TR-JTransmissions et rapports de vitesses

Train épicycloïdal à couronne fixe : condition géométrique, formule de Willis, vitesse du porte-satellites

Idée directrice

Un train épicycloïdal se calcule en se plaçant sur le porte-satellites : vu de lui, le train redevient un train ordinaire, et c'est exactement ce qu'écrit la formule de Willis (toujours fournie). Couronne fixe, on y remplace sa vitesse par $0$ et l'on isole $\dfrac{N_{ps}}{N_p}=\dfrac{Z_p}{Z_p+Z_c}$ ; la condition géométrique $Z_c=Z_p+2Z_s$ donne la dent manquante, puis le rapport du train s'enchaîne avec les autres étages de la chaîne cinématique jusqu'à la vérification du cahier des charges.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« En utilisant la formule de Willis pour le train épicycloïdal, démontrer que le rapport de transmission… » ; « Déterminer la condition géométrique d'engrènement en fonction des diamètres primitifs » ; « Relier les repères des pièces par leurs désignations » ; « Exprimer et calculer le rapport de transmission du train épicycloïdal »

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Repérer planétaire (roue centrale), satellites (axes portés par le porte-satellites), couronne (denture intérieure) et porte-satellites, puis l'élément fixe.
Condition géométrique : $d_c=d_p+2\,d_s$ , donc $Z_c=Z_p+2\,Z_s$ quand le module est commun.
Willis : entrée sur le planétaire, sortie sur la couronne, $k$ = nombre de contacts extérieurs ( $k=1$ ) ; remplacer $N_c$ par $0$ puis isoler $\frac{N_{ps}}{N_p}$ .
Couronne fixe : $r_t=\dfrac{Z_p}{Z_p+Z_c}$ , positif et inférieur à $\frac12$ — un résultat hors de cet intervalle signale une erreur.
Enchaîner avec les autres étages (produit des rapports), puis comparer la vitesse obtenue à l'exigence du cahier des charges.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Prendre $\frac{Z_p}{Z_c}$ , le rapport d'un train ordinaire (porte-satellites supposé fixe) ; compter le contact satellite-couronne comme extérieur ( $k=2$ et signe faux) ; oublier de retrancher $N_{ps}$ au numérateur ; laisser $Z_s$ dans le rapport alors qu'il se simplifie ; écrire $Z_c=Z_p+Z_s$ au lieu de $Z_p+2Z_s$ .

Sujet principal

Exercice — étude cinématique d'une banderoleuse (2,5 points), dans l'esprit des sessions 2024–2025

9 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une banderoleuse enroule un film étirable autour d'une palette posée sur un plateau tournant (20). Pour un banderolage régulier, le cahier des charges impose une vitesse de rotation du plateau comprise entre $8$ et $12\ \text{tr/min}$ . Le dernier étage de la transmission est un réducteur à train épicycloïdal (figure) : le plateau est lié à son élément (16) et sa roue (15), à denture intérieure, est encastrée sur le bâti (1).

Chaîne cinématique simplifiée, du moteur au plateau :

Moteur (M) : $N_M=1420\ \text{tr/min}$ .
Réducteur poulies-courroie : poulie motrice $d_3=60\ \text{mm}$ , poulie réceptrice $d_7=240\ \text{mm}$ ; la poulie (7) est encastrée sur le pignon arbré (8).
Engrenage cylindrique : $Z_8=18$ dents, $Z_{10}=72$ dents ; la roue (10) est encastrée sur le pignon arbré (12).
Train épicycloïdal : pignon (12) de $Z_{12}=16$ dents, trois pignons (14) de $Z_{14}=56$ dents, roue à denture intérieure (15) de $Z_{15}$ dents. Toutes les roues du train ont le même module $m=2\ \text{mm}$ .

