méthode par scénarios · Mathématiques

Les 142 scénarios de l’épreuve de maths

Chaque exercice du bac déroule une trajectoire logique récurrente. Reconnaître le scénario aide à choisir une démarche : idée directrice, exercice modèle corrigé, automatismes et pièges pour chacun.

Mathématiques Sciences physiques Chimie Sciences de la vie et de la terre Informatique Français Anglais Philosophie Arabe Génie mécanique Génie électrique Histoire-Géographie Pensée islamique Économie Gestion Spécialité sportive

chapitres

scénarios

142

Quand plusieurs chapitres se répondent

Section Mathématiques

Deux parcours à lire dans de vrais sujets : repère quelle question fournit l’outil de la suivante.

Une suite définie par une équation, sans récurrence explicite

Commence par la fonction : sur quel intervalle la solution est-elle unique ? Utilise ensuite l’inverse ou les variations pour comparer les termes et étudier leur limite.

2016 principale · exercice 4 — deux branches : deux solutions, deux suites.
2018 contrôle · exercice 3 — une bijection définit la suite ; comparer ensuite sa croissance à celle de l’indice.
2025 contrôle · exercice 2 — fonction réciproque, suite implicite, puis encadrement d’une intégrale.

À comparer : le nombre de branches change ; l’existence et l’unicité doivent être établies sur chaque intervalle avant de parler de la suite.

Des coordonnées entières : faire dialoguer géométrie et arithmétique

Le sujet commence dans les entiers, présente ensuite une parabole, puis relie les deux. Identifie la substitution qui transforme les coordonnées du point en solution de l’équation initiale ; réutilise le tableau des restes pour trancher.

Ouvrir 2025 contrôle · exercice 4 →

Un cas attesté à explorer, sans prétendre qu’il revient chaque année. Pour transférer : quelles contraintes sur les coordonnées permettent de réutiliser les congruences ?

Exercices existants, avec leurs sources et le statut de leurs corrections. Mode BAC utilise la filière de ton profil après connexion.

Suites réelles

10 scénarios

SU-ASuite récurrente

u_{n+1}=f(u_n)

et l'IAF

Le cœur « créatif » du problème. Une suite est définie par

u_{n+1}=f(u_n)

et l'on veut sa limite. Trois temps : (1) montrer qu'un intervalle

I

contenant le point fixe

\alpha

est stable (

f(I)\subset I

) ; (2) majorer…

Signature : « Soit

(u_n)

définie par

u_{n+1}=f(u_n)

» ; « montrer que

|u_{n+1}-\alpha|\leq k|u_n-\alpha|

».

SU-BSuites arithmétiques et géométriques — somme des termes

L'énoncé donne une suite arithmétique ou géométrique (parfois les deux en jeu dans le même problème) et demande une somme de termes consécutifs. On commence par écrire le total demandé sous la forme d'une somme, on identifie

u_0

(ou

u_1

…

Signature : « Le salaire est augmenté chaque année d'un montant fixe » ; « Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de … » ; « Calculer la somme des termes de

u_1

u_n

».

SU-CConvergence, limites et théorèmes de comparaison / gendarmes

L'enjeu est de prouver la convergence d'une suite en la comparant ou en l'encadrant par des suites dont la limite est connue. Deux outils phares : le théorème des gendarmes (

a_n\leq u_n\leq b_n

avec

a_n\to\ell

b_n\to\ell

…

Signature : « Montrer que la suite

(u_n)

est croissante et majorée » ; « En déduire la limite de

(u_n)

» ; « Encadrer

u_n

puis appliquer le théorème des gendarmes ».

SU-DSuite récurrente Un+1 = Un/2 − 1 et suite arithmétique associée

Pour

U_{n+1}=\dfrac12 U_n-1

, on montre

U_n>-2

, la suite est décroissante et minorée, donc convergente, et la limite vérifie

l=\frac12 l-1

. Le changement

V_n=\ln(U_n+2)

produit une suite arithmétique.

Signature : « suite (Un) est décroissante »

SU-ESuite récurrente un+1 = 1/un + un/2 — monotonie et convergence

Pour

u_{n+1}=f(u_n)

avec

f(x)=\dfrac1x+\dfrac x2

u_0=2

, on prouve

u_n\ge\sqrt{2}

(AM-GM ou récurrence), puis que la suite est décroissante et minorée, donc convergente ; la limite vérifie

f(l)=l

l=\sqrt{2}

Signature : « suite (un) est décroissante »

SU-FSuite définie implicitement :

g_n(x)=0

admet une unique solution

\alpha_n

; encadrement, monotonie par comparaison d'images, limite, équivalent

Quand une équation dépend d'un entier

n

et admet, grâce à une bijection, une unique solution

\alpha_n

, on étudie la suite

(\alpha_n)

sans jamais la calculer : on l'encadre par le signe de

g_n

en deux points, on compare…

Signature : « Montrer que l'équation

f_n(x)=0

admet une unique solution

\alpha_n

» ; « on définit ainsi une suite

(\alpha_n)

» ; « montrer que

f_{n+1}(\alpha_n)=\dots

; en déduire que la suite

(\alpha_n)

est croissante » ; « en déduire que

(\alpha_n)

est convergente et déterminer sa limite »

SU-GSuite définie par une somme d'intégrales : relation de Chasles, encadrement terme à terme, comparaison avec

\ln n

Au bac, une somme

\sum_{k=1}^{n}

se traite rarement par une formule : on l'écrit comme une intégrale (relation de Chasles sur des intégrales

A_k=\int_k^{k+1}

) ou on l'encadre terme à terme par des intégrales grâce à la…

Signature : « Pour tout

n\ge1

, on pose

S_n=\sum_{k=1}^{n}\dots

» ; « montrer que pour tout

k

\dots\le\int_k^{k+1}\dots\le\dots

» ; « en déduire un encadrement de

S_n

» ; « déterminer

\lim\frac{S_n}{\ln n}

SU-HSuite arithmético-géométrique

U_{n+1}=aU_n+b

: ni arithmétique ni géométrique, suite auxiliaire

V_n=U_n-\ell

géométrique, forme explicite et limite

Une suite définie par

U_{n+1}=aU_n+b

(avec

a\neq1

b\neq0

) n'est ni arithmétique ni géométrique : on le prouve avec trois termes (deux différences, puis deux quotients). L'énoncé donne la suite auxiliaire, le plus souvent…

Signature : « Calculer

U_1-U_0

U_2-U_1

. En déduire que la suite

(U_n)

n'est pas arithmétique » ; « justifier que la suite

(U_n)

n'est ni arithmétique ni géométrique » ; « soit

(V_n)

la suite définie par

V_n=U_n-\ell

» ; « montrer que

(V_n)

est une suite géométrique de raison

q

et de premier terme

V_0

que l'on calculera » ; « en déduire que

U_n=\ell+V_0\,q^n

SU-IModéliser une situation par une suite arithmético-géométrique (abonnement, clients, spectateurs, contrat) : récurrence justifiée par le texte, plancher ou plafond, rang converti en année

Le texte décrit une quantité qui, d'une étape à la suivante, garde un pourcentage de sa valeur et reçoit un apport fixe (ou en perd un) : c'est une suite arithmético-géométrique

u_{n+1}=a\,u_n+b

, et la première tâche est de…

Signature : « Justifier que pour tout entier

n

a_{n+1}=0{,}9\,a_n+20

» ; « expliquer pourquoi le joueur ne pourra jamais recevoir une somme supérieure ou égale à… » ; « déterminer l'année à partir de laquelle le montant… sera inférieur à… » ; « dans combien d'années le nombre d'abonnés dépassera-t-il… ? » ; « quel est le rang du mois où le nombre de clients dépassera… ? »

SU-JExercice de suites Techniques/Informatique : identité fournie, récurrence, monotonie, limite, suite auxiliaire géométrique, seuil, somme

S_n

et limites de

S_n/n

S_n-n

L'exercice autonome de suites des sections Techniques et Informatique suit le plus souvent le même fil : l'énoncé fournit une identité (

u_{n+1}^2-u_n^2=\dots

u_{n+1}-1=(\sqrt{u_n}-1)^2

…) qui sert trois fois — dans l'hérédité de la…

Signature : « Montrer que pour tout

n\in\N

u_{n+1}^2-u_n^2=\dots

» ; « Montrer que

(v_n)

est une suite géométrique de raison … » ; « À partir de quelle valeur de

n

a-t-on … ? » ; « Montrer que

S_n>n+1

. En déduire la limite de

(S_n)

» ; « calculer

\lim S_n/n

» ; « Déterminer alors

\lim(S_n-n)

» ; « Vérifier que

f(u_k)=u_k-u_{k+1}

Limites et continuité

5 scénarios

LC-BCalcul de limites et formes indéterminées

L'exercice présente des limites avec formes indéterminées (

\infty-\infty

0\times\infty

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

). La stratégie est de lever la FI par l'une des techniques canoniques…

Signature : « Calculer

\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{\cdots}-x)

» ; « Lever la forme indéterminée » ; « Calculer les limites suivantes en précisant les formes indéterminées ».

LC-ALimites, asymptotes et variations — fonction

1/\ln x

Forme attestée en 2022 session principale, exercice 4 (mode `fonction_1_sur…

Signature : « Soit

f

définie sur

]1,+\infty[

par

f(x)=1/\ln x

LC-CAsymptotes, continuité et variations —

f(x)=\mathrm{e}^{x}/x

Forme attestée en 2016 session principale, exercice 4 (modes asymptotes_variations_reciproque / limites_et_famille_de_courbes) : limites aux bornes, lecture d'asymptotes, tableau de variation, puis restrictions bijectives.

