DR-ADérivabilité

Dérivabilité en un point, nombre dérivé et tangente

Idée directrice

Le scénario type consiste à étudier la dérivabilité de $f$ en un point $a$ en calculant les taux d'accroissement à gauche et à droite : $\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Si $\tau_g = \tau_d = \ell$ , alors $f'(a)=\ell$ et la tangente en $(a,f(a))$ a pour équation $y = f(a) + \ell(x-a)$ . Si $\tau_g \neq \tau_d$ , $f$ n'est pas dérivable en $a$ (mais peut être continue), et le graphe présente un coin ou une demi-tangente verticale selon les cas.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = \ldots$ » ; « calculer $\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ » ; « la courbe admet-elle une tangente en ce point ? »

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Commencer toujours par la continuité : si $f$ n'est pas continue en $a$ , elle n'est pas dérivable non plus — inutile de calculer les taux.
Pour les fonctions définies par morceaux, calculer $\tau_g$ et $\tau_d$ séparément en substituant l'expression correspondant à chaque côté.
Si un taux tend vers $\pm\infty$ , la courbe admet une demi-tangente verticale en $a$ côté concerné ; noter que la fonction reste non dérivable.
L'équation de la tangente en $(a, f(a))$ n'existe que si $f'(a)$ est fini : $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre continuité et dérivabilité : une fonction peut être continue sans être dérivable (cas d'un coin). Inversement, si $f$ est dérivable en $a$ , elle est nécessairement continue. Oublier de vérifier la continuité avant de conclure sur la dérivabilité peut conduire à des erreurs.

Sujet principal

Exercice 1 — dérivabilité en un point et tangente

4 questionsCorrigé masqué

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 2 & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x-1}\,(2-x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

Vérifier que $f$ est continue en $x_0 = 1$ .
Calculer le taux d'accroissement à gauche $\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ .
1. Exprimer $f(1+h)$ pour $h < 0$ .
2. Simplifier et conclure sur $\tau_g$ .
Calculer le taux d'accroissement à droite $\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ .
1. Exprimer $f(1+h)$ pour $h > 0$ .
2. Simplifier et conclure sur $\tau_d$ .
$f$ est-elle dérivable en $x_0 = 1$ ? Si oui, écrire l'équation de la tangente au graphe de $f$ en ce point.

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1. Idée : continuité en un point de raccord $=$ égalité des deux limites et de la valeur. $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=1-3+2=0$ ; $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\sqrt0\times(2-1)=0$ ; $f(1)=0$ . Les trois valeurs coïncident : $f$ est continue en $1$ .

2. Idée : à gauche de $1$ , on utilise la première expression. Pour $h<0$ , $f(1+h)=(1+h)^2-3(1+h)+2=h^2-h$ , donc $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{h^2-h}{h}=h-1\xrightarrow[h\to0^-]{}-1$ : $\tau_g=-1$ , $f$ est dérivable à gauche en $1$ avec $f'_g(1)=-1$ .

3. Idée : à droite, la racine impose une simplification par $\sqrt h$ . Pour $h>0$ , $f(1+h)=\sqrt h\,(1-h)$ , donc $\dfrac{f(1+h)}{h}=\dfrac{1-h}{\sqrt h}\xrightarrow[h\to0^+]{}+\infty$ : $\tau_d=+\infty$ , $f$ n'est pas dérivable à droite ; la courbe admet en $(1,0)$ une demi-tangente verticale.

4. $\tau_g=-1\neq\tau_d$ : $f$ n'est pas dérivable en $1$ . Il n'y a pas de tangente en ce point, mais deux demi-tangentes : à gauche la demi-droite de pente $-1$ ( $y=-(x-1)$ , $x\leq1$ ), à droite la demi-droite verticale dirigée vers le haut — un point anguleux.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : on peut demander d'étudier la dérivabilité de $|g(x)|$ en un zéro de $g$ , ou d'une fonction définie avec $\sqrt[3]{x-a}$ (taux $\to\infty$ des deux côtés, donc point d'inflexion à tangente verticale). Parfois l'énoncé demande explicitement la demi-tangente gauche et droite.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill DR-A.1 — dérivabilité par les taux à gauche/droite

Entraînement 01 / 05

Drill DR-A.1 — dérivabilité par les taux à gauche/droite

2 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=x|x|$ .