On donne la formule de Willis ( $k$ : nombre de contacts extérieurs entre l'entrée $e$ et la sortie $s$ choisies ; $ps$ : porte-satellites) :

\dfrac{N_s-N_{ps}}{N_e-N_{ps}}=(-1)^k\,\dfrac{\text{Produit } Z_{\text{menantes}}}{\text{Produit } Z_{\text{menées}}}

Calculer la vitesse de rotation $N_{12}$ du pignon arbré (12).
En se référant à la figure, relier chaque repère (12), (14), (15) et (16) à sa désignation : satellite, couronne, porte-satellites, planétaire.
Condition géométrique d'engrènement.
1. Écrire la condition géométrique d'engrènement du train en fonction des diamètres primitifs $d_{12}$ , $d_{14}$ et $d_{15}$ .
2. En déduire le nombre de dents $Z_{15}$ de la couronne, puis le rayon $a$ du cercle décrit par les axes des satellites.
Rapport de transmission du train épicycloïdal.
1. Pour le chemin (12) → (14) → (15), préciser la nature de chaque contact et en déduire $k$ .
2. En utilisant la formule de Willis, démontrer que le rapport de transmission du train est $r_t=\dfrac{N_{16}}{N_{12}}=\dfrac{Z_{12}}{Z_{12}+Z_{15}}$ .
3. Calculer $r_t$ et préciser le sens de rotation de (16) par rapport à celui de (12).
Vérification du cahier des charges.
1. Exprimer le rapport global $r_g=\dfrac{N_{20}}{N_M}$ de la chaîne, puis le calculer.
2. En déduire la vitesse de rotation $N_{20}$ du plateau.
3. La vitesse du plateau respecte-t-elle la condition imposée par le cahier des charges ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : chaque étage multiplie la vitesse par son rapport ; un encastrement transmet la même vitesse. $N_7=N_M\cdot\dfrac{d_3}{d_7}=1420\times\dfrac{60}{240}=355\ \text{tr/min}=N_8$ , puis $N_{10}=N_8\cdot\dfrac{Z_8}{Z_{10}}=355\times\dfrac{18}{72}$ , d'où $\boxed{N_{12}=N_{10}=88{,}75\ \text{tr/min}}$ .

2. (12) : planétaire (roue centrale, entrée du train) ; (14) : satellites (tournent sur des axes portés par 16) ; (15) : couronne (denture intérieure, liée au bâti) ; (16) : porte-satellites (porte les axes des satellites, sortie vers le plateau).

3.a Idée : chaque satellite est tangent extérieurement au planétaire et intérieurement à la couronne. Le diamètre primitif de la couronne vaut celui du planétaire plus deux diamètres de satellite : $\boxed{d_{15}=d_{12}+2\,d_{14}}$ .

3.b Avec $d=m\,Z$ et le même module, $Z_{15}=Z_{12}+2\,Z_{14}=16+2\times56$ , soit $\boxed{Z_{15}=128\text{ dents}}$ . Les axes des satellites sont à la distance $a=\dfrac{d_{12}+d_{14}}{2}=\dfrac{m\,(Z_{12}+Z_{14})}{2}=\dfrac{2\times72}{2}$ , soit $\boxed{a=72\ \text{mm}}$ .

4.a Contact 12-14 : extérieur (deux dentures extérieures) ; contact 14-15 : intérieur (la couronne a une denture intérieure). Un seul contact extérieur : $\boxed{k=1}$ .

4.b Idée : on prend l'entrée sur le planétaire et la « sortie » sur la couronne, la roue dont la vitesse est connue (nulle) ; le satellite, menée puis menante, se simplifie.

\dfrac{N_{15}-N_{16}}{N_{12}-N_{16}}=-\dfrac{Z_{12}\,Z_{14}}{Z_{14}\,Z_{15}}=-\dfrac{Z_{12}}{Z_{15}}

La couronne est fixe, $N_{15}=0$ :

-N_{16}\,Z_{15}=-Z_{12}\,(N_{12}-N_{16})

N_{16}\,(Z_{12}+Z_{15})=Z_{12}\,N_{12}

r_t=\dfrac{N_{16}}{N_{12}}=\dfrac{Z_{12}}{Z_{12}+Z_{15}}

4.c $r_t=\dfrac{16}{16+128}=\dfrac{16}{144}$ , soit $\boxed{r_t=\dfrac19\approx0{,}111}$ . Le rapport est positif : le porte-satellites tourne dans le même sens que le planétaire (porte-satellites bloqué, la couronne tournerait au contraire en sens inverse, avec le rapport $-\frac{Z_{12}}{Z_{15}}$ ).