Signature : « Calculer

\lim f(x)

. Interpréter graphiquement »

LC-DAsymptote verticale et asymptote oblique

On lit une asymptote verticale quand

\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty

, et une asymptote oblique

y=ax+b

au voisinage de

+\infty

quand

\lim(f(x)-(ax+b))=0

Signature : « asymptote verticale »

LC-EAsymptotes horizontale et verticale — lecture de limites

Une limite finie en

\pm\infty

donne une asymptote horizontale

y=\ell

; une limite infinie en

x=a

donne une asymptote verticale

x=a

Signature : « droite y = 2 est une asymptote »

Dérivabilité

7 scénarios

DR-ADérivabilité en un point, nombre dérivé et tangente

Le scénario type consiste à étudier la dérivabilité de

f

en un point

a

en calculant les taux d'accroissement à gauche et à droite :

\tau_g = \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

\tau_d = \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

. Si…

Signature : « Étudier la dérivabilité de

f

x_0 = \ldots

» ; « calculer

\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

» ; « la courbe admet-elle une tangente en ce point ? »

DR-DÉtude des variations, extrema et optimisation

Cet exercice demande un tableau de variations complet : signe de

f'

, sens de variation, valeurs aux bornes et aux extrema locaux.

Signature : « Dresser le tableau de variations de

f

» ; « déterminer les extrema de

f

sur

[a,b]

» ; « quelle valeur de

x

maximise le volume ? » ; « exprimer

V(x)

en fonction de

x

puis étudier ses variations »

DR-BDérivée, variations et extrema —

f=g-g^2

avec

g(x)=x\mathrm{e}^{x}

Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 4 (mode fonction_xe_x) : on part de

g(x)=x e^{x}

, on construit

f=g-g^2

, on dérive, on dresse le tableau de variation, on lit les extrema, puis une aire via une intégrale.

Signature : «

f(x)=g(x)-(g(x))^2

avec

g(x)=xe^{x}

DR-CDérivée, réciproque et aire —

f(x)=\sqrt{1-e^{-x}}

Forme attestée en 2019 session principale, exercice 4 (mode continuité_bijection_aire / derivee_variations_reciproque) : une fonction croissante, sa réciproque explicite, dérivabilité de la réciproque, puis aire entre les…

Signature : «

f(x)=\sqrt{1-e^{-x}}

; montrer que

f

admet une réciproque

g

DR-EDérivée de f = ln(e^x − 1) et comparaison à g

Pour

f=\ln\circ u

avec

u(x)=e^x-1

, calculer

f'=u'/u

, relier à

g=e^x/(e^x-1)

, étudier

h=f-g

via

h'

, et l'asymptote oblique

y=x

Signature : « f est dérivable … f' = g »

DR-FLe problème de dérivabilité : asymptote oblique, tangente, position relative, équation

f(x)=k

Ce scénario travaille une étude de fonction complète : limites et asymptotes (dont l'oblique, à trouver par

f(x)-(ax+b)\to0

), dérivée factorisée, tableau, tangente en un point remarquable et position relative de…

Signature : « Calculer

\lim f(x)

et interpréter graphiquement le résultat » ; « montrer que pour tout

x

f'(x)=\dots

» ; « dresser le tableau de variation de

f

» ; « montrer qu'une équation de la tangente

T

… est

y=\dots

» ; « étudier la position relative de

\mathcal C

T

».

DR-GFonction auxiliaire

g

: variations, valeur remarquable, signe de

g

, puis

f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}

e^{x}g(x)

Dans les sujets Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, le problème d'analyse s'ouvre très souvent par une partie A consacrée à une fonction auxiliaire

g

, qui ne sert qu'à une chose : donner le signe de $f'$ . On…

Signature : « Étudier le sens de variation de

g

et en déduire que pour tout

x

g(x)>0

» ; « Calculer

g(1)

puis déterminer le signe de

g(x)

» ; « Montrer que pour tout

x>0

f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}

» ; « Vérifier que

f'(x)=g(x)

» ; « Justifier que

g(x)

f'(x)

ont même signe »

Fonctions réciproques

7 scénarios

FR-ABijection et fonction réciproque

Dès qu'une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle réalise une bijection de cet intervalle sur son image. La réciproque

f^{-1}

hérite de la monotonie, sa courbe est la symétrique de

\mathcal{C}_f

par…

Signature : « Montrer que

f

réalise une bijection de

I

sur

J

» ; « calculer

(f^{-1})'(y_0)

» ; « tracer

\mathcal{C}_f

\mathcal{C}_{f^{-1}}

».

FR-BFonction réciproque : existence, expression, courbes symétriques

Une fonction bijective

f:I\to J

admet une réciproque

f^{-1}:J\to I

vérifiant

f^{-1}(f(x))=x

f(f^{-1}(y))=y

. Les graphes de

f

f^{-1}

sont symétriques par rapport à la droite

y=x

. L'expression de

f^{-1}

…

Signature : « Montrer que

f

admet une réciproque

f^{-1}

et déterminer son expression » ; « Les courbes de

f

f^{-1}

sont-elles symétriques ? Par rapport à quelle droite ? » ; « Résoudre

y=f(x)

x

».

FR-CDérivée de la réciproque et application

f

est dérivable et bijective avec

f'(x)\neq0

, sa réciproque

f^{-1}

est dérivable et sa dérivée est donnée par

(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}

, ou encore

(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

. Cette formule permet de…

Signature : « Calculer

(f^{-1})'(y_0)

en utilisant la dérivée de la réciproque » ; « En déduire l'équation de la tangente à la courbe de

f^{-1}

» ; « Sachant que

f(a)=b

, calculer

(f^{-1})'(b)

».

FR-DBijection et fonction réciproque g = f⁻¹

Montrer qu'une fonction

f:I\to J

est une bijection (continue, strictement monotone), introduire la fonction réciproque

g=f^{-1}

, en donner une expression, et étudier

g'

g(x)=x

Signature : « f réalise une bijection »

FR-ELe problème avec fonction réciproque : bijection, expression de

f^{-1}

, équation

g(x)=x

, aire entre les deux courbes

Ce scénario relie la fonction réciproque à l'étude de fonction selon le chemin suivant : on prouve que

f

est continue et strictement monotone (donc bijective de

I

sur

f(I)

), on explicite

g=f^{-1}

en résolvant…

Signature : « Montrer que

f

possède une fonction réciproque

g

définie sur … » ; « montrer que pour tout

x\in\dots

g(x)=\dots

» ; « montrer que l'équation

g(x)=x

admet une solution

\alpha

sur [a ; b] » ; « tracer

\Gamma'

» ; « aire de la région entre

\Gamma

\Gamma'

et les droites … ».

FR-GRéciproque de la fonction tangente restreinte :

(f^{-1})'=\frac{1}{1+x^2}

, identités par dérivation, fonction intégrale, encadrement de

\frac{\pi}{4}

Au bac, la réciproque de la tangente restreinte à

\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[

se note

f^{-1}

(ou

g^{-1}

), jamais par un nom de fonction usuelle : tout se démontre à partir de

\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{1+x^2}

Signature : « Montrer que

f

réalise une bijection de

\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[

sur

\R

; on note

f^{-1}

sa fonction réciproque » ; « montrer que

\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{1+x^2}

» ; « montrer que pour tout

x>0

F(x)=f^{-1}(\dots)

FR-HLe problème de fonction du Sport : courbe fournie en annexe, paramètres de

e^{ax+b}

, bijection, courbe de

f^{-1}

par symétrie,

f^{-1}

explicite, aire

En section Sport, l'exercice de fonction commence souvent par une courbe donnée en annexe, sans formule. On lit d'abord ce que le dessin dit : limites (asymptote, branche parabolique), valeurs

f(a)

, nombre dérivé

f'(a)

égal au…

Signature : « Dans l'annexe ci-jointe, on a représenté … la courbe

(C)

d'une fonction

f

» ; « En utilisant le graphique et les données » ; « justifier que

f'(1)=\dots

» ; « On suppose que

f(x)=e^{ax+b}

… justifier que

a+b=0

» ; « Construire la courbe de

f^{-1}

dans le repère de la feuille annexe » ; « Montrer que

f^{-1}(x)=\dots

Fonctions logarithmes

8 scénarios

LN-AÉtude complète d'une fonction (ln, exp, composée)

C'est l'Acte I, le socle : tout le reste du problème s'appuie sur le tableau de variations obtenu ici. On procède toujours dans le même ordre, sans en sauter une étape, car chaque étape sert de brique à une question ultérieure (le signe de…

Signature : « Dresser le tableau de variations » ; « étudier les branches infinies » ; « en déduire que

f(x)\geq\ldots

».

LN-BPropriétés du ln, équations et inéquations logarithmiques

L'exercice mobilise les propriétés algébriques de

\ln

\ln(ab)=\ln a+\ln b

\ln(a/b)=\ln a-\ln b

\ln(a^\alpha)=\alpha\ln a

, ainsi que la stricte croissance de

\ln

sur

]0;+\infty[

. Résoudre une équation revient à isoler le…

Signature : « Résoudre dans

\R

\ln(\cdots)+\ln(\cdots)=\ln(\cdots)

» ; « En posant

t=\ln x

, résoudre l'inéquation » ; « Résoudre l'équation

e^{2x}-\cdots e^x+\cdots=0

».

LN-CÉtude d'une fonction avec ln : variations, limites, tracé

L'exercice demande l'étude complète d'une fonction de la forme

f(x)=P(x)\ln(Q(x))

f(x)=(ax+b)\ln(cx+d)

. Le protocole est : domaine de définition (positiver l'argument du

\ln

), limites aux bornes du domaine (croissances comparées…

Signature : « Étudier les variations de

f(x)=(\cdots)\ln x

» ; « Montrer que

f(x)\geq0

pour tout

x>0

» ; « Dresser le tableau de variations et préciser le minimum ».

LN-DLimites et croissances comparées,

\lim x\ln x

, primitives avec

\ln

Les croissances comparées expriment que

\ln

croît plus lentement que toute puissance :

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0

pour

\alpha>0

, et

\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0

pour

\alpha>0

(le terme polynomial « écrase »…

Signature : « En utilisant les croissances comparées, calculer

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^n}{x^\alpha}

» ; « Calculer

\int_1^e x\ln x\,dx

par intégration par parties » ; « Montrer que

\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0

».