Calculer les taux d'accroissement à gauche et à droite en $0$ .
$f$ est-elle dérivable en $0$ ? Donner l'équation de la tangente.

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1. On pose les taux d'accroissement en $0$ . Pour $h>0$ : $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2}{h}=h\to0$ . Pour $h<0$ : $\dfrac{-h^2}{h}=-h\to0$ . On a : les deux limites latérales coïncident.

2. On obtient $f'(0)=0$ . Conclusion : $f$ est dérivable en $0$ et la tangente a pour équation $y=0$ .

2 Drill DR-A.2 — demi-tangente verticale

Entraînement 02 / 05

Drill DR-A.2 — demi-tangente verticale

1 questionCorrigé masqué

Soit $f(x)=\sqrt[3]{x}$ . Étudier la dérivabilité en $0$ et interpréter géométriquement.

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Montrons que $f(x)=\sqrt[3]{x}$ n'est pas dérivable en $0$ . Le taux d'accroissement vaut $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=h^{-2/3}$ . Or $h^{-2/3}\to+\infty$ quand $h\to0$ , par suite le taux n'admet pas de limite finie. Conclusion : $f$ n'est pas dérivable en $0$ ; ce qui prouve que la courbe admet une tangente verticale (axe $Oy$ ) en $O$ .

3 Drill DR-A.x —

f(x)=x\ln x

prolongée en

0

: continuité et dérivabilité à droite (2018)

Entraînement 03 / 05

Drill DR-A.x — $f(x)=x\ln x$ prolongée en $0$ : continuité et dérivabilité à droite (2018)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln x$ si $x>0$ et $f(0)=0$ .

Vérifier que $f$ est continue à droite en $0$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ . Interpréter graphiquement.
Calculer $f'(x)$ pour $x>0$ et déterminer le minimum de $f$ sur $]0;+\infty[$ .

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1. Idée : limite de référence $x\ln x\to0$ en $0^+$ . $\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\ln x=0=f(0)$ : $f$ est continue à droite en $0$ .

2. Idée : taux d'accroissement en $0$ . $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{x\ln x}{x}=\ln x\xrightarrow[x\to0^+]{}-\infty$ . La limite est infinie : $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ . Graphiquement, la courbe admet au point $O$ une demi-tangente verticale (dirigée vers le bas, puisque $\ln x<0$ près de $0$ ).

3. Idée : dérivée d'un produit, puis signe. $f'(x)=\ln x+1$ , nul pour $x=\e^{-1}$ , négatif avant, positif après : $f$ décroît sur $]0;\e^{-1}]$ puis croît. Minimum $f(\e^{-1})=\e^{-1}\ln\e^{-1}=\boxed{-\dfrac1\e}$ .

4 Drill DR-A.4 — fonction prolongée au bord : dérivabilité à droite par changement de variable, demi-tangente horizontale

Entraînement 04 / 05

Drill DR-A.4 — fonction prolongée au bord : dérivabilité à droite par changement de variable, demi-tangente horizontale

4 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=e^{-\frac2x}$ si $x>0$ et $f(0)=0$ . On désigne par $(C)$ sa courbe représentative.

Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .
1. En posant $u=\dfrac2x$ , montrer que $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}{x}=0$ .
2. En déduire que $f$ est dérivable à droite en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
1. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et que $f'(x)=\dfrac{2}{x^2}\,f(x)$ .
2. Montrer que $\lim\limits_{x\to0^+}f'(x)=0$ .
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ , interpréter graphiquement, puis montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ .

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1. Quand $x\to0^+$ , $-\dfrac2x\to-\infty$ , donc $e^{-\frac2x}\to0=f(0)$ : $f$ est continue à droite en $0$ .

2.a Idée : le changement de variable ramène à la limite de référence $u\,e^{-u}\to0$ en $+\infty$ . Avec $u=\dfrac2x$ (donc $x=\dfrac2u$ et $u\to+\infty$ quand $x\to0^+$ ) : $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac u2\,e^{-u}\to0$ .

2.b $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{f(x)}{x}\to0$ : $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f'_d(0)=0$ ; $(C)$ admet en $O$ une demi-tangente horizontale.