5.a $r_g=\dfrac{d_3}{d_7}\cdot\dfrac{Z_8}{Z_{10}}\cdot r_t=\dfrac14\times\dfrac14\times\dfrac19$ , soit $\boxed{r_g=\dfrac{1}{144}}$ .

5.b $N_{20}=N_{16}=r_g\,N_M=\dfrac{1420}{144}$ , soit $\boxed{N_{20}\approx9{,}86\ \text{tr/min}}$ (on retrouve $N_{16}=r_t\,N_{12}=\frac{88{,}75}{9}$ ).

5.c $8\ \text{tr/min}\le9{,}86\ \text{tr/min}\le12\ \text{tr/min}$ : la vitesse du plateau est dans l'intervalle imposé, la condition du cahier des charges est respectée.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : appariement repères/désignations puis démonstration de $r=\frac{Z_p}{Z_p+Z_c}$ par Willis, vitesse de la vis de sortie et vitesse de translation d'un embout comparée au cahier des charges (principale 2024) ; rapport du train dans une chaîne complète, remontée à la vitesse et à la puissance du moteur, puis choix du moteur (contrôle 2025) ; condition géométrique en diamètres primitifs pour trouver le nombre de dents de la couronne, puis vitesse d'un support vérifiée dans un intervalle (principale 2025) ; conditions d'engrènement des engrenages de la chaîne demandées en tableau (principale 2025).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill TR-J.1 — condition géométrique seule : dents des satellites, diamètres primitifs, entraxe

Entraînement 01 / 05

Drill TR-J.1 — condition géométrique seule : dents des satellites, diamètres primitifs, entraxe

5 questionsCorrigé masqué

Dans la transmission d'un treuil, la réduction de vitesse est assurée par un train épicycloïdal plan, qui reçoit la rotation de l'arbre moteur sur son planétaire (3) de $Z_3=21$ dents. Il comporte aussi une couronne fixe (6) à denture intérieure de $Z_6=81$ dents, trois satellites identiques (4) et un porte-satellites (5) lié à l'arbre de sortie. Toutes les roues ont le même module $m=1{,}5\ \text{mm}$ .

Écrire la condition géométrique d'engrènement en fonction des diamètres primitifs $d_3$ , $d_4$ et $d_6$ .
En déduire le nombre de dents $Z_4$ des satellites.
Calculer $d_3$ , $d_4$ et $d_6$ , puis vérifier la condition écrite en 1.
Calculer l'entraxe $a$ de l'engrenage planétaire-satellite (c'est le rayon du porte-satellites).
Le concepteur envisage une couronne de $80$ dents avec le même planétaire. Est-ce possible ? Justifier.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : le satellite est tangent extérieurement au planétaire et intérieurement à la couronne. $\boxed{d_6=d_3+2\,d_4}$ .

2. Avec $d=m\,Z$ et le même module : $Z_6=Z_3+2\,Z_4$ , donc $Z_4=\dfrac{Z_6-Z_3}{2}=\dfrac{81-21}{2}$ , soit $\boxed{Z_4=30\text{ dents}}$ .

3. $d_3=1{,}5\times21=31{,}5\ \text{mm}$ ; $d_4=1{,}5\times30=45\ \text{mm}$ ; $d_6=1{,}5\times81=121{,}5\ \text{mm}$ . On a bien $31{,}5+2\times45=121{,}5\ \text{mm}$ .

4. $a=\dfrac{d_3+d_4}{2}=\dfrac{31{,}5+45}{2}$ , soit $\boxed{a=38{,}25\ \text{mm}}$ (on retrouve la même valeur par $\frac{d_6-d_4}{2}$ ).

5. Il faudrait $Z_4=\dfrac{80-21}{2}=29{,}5$ : un nombre de dents non entier est impossible. $Z_6-Z_3$ doit être pair ; la couronne de $80$ dents ne convient pas.