LN-EÉtude de

f(x) = x + (1 - 2x) ln x

Étudier

f(x)=x+(1-2x)\ln x

sur

]0,+\infty[

: limites, signe de

f'

, variations, puis primitive candidate

F

telle que

F'=f

Signature : «

f(x) = x + (1 - 2x) ln x »

LN-FÉtude de

f(x)=\ln(ax+b)

en section Sport : asymptote verticale, tangente, points de l'annexe, tracé, primitive donnée et aire

L'exercice de fonction du Sport (l'exercice 3 sur 7 points en 2023, 2025 et 2026) étudie une seule fonction

f(x)=\ln(ax+b)

et va jusqu'à une aire. Tout se lit sur

u(x)=ax+b

: le domaine est

u(x)>0

, la borne où

u(x)\to0^+

donne…

Signature : « Soit

f

la fonction définie sur

]2,+\infty[

par

f(x)=\ln(x-2)

» ; « donner une équation de l'asymptote verticale » ; « recopier et compléter le tableau de variation » ; « montrer qu'une équation de la tangente

T

… est

y=\ldots

» ; « montrer que les points

A

B

appartiennent à la courbe » ; « tracer la courbe dans le repère de l'annexe » ; « montrer que

F

est une primitive de

f

» ; « hachurer la partie … calculer l'aire »

LN-GVrai ou faux de synthèse du Sport :

\ln

, exponentielle, intégrale et variable aléatoire, sans justification

En 2022, 2025 et 2026, le premier exercice du Sport est un vrai ou faux de quatre à sept propositions sans justification : chacune teste une propriété du cours (

\ln(ab)=\ln a+\ln b

, dérivée de

e^{u}

, domaine de

\ln u

, limite…

Signature : « Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes » ; « Aucune justification n'est demandée » ; « Pour chacune des propositions suivantes, copier le numéro et répondre par vrai ou faux » ; « Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est correcte »

LN-HProblème logarithme des sections Sciences exp., Informatique, Techniques : fonction auxiliaire, direction asymptotique,

\alpha

, aire par parties et suite d'intégrales

Le long problème de fin d'épreuve des sections Sciences expérimentales, Informatique et Techniques suit une charpente fixe : une fonction auxiliaire

g

étudiée en partie A livre une inégalité (

\ln x\le x-1

\ln x\le\frac xe

…

Signature : « Étudier le sens de variation de

g

… en déduire que pour tout

x>0

\ln x\le

… » ; « Montrer que la droite

\Delta

d'équation

y=x

est une direction asymptotique à la courbe

(C_f)

au voisinage de

+\infty

» ; « Montrer que

(C_f)

admet une direction asymptotique qui est celle de la droite

\Delta

» ; « Étudier la position relative de la courbe

(C_f)

et de la droite

\Delta

» ; « En utilisant la partie A, montrer que

f

est strictement croissante » ; « Montrer que l'équation

f(x)=0

admet dans

]0,+\infty[

une unique solution

\alpha

» ; « En utilisant une intégration par parties … l'aire de la partie du plan limitée par

(C_f)

, la droite

\Delta

et les droites d'équations

x=1

x=e

» ; « En utilisant la question A.2, montrer que

0\le u_n\le

… »

Fonctions exponentielles et puissances

10 scénarios

EX-AFonction exponentielle : propriétés, équations et inéquations

La fonction

\exp

est la seule fonction dérivable sur

\R

vérifiant

f'=f

f(0)=1

. De là découlent toutes ses propriétés : stricte croissance,

e^{a+b}=e^a e^b

e^a=e^b\Leftrightarrow a=b

e^a>0

partout. Les équations et…

Signature : « Résoudre

e^{2x}-3e^x+2=0

» ; « résoudre dans

\R

l'inéquation

e^{\ldots}\leq e^{\ldots}

» ; « montrer que l'équation

f(x)=0

admet une unique solution »

EX-BFonction

f(x)=(1+x^2)\mathrm{e}^{-x}

: variations, primitive et aire

Forme attestée en Bac SE, session principale 2017, exercice 3 : fonction en exponentielle

f(x)=(1+x^2)e^{-x}

, limites, dérivée, tableau de variation, points d'inflexion, primitive, aire, valeur moyenne.

Signature : «

f(x)=(1+x^2)e^{-x}

EX-CFonction

f(x)=(x+1)^2-x\mathrm{e}^{x}

: variations et aire

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2018, exercice 3 : fonction en exponentielle

f(x)=(x+1)^2-x e^{x}

, branches infinies, dérivée factorisée

(x+1)(2-e^{x})

, tableau de variation, comparaison avec

g(x)=e^{x}

…

Signature : «

f(x)=(x+1)^2-x e^{x}

EX-DÉquations et inéquations avec

\mathrm{e}^{x}

; comparaison

e^{x}

x+1

Scénario d'entraînement ancré sur le corrigé SE contrôle 2018 (vocabulaire exponentiel,

\ln 2

, comparaison

e^{x}

et droite) : résoudre des équations/inéquations en

e^{x}

, et redémontrer

e^{x}\ge x+1

utilisé dans l'épreuve.

Signature : «

e^{2x}-3e^{x}+2=0

EX-ELe problème avec exponentielle : étude de

x\,\e^{-x}

, tangente, encadrement, suite d'intégrales par parties

Quand l'exercice 4 porte une exponentielle, la partie A joue sur les croissances comparées (

x\e^{-x}\to0

), la dérivée d'un produit et une tangente dont on étudie la position ; la partie B définit une suite d'intégrales…

Signature : « Calculer

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)

et interpréter graphiquement » ; « montrer que

f'(x)=(\dots)\e^{-x}

» ; « étudier la position relative de

\mathcal C

T

» ; « à l'aide d'une intégration par parties, montrer que … » ; « en déduire

\lim I_n

».

EX-FLe problème de fonction Économie-Gestion : étude de

f(x)=x\,e^{3-x}

, primitive donnée, bénéfice maximal, bénéfice moyen et seuil de production

Le dernier exercice d'Économie et Gestion est un problème de fonction qui finit en économie. La fonction

f

, souvent de la forme

a\,x\,e^{b-x}

(a-x)e^x-b

, est d'abord étudiée comme en analyse : limite et asymptote, dérivée…

Signature : « Le bénéfice réalisé en milliers de dinars est égal à

f(x)

» ; « combien de pièces … pour réaliser un bénéfice maximal ? Préciser ce bénéfice à un dinar près » ; « déterminer le bénéfice moyen … entre

100

300

pièces » ; « quel est le nombre maximal d'objets produits par jour pour ne pas perdre ? » ; « donner un encadrement du nombre de pièces … pour que le bénéfice dépasse … »

EX-GFonction auxiliaire

g

lue sur sa courbe : signe de

g

f'=-g

, asymptote oblique

y=x-1

, aire entre la courbe et la droite

y=x

Quand l'énoncé fournit d'abord une fonction auxiliaire

g

— par sa courbe, par son tableau ou par sa formule —, tout le reste s'appuie sur le signe de $g$ : on montre que

f'(x)=g(x)

f'(x)=-g(x)

(parfois

\frac{g(x)}{x}

), et le…

Signature : « Par lecture graphique, déterminer

g(\ldots)

; préciser le signe de

g(x)

» ; « montrer que

f'(x)=-g(x)

» ; « recopier et compléter le tableau suivant donnant le signe de

g(x)

» ; « étudier la position relative de

(C)

et de la droite … » ; « montrer que

|f(x)-x|=g(x)

; en déduire l'aire »

EX-HFonction

f(x)=e^{ax+b}

en section Lettres : valeurs, limites, dérivée, tangente, choix de la bonne figure et résolution graphique

L'exercice de fonction des Lettres étudie une seule fonction simple,

f(x)=e^{ax+b}

(ou

\ln(ax+b)

), et se termine sur une figure. On calcule deux valeurs, les deux limites (la limite de

ax+b

suffit), la dérivée

a\,e^{ax+b}

dont…

Signature : « Calculer

f(0)

f(1)

» ; « justifier que

\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty

» ; « montrer qu'une équation de la tangente

T

… est

y=\ldots

» ; « l'une des deux figures suivantes représente la courbe

(C)

f

et sa tangente

T

. Laquelle ? » ; « préciser, parmi ces deux courbes, celle de

f

et celle de

g

» ; « résoudre graphiquement l'inéquation

f(x)>1

EX-IFonction Économie-Gestion donnée d'abord par sa courbe : lecture de

f(a)

f'(a)

, des limites et du tableau, puis expression donnée, primitive, aire et bénéfice

En Économie et Gestion, surtout en session de contrôle, l'exercice de fonction commence souvent sans formule : une courbe est imprimée avec quelques données écrites (un point à tangente horizontale, une asymptote, une branche parabolique).

Signature : « En utilisant les données et le graphique, donner :

f(1)

f'(1)

» ; «

(C)

admet au point

A

une tangente parallèle à l'axe des abscisses » ; « la droite d'équation

y=-1

est une asymptote à

(C)

au voisinage de

+\infty

» ; « le nombre de solutions de l'équation

f(x)=0

» ; « on admet dans la suite que

f(x)=\dots

EX-JLe problème exponentielle des sections Sciences techniques et Informatique : asymptote

y=x

-\infty

x

f'(x)

de signes contraires, courbe sous une tangente parallèle via

g

, aire

A_n

entre la courbe et l'asymptote et sa limite

En Sciences techniques et en Sciences de l'informatique, le dernier exercice est souvent un long problème sur une fonction de la forme

f(x)=x+p(x)\,e^{ax}

, avec

p

affine (dans le relevé 2015–2026 : 14 sessions de Sciences techniques et…

Signature : « Montrer que la droite

D : y=x

est une asymptote à

(C)

au voisinage de

-\infty

» ; « montrer que

x

f'(x)

sont de signes contraires » ; « calculer

g(-1)

, en déduire que

(C)

est au-dessous de

T

» ; « déterminer

A_n

, puis calculer

\lim A_n

Primitivisation et calcul intégral

11 scénarios

IN-BAires planes et calcul intégral

Acte III, la mesure. Une aire entre deux courbes est une intégrale de leur différence ; on la calcule en fonction d'un paramètre

\lambda

puis on passe à la limite. Même chapitre, autre visage : encadrer une intégrale sans la calculer et…

Signature : « Calculer l'aire

A(\lambda)

» ; « déterminer

\lim A(\lambda)

» ; « encadrer une intégrale sans la calculer ».

