DR-ADérivabilité

Dérivabilité en un point, nombre dérivé et tangente

Idée directrice

Le scénario type consiste à étudier la dérivabilité de $f$ en un point $a$ en calculant les taux d'accroissement à gauche et à droite : $\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Si $\tau_g = \tau_d = \ell$ , alors $f'(a)=\ell$ et la tangente en $(a,f(a))$ a pour équation $y = f(a) + \ell(x-a)$ . Si $\tau_g \neq \tau_d$ , $f$ n'est pas dérivable en $a$ (mais peut être continue), et le graphe présente un coin ou une demi-tangente verticale selon les cas.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = \ldots$ » ; « calculer $\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ » ; « la courbe admet-elle une tangente en ce point ? »

Sujet principal

Exercice 1 — dérivabilité en un point et tangente

4 questionsCorrigé masqué

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x-1}\,(2-x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

Vérifier que $f$ est continue en $x_0 = 1$ .
Calculer le taux d'accroissement à gauche $\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ .
1. Exprimer $f(1+h)$ pour $h < 0$ .
2. Simplifier et conclure sur $\tau_g$ .
Calculer le taux d'accroissement à droite $\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ .
1. Exprimer $f(1+h)$ pour $h > 0$ .
2. Simplifier et conclure sur $\tau_d$ .
$f$ est-elle dérivable en $x_0 = 1$ ? Si oui, écrire l'équation de la tangente au graphe de $f$ en ce point.

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1. Idée : continuité en un point de raccord $=$ égalité des deux limites et de la valeur. $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=1-3+2=0$ ; $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\sqrt0\times(2-1)=0$ ; $f(1)=0$ . Les trois valeurs coïncident : $f$ est continue en $1$ .

2. Idée : à gauche de $1$ , on utilise la première expression. Pour $h<0$ , $f(1+h)=(1+h)^2-3(1+h)+2=h^2-h$ , donc $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h^2-h}{h}=h-1\xrightarrow[h\to0^-]{}-1$ : $\tau_g=-1$ , $f$ est dérivable à gauche en $1$ avec $f'_g(1)=-1$ .

3. Idée : à droite, la racine impose une simplification par $\sqrt h$ . Pour $h>0$ , $f(1+h)=\sqrt h\,(1-h)$ , donc $\dfrac{f(1+h)}{h}=\dfrac{1-h}{\sqrt h}\xrightarrow[h\to0^+]{}+\infty$ : $\tau_d=+\infty$ , $f$ n'est pas dérivable à droite ; la courbe admet en $(1,0)$ une demi-tangente verticale.

4. $\tau_g=-1\neq\tau_d$ : $f$ n'est pas dérivable en $1$ . Il n'y a pas de tangente en ce point, mais deux demi-tangentes : à gauche la demi-droite de pente $-1$ ( $y=-(x-1)$ , $x\leq1$ ), à droite la demi-droite verticale dirigée vers le haut — un point anguleux.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill DR-A.1 — dérivabilité par les taux à gauche/droite

2 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=x|x|$ .

Calculer les taux d'accroissement à gauche et à droite en $0$ .
$f$ est-elle dérivable en $0$ ? Donner l'équation de la tangente.

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1. On pose les taux d'accroissement en $0$ . Pour $h>0$ : $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2}{h}=h\to0$ . Pour $h<0$ : $\dfrac{-h^2}{h}=-h\to0$ . On a : les deux limites latérales coïncident.

2. On obtient $f'(0)=0$ . Conclusion : $f$ est dérivable en $0$ et la tangente a pour équation $y=0$ .

Entraînement 02 / 03

Drill DR-A.2 — demi-tangente verticale

1 questionCorrigé masqué

Soit $f(x)=\sqrt[3]{x}$ . Étudier la dérivabilité en $0$ et interpréter géométriquement.

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Montrons que $f(x)=\sqrt[3]{x}$ n'est pas dérivable en $0$ . Le taux d'accroissement vaut $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=h^{-2/3}$ . Or $h^{-2/3}\to+\infty$ quand $h\to0$ , par suite le taux n'admet pas de limite finie. Conclusion : $f$ n'est pas dérivable en $0$ ; ce qui prouve que la courbe admet une tangente verticale (axe $Oy$ ) en $O$ .

Entraînement 03 / 03

Drill DR-A.x — $f(x)=x\ln x$ prolongée en $0$ : continuité et dérivabilité à droite (2018)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln x$ si $x>0$ et $f(0)=0$ .

Vérifier que $f$ est continue à droite en $0$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ . Interpréter graphiquement.
Calculer $f'(x)$ pour $x>0$ et déterminer le minimum de $f$ sur $]0;+\infty[$ .

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1. Idée : limite de référence $x\ln x\to0$ en $0^+$ . $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\ln x=0=f(0)$ : $f$ est continue à droite en $0$ .

2. Idée : taux d'accroissement en $0$ . $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x\ln x}{x}=\ln x\xrightarrow[x\to0^+]{}-\infty$ . La limite est infinie : $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ . Graphiquement, la courbe admet au point $O$ une demi-tangente verticale (dirigée vers le bas, puisque $\ln x<0$ près de $0$ ).

3. Idée : dérivée d'un produit, puis signe. $f'(x)=\ln x+1$ , nul pour $x=\e^{-1}$ , négatif avant, positif après : $f$ décroît sur $]0;\e^{-1}]$ puis croît. Minimum $f(\e^{-1})=\e^{-1}\ln\e^{-1}=\boxed{-\dfrac1\e}$ .

Méthode / Automatismes

Commencer toujours par la continuité : si $f$ n'est pas continue en $a$ , elle n'est pas dérivable non plus — inutile de calculer les taux.
Pour les fonctions définies par morceaux, calculer $\tau_g$ et $\tau_d$ séparément en substituant l'expression correspondant à chaque côté.
Si un taux tend vers $\pm\infty$ , la courbe admet une demi-tangente verticale en $a$ côté concerné ; noter que la fonction reste non dérivable.
L'équation de la tangente en $(a, f(a))$ n'existe que si $f'(a)$ est fini : $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ .

Pièges classiques

Confondre continuité et dérivabilité : une fonction peut être continue sans être dérivable (cas d'un coin). Inversement, si $f$ est dérivable en $a$ , elle est nécessairement continue. Oublier de vérifier la continuité avant de conclure sur la dérivabilité peut conduire à des erreurs.

Variantes rencontrées : on peut demander d'étudier la dérivabilité de $|g(x)|$ en un zéro de $g$ , ou d'une fonction définie avec $\sqrt[3]{x-a}$ (taux $\to\infty$ des deux côtés, donc point d'inflexion à tangente verticale). Parfois l'énoncé demande explicitement la demi-tangente gauche et droite.