2 Drill TR-J.2 — démontrer le rapport par Willis (

k=1

) sans le confondre avec le rapport ordinaire

Entraînement 02 / 05

Drill TR-J.2 — démontrer le rapport par Willis ( $k=1$ ) sans le confondre avec le rapport ordinaire

5 questionsCorrigé masqué

Dans un motoréducteur, le planétaire (41) de $Z_{41}=24$ dents est lié à l'arbre moteur, qui tourne à $N_{41}=1500\ \text{tr/min}$ . Les satellites (42) ont $Z_{42}=36$ dents, la couronne (43) est fixe et le porte-satellites (44) constitue l'arbre de sortie. Toutes les roues ont le même module. On donne la formule de Willis :

\dfrac{N_s-N_{ps}}{N_e-N_{ps}}=(-1)^k\,\dfrac{\text{Produit } Z_{\text{menantes}}}{\text{Produit } Z_{\text{menées}}}

Calculer le nombre de dents $Z_{43}$ de la couronne.
Déterminer $k$ en précisant la nature de chaque contact du chemin 41 → 42 → 43.
En utilisant la formule de Willis, démontrer que $r=\dfrac{N_{44}}{N_{41}}=\dfrac{Z_{41}}{Z_{41}+Z_{43}}$ , puis calculer $r$ et $N_{44}$ .
Un élève écrit $r=\dfrac{Z_{41}}{Z_{43}}$ . Quelle vitesse de sortie obtient-il ? Expliquer son erreur.
On bloque maintenant le porte-satellites et on libère la couronne. Calculer la vitesse de la couronne et préciser son sens.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $Z_{43}=Z_{41}+2\,Z_{42}=24+2\times36$ , soit $\boxed{Z_{43}=96\text{ dents}}$ .

2. Contact 41-42 extérieur, contact 42-43 intérieur (denture intérieure de la couronne) : $\boxed{k=1}$ .

3. Idée : entrée sur le planétaire, sortie sur la couronne fixe ; le satellite se simplifie.

\dfrac{0-N_{44}}{N_{41}-N_{44}}=-\dfrac{Z_{41}}{Z_{43}}

N_{44}\,Z_{43}=Z_{41}\,N_{41}-Z_{41}\,N_{44}

r=\dfrac{N_{44}}{N_{41}}=\dfrac{Z_{41}}{Z_{41}+Z_{43}}

$r=\dfrac{24}{120}$ , soit $\boxed{r=0{,}2}$ , et $N_{44}=0{,}2\times1500$ , soit $\boxed{N_{44}=300\ \text{tr/min}}$ , dans le même sens que le planétaire.

4. Il trouve $\dfrac{24}{96}\times1500=375\ \text{tr/min}$ . $\frac{Z_{41}}{Z_{43}}$ est le rapport d'un train ordinaire, où les axes des satellites seraient fixes ; ici le porte-satellites tourne, et Willis impose de retrancher sa vitesse : l'erreur surestime la sortie de $25\ \%$ .

5. Porte-satellites fixe, le train devient ordinaire : $\dfrac{N_{43}}{N_{41}}=(-1)^1\dfrac{Z_{41}}{Z_{43}}=-0{,}25$ , donc $N_{43}=-375\ \text{tr/min}$ : la couronne tourne à $375\ \text{tr/min}$ en sens inverse du planétaire.

3 Drill TR-J.3 — vitesse de sortie imposée : remonter à

N_m

, puis à la puissance du moteur

Entraînement 03 / 05

Drill TR-J.3 — vitesse de sortie imposée : remonter à $N_m$ , puis à la puissance du moteur

4 questionsCorrigé masqué

Un chariot automoteur est entraîné par la chaîne : moteur → engrenage de rapport $r_1=0{,}4$ → train épicycloïdal → roue motrice (8). Dans le train, le planétaire (5) a $Z_5=15$ dents, les satellites (6) $Z_6=24$ dents, la couronne (7) est fixe et la roue (8) est liée au porte-satellites ; module commun. Le cahier des charges impose $N_8=70\ \text{tr/min}$ avec un couple $C_8=250\ \text{N·m}$ ; le rendement global du mécanisme est $\eta=0{,}85$ . On donne la formule de Willis :