IN-ASuite d'intégrales, primitive et aire —

f(x)=x\ln x

Forme attestée en 2018 session principale, exercice 3 (mode limites_variations_integrales) : après une étude de

f(x)=x\ln x

, le cœur du barème bascule sur une suite d'intégrales

u_n

, majorations, intégration par parties…

Signature : «

u_n=\int_{1/e}^{1} t^n e^{t}\,dt

IN-CSuite d'intégrales

I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx

— primitive et aire

Forme attestée en Bac Sciences expérimentales, session de contrôle 2019 : suite d'intégrales

I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx

, primitive de

x\mapsto\ln(x+1)

, intégration par parties,

I_2

lue comme aire.

Signature : «

I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx

IN-DPrimitive de

\ln^2 x

\int x\ln x

et calcul d'aire

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2022 : primitive de

\ln^2 x

, intégration par parties pour

\int_1^e x\ln x\,dx

, puis aire de

f(x)=x\ln x-2\ln^2 x

entre

1

e

Signature : « Primitive de

\ln^2 x

IN-EIntégrales

I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx

J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx

Forme tirée d'un devoir de contrôle n°3 Sciences expérimentales (Lycée Tahar Sfar, Mahdia, 2018) : couple d'intégrales

I

J

\cos^4

\sin^4

, intégration par parties, calcul via

I+J

I-J

Signature : «

I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx

J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx

IN-FSuite d'intégrales

I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx

et aire

Forme tirée d'un devoir de contrôle n°2 Sciences expérimentales (Lycée Ibn Elhaythem Matmata, 2024) : suite d'intégrales

I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx

, majoration, limite, puis aire entre deux courbes sur

[0,1]

Signature : «

I_n=\int_0^1 x^n/(1+x)^3\,dx

IN-GLe problème d'analyse en deux parties : étude de f, aire, suite d'intégrales

Ce scénario travaille un problème d'analyse en parties : la partie A étudie une fonction (limites, dérivée, tableau), la partie B en fait la mesure — une aire exprimée par une intégrale, puis une suite d'intégrales…

Signature : « Partie A … Partie B » ; « Dresser le tableau de variation de

f

» ; « on pose

I_n=\displaystyle\int_a^b \dots\,\dd t

pour tout entier

n\geq 1

» ; « montrer que

I_n+I_{n+2}=\dots

» ; « en déduire

\lim I_n

».

IN-HFonction définie par une intégrale à borne variable : dérivée d'une composée, identification

F=H

, aire et limites

Quand l'énoncé définit

F(x)=\displaystyle\int_a^{u(x)}f(t)\,dt

sans que l'on sache calculer une primitive de

f

, on ne calcule pas l'intégrale : on dérive (

F'(x)=u'(x)\,f(u(x))

), on reconnaît la dérivée d'une fonction

H

donnée…

Signature : « Soit

F

la fonction définie sur … par

F(x)=\int_0^{\ln x}f(t)\,dt

. Montrer que

F

est dérivable et calculer

F'(x)

» ; « montrer que pour tout

x>0

F(x)=H(x)

» ; « montrer que

F'(x)=G'(x)

» ; « en déduire la valeur de l'intégrale » ; « montrer que

\mathcal A(\lambda)=F(e^{\lambda})

IN-ISuite d'intégrales

U_n=\int\left(f(x)\right)^n dx

des puissances de la fonction étudiée : majoration tirée de la partie A, minoration par découpage, racine

n

-ième

La dernière partie du problème intègre les puissances de la fonction que l'on vient d'étudier :

U_n=\int_a^b\left(f(x)\right)^n dx

. On ne calcule jamais

U_n

: tout se lit sur la partie A. Si

0\le f\le1

, la suite est positive et…

Signature : « Pour tout

n\ge1

, on pose

U_n=\int_a^b\left(f(x)\right)^n dx

» ; « montrer que

0\le U_n\le\frac{\alpha}{n+1}

» ; « montrer que la suite

(U_n)

est décroissante et en déduire qu'elle est convergente » ; « justifier que

\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}}

puis montrer que

\lim\sqrt[n]{U_n}=1

IN-JLe problème d'analyse à la longueur du bac : étude de

x(\ln x)^2

avec demi-tangente, tangente et aire ; fonctions intégrales égales ; suite d'intégrales par IPP ; série alternée

Le dernier exercice de la section Mathématiques est un seul problème en trois temps : on étudie une fonction jusqu'au tracé et à une aire (partie A), on l'exploite pour identifier deux fonctions définies par des intégrales et obtenir…

Signature : « Montrer que

f

est continue à droite en

0

» ; « calculer

\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}

et interpréter graphiquement » ; « montrer que les fonctions

G_n

H_n

sont dérivables » ; « montrer que

G_n(x)=H_n(x)

pour tout

x>0

» ; « à l'aide d'une intégration par parties, montrer que

U_n=\dots

» ; « en déduire

\lim nU_n

IN-KLe problème d'analyse sur une fonction logarithme : étude de

\ln(1+x^2)

avec tangente d'inflexion, réciproque et annexe, puis la suite

I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}\,dx

, l'aire par parties et une somme alternée

En section Mathématiques, le problème d'analyse (le plus souvent l'exercice 4) est bâti, dans les sessions 2015–2026, sur une fonction logarithme, exponentielle ou racine, jamais sur une simple fraction rationnelle. Ici…

Signature : « Montrer que

\lim\frac{f(x)}{x}=0

et interpréter graphiquement » ; « montrer qu'une équation de la tangente

T

au point

I

est… » ; « étudier la position relative de

(\mathcal C)

T

» ; « montrer que

f

réalise une bijection… et que

f^{-1}(x)=\dots

» ; « dans la figure de l'annexe, on a tracé la tangente

T

… Tracer

(\mathcal C)

(\mathcal C')

» ; « montrer que

I_n+I_{n+2}=\dots

» ; « en déduire

\lim nI_n

Équations différentielles

6 scénarios

ED-AÉquations

y'=ay

y'=ay+b

: résolution et condition initiale

Le fil conducteur : toute équation du premier ordre linéaire à coefficients constants se ramène à

y'=ay

(homogène) ou

y'=ay+b

(avec second membre constant). La solution générale de

y'=ay

est

y=C\,\e^{ax}

, celle de

y'=ay+b

est…

Signature : « Résoudre l'équation différentielle

y'-ky=0

» ; « Déterminer la solution vérifiant

y(0)=y_0

» ; « Étudier le comportement de la solution en

+\infty

».

ED-BOscillateur harmonique : équation

y''+\omega^2 y=0

Le problème s'identifie par la présence de

y''

et d'un terme

+\omega^2 y

sans amortissement. La solution générale est

y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)

, ou de façon équivalente

y(t)=R\cos(\omega t+\varphi)

. Les deux constantes…

Signature : « Montrer que

\theta(t)

vérifie

\theta''+\omega_0^2\theta=0

» ; « Donner la solution générale en fonction de

A

B

» ; « Déterminer la période propre

T_0

».

ED-CModélisation par une équation différentielle : refroidissement, désintégration, charge

Le problème modélise un phénomène physique (refroidissement de Newton, désintégration radioactive, charge/décharge d'un condensateur) par une équation

y'=ay+b

y'=ay

. La démarche est toujours : (1) établir l'équation différentielle à…

Signature : « Montrer que

T(t)

vérifie

T'=-k(T-T_a)

» ; « Exprimer

T(t)

en fonction de

k

» ; « Déterminer la constante de temps

\tau

» ; « À quelle date la température atteint-elle

T^*

? ».

ED-DModélisation par

y'=ay+b

: croissance d'une plante et condition initiale

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2017, exercice 4 : lecture de

f(0)

f'(0)

, équation différentielle

y'=ay+b

, détermination de

a

b

, solution générale, condition initiale, modélisation de la…

Signature : «

y'=ay+b

ED-EÉquation

y'=-\frac14 y+\frac12

: solution générale et applications numériques

Deuxième scénario ancré sur le même corrigé SE contrôle 2017 mais centré sur la résolution explicite de

y'=-\frac14 y+\frac12

, la solution générale, la condition initiale, et les questions d'application

h(3)

h(t)>1{,}98

…

Signature : «

y'=-\frac14 y+\frac12

ED-FDe l'équation différentielle

y'=ay+b

à l'expression de

f

via

f'

Troisième angle du corrigé SE contrôle 2017 : partir de l'équation différentielle

y'=ay+b

et de la condition

f(0)=0

f'(0)=\frac12

, pour exprimer

f

en fonction de

f'

, déterminer

a

, puis écrire explicitement la…

Signature : «

y'=ay+b

Nombres complexes

11 scénarios

C-CLe quotient géomètre

\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}

Tout le chapitre tient dans une formule :

\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}

a pour module

\dfrac{AC}{AB}

et pour argument l'angle

\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}}\big)

. Réel

\Rightarrow

alignement ; imaginaire pur

\Rightarrow

…

Signature : « On pose

Z=\dfrac{z-a}{z-b}

» ; « montrer que

Z

est réel / imaginaire pur » ; « en déduire la nature du triangle ».

C-AÉquation dans

\mathbb{C}

, module, argument et ensembles de points

Forme attestée en 2018 session contrôle, exercice 4 (mode `equation…

Signature : « Résoudre dans

\mathbb{C}

l'équation

(E): z^2-(1+i)z-i=0

C-BÉquation

z^2+z+1/3=0

, forme exponentielle et condition réelle

Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 3 (mode `equation…

Signature : « Résoudre dans

\mathbb{C}

z^2+z+1/3=0

C-DÉquation du second degré dans ℂ — z² − (1+i)z + i = 0

Résoudre une équation du second degré dans

\mathbb{C}

: calculer le discriminant

\Delta

, en extraire une racine carrée complexe, puis appliquer les formules

z=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}

Signature : « z² − (1 + i)z + i = 0 »

C-EChangement de variable Z = z + 1/z pour une équation

Certaines équations en

z

\dfrac1z

se linéarisent par

Z=z+\dfrac1z

(ou

Z=z+\overline{z}

, etc.). On résout d'abord en

Z

dans

\mathbb{C}

, puis on revient à

z

Signature : « On pose Z = z + … »

C-FL'exercice de nombres complexes complet : équation, forme exponentielle, configuration, nature d'un triangle

Ce scénario de complexes enchaîne : une équation du second degré à paramètre dont les racines s'écrivent sous forme exponentielle, des points définis par ces racines, une construction, puis la nature d'un triangle ou d'un…

Signature : « Vérifier que … est une solution de

(E)

» ; « déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … d'affixe … » ; « montrer que

z_M-z_N=\dots\,\e^{\i(\dots)}

» ; « pour quelle valeur de

\theta

le triangle … est-il … ? ».

