa vitesse angulaire $\omega_{12}$ , puis la vitesse linéaire $V$ de la chaîne.
Le cahier des charges impose désormais $V=0{,}35\ \text{m/s}$ . Calculer la vitesse de rotation nécessaire du pignon.
En déduire la vitesse de rotation du moteur.

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1. $\omega_{12}=\dfrac{2\pi N_{12}}{60}=\dfrac{2\pi\times45}{60}\approx4{,}712\ \text{rad/s}$ ; $V=\omega_{12}\cdot\dfrac{d_{12}}{2}=4{,}712\times0{,}060$ , soit $\boxed{V\approx0{,}283\ \text{m/s}}$ .

2. Idée : on inverse $V=\frac{\pi d N}{60}$ . $N_{12}=\dfrac{60\,V}{\pi\,d_{12}}=\dfrac{60\times0{,}35}{\pi\times0{,}120}$ , soit $\boxed{N_{12}\approx55{,}7\ \text{tr/min}}$ .

3. $N_m=\dfrac{N_{12}}{r_g}=25\times55{,}70$ , soit $\boxed{N_m\approx1393\ \text{tr/min}}$ .

6 Drill TR-K.6 — le piège des unités : mm/min, mm/s et m/s

Entraînement 06 / 06

Drill TR-K.6 — le piège des unités : mm/min, mm/s et m/s

3 questionsCorrigé masqué

Un vérin électrique doit sortir sa tige à $V=0{,}025\ \text{m/s}$ . Sa vis a $n=2$ filets de pas apparent $P_a=2{,}5\ \text{mm}$ .

Déterminer la vitesse de rotation $N$ de la vis, en $\text{tr/min}$ .
Pour un autre vérin, la vis tourne à $900\ \text{tr/min}$ avec un pas de l'hélice de $4\ \text{mm}$ . Un élève écrit « $V=900\times4=3600\ \text{m/s}$ ». Corriger son résultat et donner $V$ en $\text{m/s}$ .
Quelle course la tige du premier vérin parcourt-elle en $12\ \text{s}$ ?

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1. Idée : tout ramener en mm et en minutes avant de diviser. $p=n\cdot P_a=5\ \text{mm}$ ; $V=25\ \text{mm/s}=1500\ \text{mm/min}$ ; $N=\dfrac{V}{p}=\dfrac{1500}{5}$ , soit $\boxed{N=300\ \text{tr/min}}$ .

2. $900\ \text{tr/min}\times4\ \text{mm/tr}$ donne des mm/min : $V=3600\ \text{mm/min}=60\ \text{mm/s}$ , soit $\boxed{V=0{,}06\ \text{m/s}}$ — l'élève s'est trompé d'un facteur $60\,000$ .

3. $C=V\cdot t=25\times12$ , soit $\boxed{C=300\ \text{mm}}$ .

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Transformer la rotation en translation : vis-écrou et pignon-crémaillère, vitesse, course et temps en bout de chaîne

Exercice — vérin électromécanique d'une porte coulissante (2 points), dans l'esprit des sessions 2019–2024

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill TR-K.1 — vis-mère d'un trainard : vitesse d'avance en m/min et en mm/s

Drill TR-K.2 — retrouver le pas de l'hélice et le nombre de filets à partir d'une levée

Drill TR-K.3 — pignon-crémaillère : nombre de tours, dents de la crémaillère, vitesse de la navette

Drill TR-K.4 — crémaillère qui fait pivoter un bras de $180^\circ$ : course et vitesse de la tige

Drill TR-K.5 — convoyeur à chaîne : $V=\omega\cdot r$ d'un pignon, dans les deux sens

Drill TR-K.6 — le piège des unités : mm/min, mm/s et m/s

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