\dfrac{N_s-N_{ps}}{N_e-N_{ps}}=(-1)^k\,\dfrac{\text{Produit } Z_{\text{menantes}}}{\text{Produit } Z_{\text{menées}}}

Calculer le nombre de dents $Z_7$ de la couronne.
Exprimer puis calculer le rapport de transmission $r_t$ du train épicycloïdal.
Calculer le rapport global $r_g=\dfrac{N_8}{N_m}$ , puis la vitesse de rotation $N_m$ du moteur.
Calculer la puissance $P_8$ nécessaire sur la roue motrice, puis la puissance $P_m$ du moteur.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $Z_7=Z_5+2\,Z_6=15+48$ , soit $\boxed{Z_7=63\text{ dents}}$ .

2. Couronne fixe et $k=1$ (contact 5-6 extérieur, 6-7 intérieur) : Willis donne $\dfrac{0-N_{ps}}{N_5-N_{ps}}=-\dfrac{Z_5}{Z_7}$ , d'où $r_t=\dfrac{Z_5}{Z_5+Z_7}=\dfrac{15}{78}$ , soit $\boxed{r_t\approx0{,}1923}$ .

3. Idée : la vitesse de sortie est imposée, on remonte la chaîne en divisant par le rapport global. $r_g=r_1\cdot r_t=0{,}4\times\dfrac{15}{78}=\dfrac{1}{13}\approx0{,}0769$ ; $N_m=\dfrac{N_8}{r_g}=70\times13$ , soit $\boxed{N_m=910\ \text{tr/min}}$ .

4. $\omega_8=\dfrac{2\pi\times70}{60}\approx7{,}330\ \text{rad/s}$ , donc $P_8=C_8\,\omega_8=250\times7{,}330\approx1832{,}6\ \text{W}$ . Le moteur doit couvrir les pertes : $P_m=\dfrac{P_8}{\eta}=\dfrac{1832{,}6}{0{,}85}$ , soit $\boxed{P_m\approx2156\ \text{W}}$ .

4 Drill TR-J.4 — train épicycloïdal suivi d'un système vis-écrou : vitesse de l'embout et temps de course

Entraînement 04 / 05

Drill TR-J.4 — train épicycloïdal suivi d'un système vis-écrou : vitesse de l'embout et temps de course

5 questionsCorrigé masqué

Le vérin électrique d'un lit médicalisé comprend un moteur tournant à $N_m=2800\ \text{tr/min}$ , lié au planétaire (8) de $Z_8=20$ dents ; les satellites (9) ont $Z_9=31$ dents et la couronne (10) est fixe. Le porte-satellites est lié à la vis (11), à un filet de pas $p=5\ \text{mm}$ , dont l'écrou pousse l'embout (12). Le cahier des charges impose $V_{12}\le50\ \text{mm/s}$ ; la course de l'embout est $C=300\ \text{mm}$ . Même module pour toutes les roues. On donne la formule de Willis ( $k$ : nombre de contacts extérieurs ; $ps$ : porte-satellites) :

\dfrac{N_s-N_{ps}}{N_e-N_{ps}}=(-1)^k\,\dfrac{\text{Produit } Z_{\text{menantes}}}{\text{Produit } Z_{\text{menées}}}

Calculer le nombre de dents $Z_{10}$ de la couronne.
En utilisant la formule de Willis (couronne fixe, $k=1$ ), montrer que $r=\dfrac{N_{11}}{N_m}=\dfrac{Z_8}{Z_8+Z_{10}}$ et le calculer.
En déduire la vitesse de rotation $N_{11}$ de la vis.
Calculer la vitesse de translation $V_{12}$ de l'embout en $\text{mm/s}$ et vérifier la condition du cahier des charges.
Calculer le temps nécessaire pour parcourir la course $C$ .

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1. $Z_{10}=Z_8+2\,Z_9=20+62$ , soit $\boxed{Z_{10}=82\text{ dents}}$ .