C-GApplication

M\mapsto M'

non affine (

z'=\frac{z}{z-1}

) : relation clé, points invariants, involution,

AM\cdot AM'=1

, images d'un cercle et d'une droite, construction de

M'

Quand l'énoncé associe à

M(z)

un point

M'(z')

par une formule qui n'est pas de la forme $az+b$ ou $a\bar z+b$ , ce n'est pas une similitude : tout repose sur une relation clé entre

z

z'

(ici

(z-1)(z'-1)=1

). En passant…

Signature : « À tout point

M

d'affixe

z\ne a

on associe le point

M'

d'affixe

z'=\dots

» ; « montrer que

(z-a)(z'-a)=\dots

» ; « montrer que les points

A

M

M'

sont alignés si, et seulement si … est réel » ; « déterminer l'ensemble des points

M'

lorsque

M

décrit … »

C-HL'exercice de complexes paramétré de la principale : racine à vérifier, triangle sur le cercle unité, angle moitié, lieu d'un milieu, valeurs du paramètre

L'exercice de complexes de la principale suit presque toujours le même fil : une équation du second degré à paramètre $\theta$ dont on vérifie une racine puis dont on obtient l'autre par le produit (ou la somme) ; les deux racines…

Signature : « Vérifier que … est une solution de

(E_\theta)

; déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … » ; « montrer que

z_M-z_N=2\sin\frac{\theta}{2}\,e^{i(\dots)}

» ; « déterminer l'ensemble des points

I

lorsque

\theta

varie » ; « pour quelle valeur de

\theta

le triangle est-il rectangle ? »

C-IPoints d'affixes données sur un cercle : équation à discriminant fourni, construction justifiée, losange et aire, perpendicularité, orthocentre (Sc. exp., Techniques, Informatique)

Dans les sections Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, l'exercice de nombres complexes suit presque toujours le même fil : une équation du second degré dont le discriminant est fourni sous forme de carré ; ses solutions…

Signature : « Vérifier que le discriminant de

(E)

est égal à

(\dots)^2

» ; « Montrer que

A

appartient au cercle

\Gamma

» ; « Construire les points … » ; « Montrer que le quadrilatère … est un losange (un carré, un parallélogramme) et calculer son aire » ; « En déduire que les droites … sont perpendiculaires » ; « Déduire que

H

est l'orthocentre du triangle … »

C-JPoint inconnu défini géométriquement : poser

z_D=ia

z_H=x+3i

z_D=t\,z_A

, puis traduire un alignement (produit réel) ou une perpendicularité (produit imaginaire pur)

Quand un point est défini par une construction (intersection d'une droite avec un axe, pied d'une perpendiculaire, second point d'intersection avec un cercle), on ne calcule pas son affixe d'un coup : on la pose avec une inconnue…

Signature : « On pose

z_D=ia

où

a

est un réel. Montrer que … » ; « Justifier que l'affixe du point

E

s'écrit

z_E=x-2i

» ; « Pour quelle valeur du réel

x

le point

D

appartient-il à la droite

(BE)

? » ; « Soit

t

le réel tel que

z_D=t\,z_A

» ; « Déterminer alors l'affixe du point

H

C-KValeurs exactes de

\cos\frac{\pi}{12}

\sin\frac{\pi}{12}

(ou

\frac{5\pi}{12}

) : un même nombre complexe écrit sous forme algébrique et sous forme exponentielle

Pour obtenir le cosinus et le sinus d'un angle qui n'est pas remarquable, comme

\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}

, on fabrique un nombre complexe dont on connaît les deux écritures : l'écriture exponentielle, par le produit…

Signature : « Écrire les nombres complexes

1+i\sqrt3

1-i

sous forme exponentielle » ; « En déduire la valeur exacte de

\cos\frac{\pi}{12}

» ; « Donner alors les valeurs exactes de

\cos\frac{5\pi}{12}

\sin\frac{5\pi}{12}

» ; « Justifier que la demi-droite

[OI)

est la bissectrice de l'angle

\widehat{AOB}

» ; « En déduire que

z_E=\sqrt5\,e^{i\theta}

Arithmétique

9 scénarios

R-ADivisibilité par combinaison linéaire

La divisibilité « voyage » par combinaison : si

d

divise deux entiers, il divise toute combinaison

au+bv

. On s'en sert pour éliminer la variable et ramener un diviseur inconnu à diviser une constante, dont on liste alors les…

Signature : « Montrer que

d

divise… » ; « déterminer les entiers

n

tels que

u\mid v

» ; « montrer que

p\mid a \iff p\mid b

».

R-BCongruences et restes des puissances

a^n

Les puissances de

a

modulo

m

sont périodiques : il existe un plus petit

T

tel que

a^T\equiv1\,[m]

. Une fois

T

trouvé, le reste de

a^n

ne dépend que de

n \bmod T

. Tout l'exercice consiste à débusquer cette période, puis à…

Signature : « Déterminer suivant les valeurs de

n

le reste de

a^n

modulo

m

» ; tableau de congruences.

R-DPetit théorème de Fermat

Quand un nombre premier

p

et de grandes puissances apparaissent ensemble, penser Fermat :

a^{p-1}\equiv1\,[p]

p\nmid a

. Il court-circuite la recherche de période et donne directement des restes ou des divisibilités valables…

Signature : Un nombre premier

p

en vedette + grandes puissances ; « en utilisant le théorème de Fermat… ».

R-ESystèmes de numération et

\Z/n\Z

(spécificité tunisienne)

Le programme de la section Math traite l'écriture d'un entier en base

b

et la structure

(\Z/n\Z,+,\cdot)

. L'idée récurrente : une écriture

\overline{a_k\ldots a_1a_0}^{\,b}=\sum a_i b^i

transforme une question de divisibilité en…

Signature : « écrire

N

en base

b

» ; « dans

\Z/n\Z

, résoudre… » ; critère de divisibilité par les chiffres.

R-FPGCD d'une suite d'entiers

Le scénario « créatif » : une suite

(u_n)

d'entiers est donnée, et l'on étudie

\pgcd(u_n,u_{n+1})

\pgcd(u_m,u_n)

. La clé est presque toujours une combinaison linéaire qui fait apparaître une constante, montrant que deux termes…

Signature : Une suite d'entiers

u_n

définie explicitement ; « montrer que

u_n

u_{n+1}

sont premiers entre eux » ; « déterminer

\pgcd(u_m,u_n)

».

R-IL'exercice d'arithmétique complet : divisibilité, Bézout, équation diophantienne, congruence

Ce scénario d'arithmétique relie les raisonnements suivants : une divisibilité transformée en congruence, deux entiers prouvés premiers entre eux, une équation diophantienne résolue par une solution particulière et le…

Signature : « Montrer que si

d

divise … alors …

\equiv

… » ; « en déduire que … sont premiers entre eux » ; « vérifier que le couple … est une solution de

(E)

» ; « résoudre dans

\Z\times\Z

» ; « déterminer les entiers

n

tels que …

\equiv 1

(mod …) ».

R-JL'exercice de Fermat complet : reste de

x^{52}

x^{261}\equiv x

, équation

x^{29}\equiv 2

modulo 53, système de congruences

Quand l'exercice d'arithmétique fait apparaître un nombre premier

p

et de grandes puissances, le fil est le petit théorème de Fermat :

x^{p-1}\equiv1

réduit tout exposant modulo

p-1

; on en tire une congruence «…

Signature : « Soit

x

un entier non nul premier avec

p

… déterminer le reste modulo

p

x^{p-1}

» ; « montrer que

x^{\dots}\equiv x

(mod

p

) » ; « montrer que

2^9

est une solution de

(E)

» ; « en déduire que

x\equiv\dots

(mod

p

) » ; « résoudre dans

\Z

le système ».

R-KCongruences du second degré : table des restes, impossibilité, carré complété modulo

p

, recombinaison modulo

pq

Une équation du second degré modulo un nombre premier

p

se traite comme dans

\R

, à condition de rester dans les congruences : on complète le carré (en multipliant par

4

, ou en utilisant un inverse de

2

modulo

p

), on reconnaît…

Signature : « Recopier et compléter le tableau des restes modulo

p

x^2

» ; « en déduire que l'équation … n'admet pas de solution » ; « vérifier que

(2x+1)^2+3=4(x^2+x+1)

» ; « montrer que

(x-a)^2\equiv x^2-x-b \pmod p

» ; « en déduire les solutions modulo

pq

R-LDiophantienne appliquée et PGCD paramétré : solution particulière, achat concret,

d_n

qui divise une constante, restes de puissances

Dans la section Sciences de l'informatique, l'exercice d'arithmétique suit presque toujours la même pente. Une équation

ax+by=1

dont on donne une solution fournit une solution particulière de

ax+by=c

; le lemme de Gauss donne…

Signature : « Vérifier que

(x_0,y_0)

est une solution de

(E)

et en déduire une solution particulière de

(E')

» ; « Montrer que

(n,p)

vérifie l'équation

(E')

» ; « Déterminer le nombre de … achetés » ; « En déduire que

d_n

divise … » ; « Prouver que

a_n\equiv0

… » ; « Déduire que

d_n=5

d_n=10

Géométrie dans l’espace

7 scénarios

GS-AProduit scalaire dans l'espace, orthogonalité et projeté orthogonal

Le produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé

\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)

est

\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v

. Le problème exploite deux usages : (1) orthogonalité (

\vec{u}\perp\vec{v}

…

Signature : « Calculer

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

» ; « Les droites

(AB)

(CD)

sont-elles orthogonales ? » ; « Déterminer le projeté orthogonal de

C

sur

(AB)

» ; « Calculer

d(C,(AB))

».