3.a $x\mapsto-\dfrac2x$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ , de dérivée $\dfrac2{x^2}$ , donc $f'(x)=\dfrac2{x^2}\,e^{-\frac2x}=\dfrac2{x^2}\,f(x)$ .

3.b Avec le même $u$ : $f'(x)=\dfrac{u^2}{2}\,e^{-u}\to0$ quand $u\to+\infty$ . La dérivée tend vers le nombre dérivé à droite trouvé en 2.b, ce qui confirme le résultat.

4. $-\dfrac2x\to0$ donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=e^0=1$ : la droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(C)$ en $+\infty$ . Comme $f'(x)>0$ sur $]0,+\infty[$ et $f$ est continue à droite en $0$ , $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$ , de $f(0)=0$ vers $1$ (valeur jamais atteinte).

5 Drill DR-A.5 — racine qui s'annule au bord : non-dérivabilité à droite et demi-tangente verticale

Entraînement 05 / 05

Drill DR-A.5 — racine qui s'annule au bord : non-dérivabilité à droite et demi-tangente verticale

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $f(x)=x\sqrt{\ln x}$ et $(C)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\vec\imath,\vec\jmath)$ .

Montrer que $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$ .
En écrivant, pour $x>1$ , $\dfrac{f(x)}{x-1}=x\cdot\dfrac{\ln x}{x-1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\ln x}}$ , montrer que $\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{f(x)}{x-1}=+\infty$ . En déduire que $f$ n'est pas dérivable à droite en $1$ et interpréter graphiquement.
1. Montrer que $f$ est dérivable sur $]1,+\infty[$ et que $f'(x)=\dfrac{2\ln x+1}{2\sqrt{\ln x}}$ .
2. Calculer $\lim\limits_{x\to1^+}f'(x)$ . Ce résultat est-il cohérent avec la question 2 ?
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ , interpréter, puis montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$ .
Donner une équation de la tangente à $(C)$ au point d'abscisse $e$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : reconnaître un taux d'accroissement. $\dfrac{\ln x}{x-1}=\dfrac{\ln x-\ln 1}{x-1}\to\ln'(1)=1$ .

2. Pour $x>1$ , $f(1)=0$ et $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=x\cdot\dfrac{\ln x}{x-1}\cdot\dfrac1{\sqrt{\ln x}}$ . Quand $x\to1^+$ : $x\to1$ , $\dfrac{\ln x}{x-1}\to1$ et $\sqrt{\ln x}\to0^+$ , donc le produit tend vers $+\infty$ . Le taux d'accroissement n'a pas de limite finie : $f$ n'est pas dérivable à droite en $1$ , et $(C)$ admet au point $A(1,0)$ une demi-tangente verticale (dirigée vers le haut).

3.a Sur $]1,+\infty[$ , $\ln x>0$ et $x\mapsto\sqrt{\ln x}$ est dérivable, de dérivée $\dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$ . Donc $f'(x)=\sqrt{\ln x}+x\cdot\dfrac1{2x\sqrt{\ln x}}=\dfrac{2\ln x+1}{2\sqrt{\ln x}}$ .

3.b Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $0^+$ : $\lim\limits_{x\to1^+}f'(x)=+\infty$ , cohérent avec la demi-tangente verticale trouvée en 2.

4. $f(x)\to+\infty$ et $\dfrac{f(x)}{x}=\sqrt{\ln x}\to+\infty$ : branche parabolique de direction $(O,\vec\jmath)$ . Comme $f'(x)>0$ sur $]1,+\infty[$ , $f$ est strictement croissante sur $[1,+\infty[$ , de $0$ à $+\infty$ .

5. $f(e)=e$ et $f'(e)=\dfrac{3}{2}$ : la tangente a pour équation $y=\dfrac32(x-e)+e$ , soit $\boxed{y=\dfrac32x-\dfrac e2}$ .

Relier ce raisonnement au bac

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Exercice 1 — dérivabilité en un point et tangente

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Drill DR-A.2 — demi-tangente verticale

Drill DR-A.x — $f(x)=x\ln x$ prolongée en $0$ : continuité et dérivabilité à droite (2018)

Drill DR-A.4 — fonction prolongée au bord : dérivabilité à droite par changement de variable, demi-tangente horizontale

Drill DR-A.5 — racine qui s'annule au bord : non-dérivabilité à droite et demi-tangente verticale

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