2. $\dfrac{0-N_{11}}{N_m-N_{11}}=-\dfrac{Z_8}{Z_{10}}$ donne $N_{11}(Z_8+Z_{10})=Z_8\,N_m$ , donc $r=\dfrac{Z_8}{Z_8+Z_{10}}=\dfrac{20}{102}$ , soit $\boxed{r\approx0{,}1961}$ .

3. $N_{11}=r\,N_m=\dfrac{20}{102}\times2800$ , soit $\boxed{N_{11}\approx549{,}0\ \text{tr/min}}$ .

4. Idée : vis à un filet, l'écrou avance d'un pas par tour de vis. $V_{12}=N_{11}\cdot p=549{,}0\times5\approx2745\ \text{mm/min}$ , soit $\boxed{V_{12}\approx45{,}75\ \text{mm/s}}$ . $45{,}75\ \text{mm/s}\le50\ \text{mm/s}$ : la condition est satisfaite.

5. $t=\dfrac{C}{V_{12}}=\dfrac{300}{45{,}75}$ , soit $\boxed{t\approx6{,}56\ \text{s}}$ .

5 Drill TR-J.5 — types de denture et conditions d'engrènement des engrenages d'une chaîne

Entraînement 05 / 05

Drill TR-J.5 — types de denture et conditions d'engrènement des engrenages d'une chaîne

4 questionsCorrigé masqué

La transmission d'un malaxeur comporte : deux roues cylindriques (2, 3) dont les dents sont parallèles aux axes ; deux roues cylindriques (4, 5) dont les dents sont inclinées sur les axes ; deux roues (6, 7) taillées sur des cônes, d'axes perpendiculaires ; un train épicycloïdal formé d'un planétaire (8) de $Z_8=18$ dents, de satellites (9) de $Z_9=27$ dents et d'une couronne (10) à denture intérieure.

Pour chaque engrenage, nommer le type de denture et préciser la position relative des axes.
Citer les conditions d'engrènement de chacun des trois premiers couples.
Écrire la condition géométrique d'engrènement du train épicycloïdal et calculer $Z_{10}$ .
Pourquoi préfère-t-on souvent une denture hélicoïdale à une denture droite ? Quel inconvénient apporte-t-elle ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : dents parallèles à l'axe → denture droite ; dents inclinées → hélicoïdale ; roues taillées sur des cônes → conique. (2, 3) : denture droite, axes parallèles ; (4, 5) : denture hélicoïdale, axes parallèles ; (6, 7) : denture conique, axes concourants (ici perpendiculaires) ; train épicycloïdal : roues cylindriques dont une couronne à denture intérieure, axes parallèles (planétaire, couronne et porte-satellites coaxiaux).

2. Denture droite : même module. Denture hélicoïdale : même module, même angle d'hélice et hélices de sens opposés (engrenage extérieur). Roues coniques : même module et sommets des cônes primitifs confondus.

3. $d_{10}=d_8+2\,d_9$ , donc avec le même module $Z_{10}=Z_8+2\,Z_9=18+54$ , soit $\boxed{Z_{10}=72\text{ dents}}$ .

4. Plusieurs dents sont en prise en même temps : l'engrènement est plus progressif, donc plus silencieux, et le couple transmissible plus élevé. En contrepartie, la denture hélicoïdale crée un effort axial, que les roulements (ou une butée) doivent pouvoir supporter.

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Train épicycloïdal à couronne fixe : condition géométrique, formule de Willis, vitesse du porte-satellites

Exercice — étude cinématique d'une banderoleuse (2,5 points), dans l'esprit des sessions 2024–2025

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill TR-J.1 — condition géométrique seule : dents des satellites, diamètres primitifs, entraxe

Drill TR-J.2 — démontrer le rapport par Willis ( $k=1$ ) sans le confondre avec le rapport ordinaire

Drill TR-J.3 — vitesse de sortie imposée : remonter à $N_m$ , puis à la puissance du moteur

Drill TR-J.4 — train épicycloïdal suivi d'un système vis-écrou : vitesse de l'embout et temps de course

Drill TR-J.5 — types de denture et conditions d'engrènement des engrenages d'une chaîne

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