GS-BProduit vectoriel et déterminant : aires, volumes, colinéarité et coplanarité

Le produit vectoriel

\vec{u}\wedge\vec{v}

fournit un vecteur normal à

\vec{u}

\vec{v}

, de norme

\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta

— ce qui donne directement l'aire du parallélogramme (et la moitié…

Signature : « Calculer

\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}

» ; « En déduire l'aire du triangle

ABC

» ; « Calculer le volume du tétraèdre

ABCD

» ; « Les points sont-ils coplanaires ? ».

GS-CDroites et plans : représentations paramétriques, équations cartésiennes, intersections et distances

Une droite dans l'espace est décrite par un point et un vecteur directeur : représentation paramétrique

(x;y;z)=(x_0+ta;\,y_0+tb;\,z_0+tc)

. Un plan est décrit par un point et un vecteur normal

\vec{n}=(a;b;c)

: équation…

Signature : « Donner une représentation paramétrique de la droite » ; « Déterminer l'équation cartésienne du plan » ; « Étudier la position relative de

\Delta

\mathcal{P}

» ; « Calculer la distance de

B

au plan ».

GS-DSphères : équation, plan tangent et positions relatives

Une sphère de centre

\Omega(a;b;c)

et de rayon

r

a pour équation

(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2

. Après développement, elle s'écrit

x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0

(identifier le centre et le rayon par complétion du…

Signature : « Déterminer le centre et le rayon de la sphère

\mathcal{S}

» ; « Étudier la position du plan

\mathcal{P}

par rapport à

\mathcal{S}

» ; « Déterminer l'équation du plan tangent à

\mathcal{S}

au point

A

» ; « Calculer le rayon du cercle d'intersection ».

GS-EL'exercice d'espace complet des sections Sc. expérimentales et Techniques : plan par trois points, volume, projeté orthogonal, sphère, cercle de section, diamètre et tangente

En Sciences expérimentales comme en Techniques, l'exercice d'espace est une seule chaîne : le produit vectoriel

\vec w=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}

prouve que

A

B

C

forment un plan, en donne l'équation, l'aire…

Signature : « Calculer les composantes du vecteur

\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}

. En déduire que les points

A

B

C

déterminent un plan » ; « Vérifier que … n'appartient pas au plan

P

. Calculer le volume du tétraèdre » ; « Montrer que

S

P

sont sécants suivant le cercle

\zeta

de centre … et de rayon … » ; « Montrer que

[BC]

est un diamètre du cercle

\zeta

» ; « dans le plan

P

, la droite … est tangente au cercle

\zeta

au point

B

GS-FFamille d'objets à paramètre dans l'espace : sphère

S_\alpha

de centre variable, points et cercle communs, rayon minimal, tangence à un plan parallèle

La fin de l'exercice d'espace fait souvent varier un objet : un point

M_\alpha

parcourt une droite, une sphère

S_\alpha

a son centre sur une droite, un plan

P_a

tourne autour d'une droite fixe.

Signature : « Soit

\Omega

… un point de

\Delta

S_\alpha

est la sphère de centre

\Omega

et passant par

B

» ; « Montrer que, pour tout réel

\alpha

, la sphère

S_\alpha

passe par le point

C

» ; « le plan

P

coupe la sphère

S_\alpha

selon un cercle dont on déterminera le centre et le rayon » ; « Déterminer suivant les valeurs de

\alpha

la position relative » ; « Déterminer le réel

\alpha

pour que la sphère

S_\alpha

soit tangente au plan

Q

GS-GSphère, famille de sphères par un cercle fixe et homothéties de l'espace

Deux sphères de rayons

R

R'

se correspondent toujours par une homothétie : son rapport vaut

\dfrac{R'}{R}

-\dfrac{R'}{R}

, et son centre

I

se lit sur la droite des centres grâce à…

Signature : « Montrer que

S

est une sphère dont on précisera le rayon et les coordonnées du centre » ; « montrer que

S

coupe

P

suivant un cercle dont on précisera le centre et le rayon » ; « déterminer les homothéties de l'espace transformant

S

S'

» ; « soit

S'

l'image de la sphère

S

par l'homothétie

h

» ; « montrer que

(S')

coupe le plan

h(P)

suivant un cercle »

Isométries et similitudes

10 scénarios

S-CAntidéplacements : réflexion et symétrie glissante

Un antidéplacement (isométrie indirecte,

z'=a\bar z+b

avec

|a|=1

) est soit une réflexion (s'il a des points fixes : ils forment son axe), soit une symétrie glissante (s'il n'en a aucun).

Signature : « Montrer que

f

est un antidéplacement » ; « déterminer les points fixes » ; « en déduire la nature de

f

».

S-ESimilitude indirecte et forme réduite

La similitude indirecte (

z'=a\bar z+b

|a|\neq1

) se décompose en forme réduite : composée d'une homothétie et d'une réflexion de même centre, ou d'une similitude directe et d'une réflexion. On extrait le rapport

|a|

, et l'on…

Signature : « Soit

s

d'écriture

z'=a\bar z+b

» avec

|a|\neq1

; « décomposer

s

».

S-ADéplacement défini par les images de deux points

Quand un déplacement est donné par les images de deux points distincts — « il existe un unique déplacement

f

tel que

f(A)=A'

f(B)=B'

» — on décide d'abord s'il s'agit d'une translation…

Signature : « il existe un unique déplacement

f

tel que

f(A)=A'

f(B)=B'

» ; « préciser la nature de

f

» ; « déterminer le centre et l'angle de la rotation »

S-DComposer et conjuguer : nature de la composée

La nature d'une composée d'isométries se lit sur la parité : déplacement

\circ

déplacement

=

déplacement, déplacement

\circ

antidéplacement

=

antidéplacement. Deux rotations d'angles opposés se composent en une translation…

Signature : « former

f^{-1}\circ g

» ; « deux isométries qui coïncident en deux points » ; «

f

r

sont deux rotations d'angles opposés » ; « en déduire que la composée est une translation »

S-GAntidéplacement défini géométriquement : réflexion ou symétrie glissante

Même entrée que pour un déplacement, mais en antidéplacement : «

g

est l'antidéplacement tel que

g(A)=A'

g(B)=B'

». On décide entre réflexion et symétrie glissante par le test des médiatrices…

Signature : «

g

est l'antidéplacement tel que

g(A)=A'

g(B)=B'

» ; « réflexion ou symétrie glissante » ; « l'axe est globalement invariant »

S-BSimilitude directe définie par les images de deux points

Dans ce scénario, la similitude directe est définie par des images de points (

S(B)=M

S(C)=N

), plutôt que par une écriture complexe donnée. On lit le rapport

k=\dfrac{MN}{BC}

et l'angle…

Signature : « Soit

S

la similitude directe telle que

S(B)=M

S(C)=N

» ; « déterminer le rapport et l'angle de

S

» ; « montrer que

S(\Omega)=\Omega

» ; «

f

est la composée d'une homothétie et d'un déplacement ».

S-FImages de droites et de cercles ; propriétés de la figure

Une fois la similitude (ou l'isométrie) identifiée, le bac demande l'image d'une droite, d'un cercle (centre

\mapsto

centre, rayon

\times k

), d'un milieu (« une similitude conserve les milieux »), puis une…

Signature : « Déterminer l'image par

S

de la droite

(AI)

» ; « une similitude conserve les milieux » ; « montrer que

(HI)

est tangente au cercle » ; « construire le point

S(I)

».

S-HL'exercice de géométrie complet : déplacement, rotation, similitude directe et composée

Ce scénario de géométrie part d'une configuration (carré, triangle équilatéral, losange) et fait reconnaître successivement un déplacement (existence, angle, centre), une similitude directe (rapport, angle, centre), puis une…

Signature : « Montrer qu'il existe un unique déplacement

f

qui envoie … sur … » ; « montrer que

f

est une rotation d'angle … ; déterminer son centre » ; « soit

s

la similitude directe qui envoie … » ; « montrer que

s

est de rapport … et d'angle … » ; « en déduire que … est le centre de

s

» ; « déterminer l'ensemble des points

M

tels que … ».

S-ISimilitude indirecte donnée par deux couples de points : rapport, centre par

g\circ g

, axe, forme réduite, images

Une similitude indirecte

g

est entièrement fixée par deux points distincts et leurs images ; son rapport est le quotient des distances. Son centre

\Omega

ne se « voit » pas : on passe par

g\circ g

, qui est…

Signature : « Soit

g

la similitude indirecte telle que

g(B)=A

g(E)=F

» ; « déterminer

g\circ g(B)

; en déduire que

\Omega

… » ; « montrer que

\Omega

appartient à la droite … privée du segment … » ; « déterminer l'axe

\Delta

g

» ; « montrer que

g=h\circ S_\Delta

S-JL'exercice de géométrie complet : antidéplacement, symétrie glissante, composée

h\circ f

, similitude indirecte, centre et axe

Un antidéplacement

f

donné par deux couples de points est d'abord classé (symétrie orthogonale ou symétrie glissante) ; son axe se lit sur les milieux des segments

[M\,f(M)]

et son vecteur sur un point de l'axe.

Signature : « Montrer qu'il existe un unique antidéplacement

f

qui envoie

O

sur

A

C

sur

K

» ; « Montrer que

f

est une symétrie glissante » ; « Vérifier que l'axe de

f

est la droite

(CK)

. Écrire alors la forme réduite de

f

» ; « On pose

g=h\circ f

… Montrer que

g

est une similitude indirecte et déterminer son rapport » ; « Vérifier que

\overrightarrow{\Omega A}=4\,\overrightarrow{\Omega C}

» ; « Construire le point

\Omega

puis l'axe

\Delta

g

Dénombrement et probabilités

11 scénarios

P-AArbre pondéré et formule des probabilités totales

On modélise une expérience à deux étapes (cause puis effet) par un arbre pondéré : les branches de premier niveau portent les probabilités des causes, celles de second niveau les probabilités conditionnelles.

Signature : « Traduire la situation par un arbre pondéré » ; « montrer que

\mathbb{P}(D)=\ldots

» (données en pourcentages).

P-BInversion de conditionnement (formule de Bayes)

La question « renverse la flèche » : on connaît

\pr_A(D)

(effet sachant la cause) et l'on demande

\pr_D(A)

(cause sachant l'effet). On revient à la définition

\pr_D(A)=\frac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}

, le numérateur étant un chemin de…

Signature : « Sachant que…, quelle est la probabilité que… » dans le sens inverse des données.

P-CVariable aléatoire discrète : loi, espérance, variance

On associe à l'expérience un nombre

X

(un gain, un nombre de succès). On dénombre les valeurs possibles, on calcule la probabilité de chacune (la loi), puis l'espérance

\esp(X)=\sum x_i\,\pr(X=x_i)

. Un jeu est « équitable » si…

Signature : « Soit

X

le gain algébrique » ; « déterminer la loi de

X

» ; « le jeu est-il équitable ? ».

P-DLoi binomiale (schéma de Bernoulli répété)

Dès qu'une même épreuve à deux issues (succès/échec) est répétée

n

fois de façon indépendante et identique (tirage avec remise, ou grande population), le nombre de succès

X

suit une loi binomiale

\mathcal{B}(n,p)

. On calcule…

Signature : « On répète

n

fois, de façon indépendante… » ; « au moins un » ; « déterminer le plus petit

n

tel que… ».

P-ELois continues : uniforme et exponentielle

Le temps ou une mesure continue est modélisé par une variable

X

à densité. Pour la loi exponentielle (durée de vie),

\pr(X\leq t)=1-\e^{-\lambda t}

; elle est « sans vieillissement » :

\pr_{X>s}(X>s+t)=\pr(X>t)

. On calcule des…

Signature : « La durée de vie suit une loi exponentielle » ; « sachant que l'appareil fonctionne depuis… ».

P-FProbabilités et suites (le scénario créatif)

Une expérience se répète et l'on suit une probabilité

p_n

à l'étape

n

. Un arbre reliant l'étape

n

à l'étape

n+1

fournit une relation

p_{n+1}=a\,p_n+b

: c'est une suite arithmético-géométrique, dont on trouve le point fixe…

Signature : « On note

p_n

la probabilité de… au

n

-ième jour/tirage » ; « montrer que

p_{n+1}=a\,p_n+b

».

P-GL'exercice de probabilités complet : tirage simultané, variable aléatoire, conditionnement, répétition d'épreuves

L'exercice de probabilités du bac (3 points, 8 sessions sur 22, souvent en contrôle) suit un fil fixe : une urne et un tirage simultané (dénombrement par combinaisons), une variable aléatoire dont on dresse la loi…

Signature : « une urne contient … boules … on tire simultanément … » ; « justifier que

\pr(A)=

… » ; « déterminer la loi de probabilité de

X

» ; « calculer l'espérance et la variance » ; « on répète l'épreuve

n

fois … déterminer le plus petit entier

n

tel que

p_n\geq

… ».

P-HTirage simultané et gain algébrique (section Sport) : dénombrement par combinaisons, événement contraire, loi de

X

à compléter,

E(X)

V(X)

, jeu favorable

En section Sport, l'exercice de probabilités suit presque toujours la même trajectoire : un sac, un tirage simultané de deux (ou trois) objets, donc un univers compté par une combinaison

C_n^k

dont toutes les issues sont…

Signature : « On tire simultanément et au hasard deux jetons du sac » ; « Justifier que le nombre de tous les cas possibles est égal à … » ; « Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain algébrique » ; « Justifier que les valeurs prises par X sont … » ; « Recopier et compléter le tableau suivant » ; « Ce jeu est-il favorable ? »

P-IArbre pondéré puis loi binomiale (section Économie-Gestion) : pourcentages traduits, arbre à compléter, probabilités totales, probabilité inversée, indépendance,

n

clients

En Économie-Gestion, l'exercice de probabilités part d'un texte de pourcentages («

x\,\%

des clients… ; parmi ceux-ci,

y\,\%

… »). Tout commence par une traduction : un pourcentage global est une probabilité

p(A)

, un pourcentage «…

Signature : « Recopier et compléter l'arbre pondéré » ; « Montrer que

p(B) = … »

; « Quelle est la probabilité … sachant que … ? » ; « Les événements A et C sont-ils indépendants ? Justifier. » ; « On admet que le nombre … est suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que X suit une loi binomiale » ; « Calculer la probabilité qu'au moins un des … »

P-JDeux dés tétraédriques (section Lettres) : tableau à double entrée, probabilités par comptage des cases, puis l'expérience aléatoire répétée trois fois

En section Lettres, l'exercice de probabilités repose sur une expérience dont toutes les issues se voient : deux dés (souvent tétraédriques) lancés ensemble donnent

4\times4=16

issues équiprobables, rangées dans un…

Signature : « On dispose de deux dés tétraédriques parfaits » ; « Recopier et compléter le tableau suivant » ; « On répète trois fois l'expérience précédente » ; « … est réalisé exactement une fois » ; « … est réalisé au moins une fois » ; « L'une des trois propositions suivantes est vraie, laquelle ? »

P-KL'exercice de probabilités des sections Sc. expérimentales, Techniques et Informatique : arbre à partir de pourcentages, probabilité totale à vérifier, probabilité inversée, loi binomiale (

E(X)

, « au plus un », plus petit

n

)

Dans les sections Sciences expérimentales, Techniques et Informatique, l'exercice de probabilités part très souvent d'un texte de pourcentages et enchaîne deux temps. D'abord une épreuve : on traduit les pourcentages en

p(T)

et en…

Signature : « Recopier et compléter l'arbre pondéré » ; « Montrer que

p(T)=0{,}3

» ; « Sachant que …, calculer la probabilité que … » ; « Justifier que

X

suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres » ; « Calculer l'espérance mathématique de

X

» ; « Justifier que

P(X=9)=(0{,}9)^9

» ; « la probabilité qu'au plus un … » ; « Déterminer la plus petite valeur de

n

pour que

P_n\geq0{,}9

Coniques

7 scénarios

CO-AParabole comme lieu et équation réduite

Une parabole se reconnaît par une définition focale (PF = PH) ou par une équation

y^2=2px

après un bon choix de repère.

Signature : parabole

CO-BEllipse : définition bifocale et excentricité

L'ellipse est le lieu des points

M

tels que

MF+MF'=2a

constant, avec

2a>FF'

Signature : ellipse

CO-CHyperbole et asymptotes

Pour

\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1

, les asymptotes sont

y=\pm\dfrac{b}{a}x

Signature : hyperbole

CO-DParabole y² = 4x − 4 — foyer, directrice et aire

Réduire

y^2=4x-4

à la forme

Y^2=2pX

pour lire le paramètre

p

, le foyer et la directrice de la parabole, puis calculer une aire sous la courbe.

Signature : « parabole d'équation y2=4x-4 »

CO-EEllipse

9x^2+4y^2=36

et hyperbole

4y^2-x^2=4

: réduction, éléments caractéristiques, foyers communs

Toute conique à centre se lit sur sa forme réduite :

\dfrac{x^2}{\alpha}+\dfrac{y^2}{\beta}=1

est une ellipse (

\alpha,\beta>0

, grand axe du côté du plus grand dénominateur) et

\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1

une…

Signature : « montrer que (E) est une ellipse … préciser les foyers, les sommets, les directrices » ; « montrer que (H) est une hyperbole dont on précisera les foyers, les sommets, les directrices et les asymptotes »

CO-FHyperbole

\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1

: éléments caractéristiques, tracé et aire d'une région limitée par une branche

L'hyperbole du bac se traite en trois temps : (1) lire

a

b

, calculer

c=\sqrt{a^2+b^2}

puis sommets, foyers, excentricité

e=c/a>1

, directrices

x=\pm a^2/c

et asymptotes

y=\pm\dfrac ba x

; (2) tracer en s'appuyant sur le…

Signature : « montrer que (H) est une hyperbole dont on précisera les foyers, les sommets, les directrices et les asymptotes » ; « soit A l'aire de la partie du plan limitée par (H) et la droite d'équation x = … »

CO-GConique à la manière du bac : point paramétré, tangente, longueur minimale et aire par une fonction intégrale

Au bac de la section Mathématiques (sessions 2015 à 2026), les coniques ne sont apparues qu'en session de contrôle (2016, 2018 et 2025), toujours données par leur équation : il a fallu reconnaître la conique et en donner le foyer et la…

Signature : « Vérifier que

M

est un point de l'ellipse

(E)

» ; « Justifier qu'une équation de la tangente

T

(E)

M

est … » ; « La tangente coupe l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées respectivement en

H

K

» ; « En déduire que la distance

HK

est minimale si et seulement si … » ; « Montrer que

\Gamma

est une parabole dont on déterminera le foyer et la directrice » ; « En déduire l'aire de l'intérieur de … »

Statistiques

10 scénarios

ST-ASérie statistique : moyenne, variance, écart-type

La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne :

V=\overline{x^2}-(\bar x)^2

Signature : moyenne

ST-CAjustement affine par moindres carrés

La droite de régression de

y

x

a pour pente

a=\dfrac{cov(x,y)}{V(x)}

et passe par le point moyen.

Signature : régression

ST-BStatistique à deux variables : corrélation, moindres carrés, prévision

Forme attestée en Bac SE, session principale 2015, exercice 3 : statistique à deux variables, coefficient de corrélation, ajustement affine par moindres carrés, estimation.

Signature : « Statistique à deux variables »

ST-DRégression affine : production laitière (corrélation, prévision, seuil)

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2022, exercice 1 : coefficient de corrélation, droite de régression, prévision de production, résolution d'inéquation sur le modèle affine.

Signature : « Forte corrélation linéaire positive »

ST-ESérie statistique double : calculer

\bar t

\bar C

, la covariance, le coefficient de corrélation et la droite des moindres carrés

Quand le sujet donne les données brutes, il attend les calculs dans l'ordre : moyennes, puis écarts à la moyenne, puis

\mathrm{cov}(t,C)=\frac1n\sum(t_i-\bar t)(C_i-\bar C)

, variances, coefficient de corrélation…

Signature : « calculer le coefficient de corrélation linéaire » ; « un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est-il justifié » ; « déterminer une équation de la droite de régression de C en t » ; « estimer … pour t = … »

ST-FSérie chronologique de ventes : retrouver une valeur manquante par la moyenne, nuage de points et passage au logarithme

Une série chronologique se traite comme une série double

(X,Y)

où

X

est le rang du temps. Trois gestes reviennent : retrouver une valeur manquante à partir de la moyenne (

\sum Y_i=n\bar Y

), lire la tendance sur le…

Signature : « calculer le nombre de livres vendus en janvier 2014 sachant que la moyenne des ventes … » ; « représenter le nuage de points de la série statistique (X, Y) » ; « on pose Z = ln(Y/10) … ajustement affine »

ST-GRégression sur une série chronologique : nuage sur l'annexe, point moyen,

r

, droite des moindres carrés, rang de l'année et année de dépassement d'un seuil

Un tableau d'indicateurs annuels (exportations, prix, effectifs…) donne

y

en fonction du rang

x

de l'année. La chaîne est toujours la même : placer le nuage dans le repère de l'annexe, justifier l'ajustement affine par l'allure…

Signature : « Représenter le nuage de points de la série statistique

(x_i\,;y_i)

dans l'annexe » ; « Justifier que ce nuage permet d'envisager un ajustement affine » ; « Déterminer les coordonnées du point moyen

G

» ; « Déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de la droite de régression de

y

x

» ; « trouver l'année à partir de laquelle … dépasserait … »

ST-HSecond ajustement : tableau des

z_i=\ln y_i

, droite de

z

x

, modèle

y=ke^{ax}

, puis choix de l'ajustement le plus pertinent face à la valeur réelle

Quand le nuage se courbe (croissance de plus en plus rapide), la droite des moindres carrés sous-estime les années futures.

Signature : « On pose

z_i=\ln(y_i)

; recopier et compléter le tableau » ; « Déterminer une équation de la droite de régression de

z

x

» ; « En déduire que

y=\dots e^{\dots x}

» ; « Lequel des deux ajustements est le plus pertinent ? Justifier votre réponse. » ; « la droite … obtenue par la méthode de Mayer »

ST-IQCM à trois choix des Lettres sur une série statistique double : nuage, rang d'une année, point moyen,

r

, droite de régression, estimation

Depuis 2023, l'épreuve des Lettres s'ouvre souvent sur un QCM à trois réponses sans justification ; en 2023 et en 2026, il porte sur toute la chaîne de la régression.

Signature : « Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte » ; « Aucune justification n'est demandée » ; « Le nuage des points correspondant à la série est : » ; « Le rang de l'année … est : » ; « Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique

(X,Y)

est : » ; « Une estimation de

y

lorsque

x

vaut … est : »

ST-JPression et altitude : droite des moindres carrés et son zéro absurde, puis

Y=\ln P

, modèle

P=\beta e^{aX}

et choix de l'ajustement le plus adapté

Un nuage qui décroît en s'aplatissant trompe la droite des moindres carrés :

r

est proche de

-1

, mais la droite finit par couper l'axe des abscisses et prévoit des valeurs négatives, absurdes pour une grandeur positive.

Signature : « Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression

\Delta

P

X

» ; « déterminer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des abscisses » ; « On pose

Y=\ln P

» ; « Justifier que … peut être modélisé par

P=\beta e^{aX}

» ; « Lequel des deux ajustements proposés s'avère le plus adapté à la situation ? »

Matrices et systèmes linéaires

7 scénarios

MX-ADéterminant, inversibilité et matrice inverse via produit A×B = k I

En Eco-Gestion, l'exercice de matrices ouvre souvent par le déterminant d'une matrice

3\times3

: si

\det(A)\neq0

, la matrice est inversible. Le corrigé calcule ensuite un produit matriciel

A\times B=k I_3

pour en…

Signature : « Calculer le déterminant de A, en déduire que A est inversible »

MX-BÉcriture matricielle d'un système économique et résolution par A^{-1}

Le second temps typique de l'épreuve Eco-Gestion relie une situation (coûts, quantités, paniers) à un système linéaire

3\times3

, puis à son écriture matricielle

A X = C

. La résolution passe par la matrice inverse déjà…

Signature : « Donner l'écriture matricielle du système (S) »

MX-CProduit matriciel quantités × prix et lecture économique

Un autre usage Eco-Gestion du produit matriciel : une matrice

Q

de quantités (usines × matières) multipliée par une matrice-colonne

P

de prix unitaires donne le vecteur des coûts par usine.

Signature : « Calculer le produit Q×P »

MX-DMatrice A avec A² = 3A — inverse de B = I + A

Pour une matrice

A

vérifiant

A^2=3A

, on construit

B=I+A

et on montre que

B

est inversible en exhibant un produit égal à un multiple de

I

(souvent via

4I-A

Signature : « A² = 3A »

MX-ELe problème de matrices Économie-Gestion : déterminant,

A^{-1}

tirée de

A\times B-A=kI_3

, système

(S)

, puis situation chiffrée à ramener à

(S)

L'exercice de matrices d'Économie et Gestion est une chaîne en trois temps où chaque partie sert la suivante. D'abord la matrice

A

: un déterminant non nul, puis un produit

A\times B

qui fait apparaître une relation du type…

Signature : « Calculer

A\times B

puis vérifier que

A\times B-A=kI_3

» ; « En déduire que la matrice inverse de

A

est … » ; « Donner l'écriture matricielle du système

(S)

» ; « Montrer que la situation se traduit par le système

(S)

» ; « Combien de … de chaque type ? Justifier votre réponse »

MX-FSystème

3\times3

pour identifier des coefficients : coût de production

C(x)=ax^3+bx^2+cx+60

connu en trois points, puis coût et prix de vente

Depuis 2023, l'exercice de matrices d'Économie et Gestion change parfois de décor : les inconnues du système ne sont plus des quantités achetées mais les coefficients d'une expression — une fonction coût

C(x)=ax^3+bx^2+cx+d

connue en…

Signature : « Montrer que

B

est la matrice inverse de

A

» ; « Montrer que le triplet

(a,b,c)

est une solution du système

(S)

» ; « Justifier que

C(x)=\dots

» ; « Montrer que

a

b

c

vérifient le système

(S)

» ; « Montrer que

x

y

z

vérifient le système

(S)

MX-GLe problème de matrices Informatique : déterminant,

A^{-1}

tirée de

A^2+aA=bI_3

, système

(S)

, puis coefficients d'un polynôme complexe, d'une suite ou d'une fonction

L'exercice de matrices de la section Informatique est une chaîne dont chaque étape sert la suivante : le déterminant prouve que

A

est inversible, une relation matricielle donnée (un produit

A\times B=kI_3

, ou une relation

A^2+aA=bI_3

…

Signature : « Calculer le déterminant de

A

et en déduire que

A

est inversible » ; « Calculer

A^2

et en déduire que

A^2+4A=5I_3

» ; « Montrer que

A\times B=kI_3

, et en déduire

A^{-1}

» ; « En utilisant l'écriture matricielle du système

(S)

, résoudre

(S)

» ; « Montrer que le triplet

(a,b,c)

est la solution du système

(S)

» ; « sont équivalentes au système » ; « Montrer que la situation se traduit par le système

(S)

Théorie des graphes

6 scénarios

GR-AConnexité, degrés, chaîne et cycle eulériens

Le graphe non orienté de l'épreuve Eco-Gestion se lit d'abord par ses sommets et arêtes : ordre, degrés, connexité, puis critère d'eulérien (chaîne eulérienne

\Leftrightarrow

connexe et exactement

0

2

…

Signature : « Justifier que le graphe G est connexe »

GR-BSous-graphe complet et nombre chromatique

Le nombre chromatique

\gamma(G)

est borné par l'ordre du plus grand sous-graphe complet et par

1+\Delta

(

\Delta

= degré maximal). Une coloration explicite (souvent type Welsh-Powell) fixe ensuite la valeur exacte.

Signature : « nombre chromatique du graphe »

GR-CMatrice d'adjacence, chemins de longueur n et plus court chemin (Dijkstra)

Deux lectures complémentaires du graphe Eco-Gestion : (1) la matrice associée (d'adjacence) dont les puissances comptent les chaînes de longueur

n

; (2) l'algorithme de Dijkstra pour le plus court chemin dans un…

Signature : « matrice M associée à ce graphe »

GR-DDegrés, sous-graphe complet, eulérien et chemins via M^n

Lire un graphe : degrés des sommets, sous-graphe complet (clique), chaîne eulérienne (0 ou 2 sommets de degré impair), et nombre de chemins de longueur

n

via

M^n

Signature : « sous graphe complet d'ordre 3 »

GR-EGraphe orienté : tableau

d^+/d^-

, chaîne orientée eulérienne, arc à ajouter, matrice non symétrique et chaînes orientées de longueur

k

Dans un graphe orienté, chaque arc a un sens : on ne parle plus du degré d'un sommet mais de son degré sortant

d^+

et de son degré entrant

d^-

. Le critère d'Euler se lit sur la différence

d^+-d^-

: nulle en chaque sommet, le…

Signature : « Recopier et compléter le tableau suivant où

d^+

d^-

représentent le nombre d'arcs sortants et entrants » ; « justifier que le graphe

(G)

n'admet pas de cycle orienté eulérien » ; « montrer que

(G)

admet une chaîne orientée eulérienne puis donner un exemple » ; « quel arc doit-on ajouter au graphe

(G)

pour en avoir un graphe orienté eulérien de même ordre ? » ; « combien y a-t-il de chaînes orientées de longueur

7

allant de

E

C

? Citer ces chaînes »

GR-FGraphe probabiliste à deux états : graphe à compléter, matrice de transition,

P_n=P_0M^n

, état stable, première année au-delà d'un seuil

Un graphe probabiliste à deux états décrit une évolution d'une étape à la suivante : chaque sommet est un état, chaque arc — boucles comprises — porte la probabilité de passer d'un état à l'autre, et les poids des arcs issus d'un même…

Signature : « Recopier et compléter le graphe probabiliste

(G)

traduisant la situation » ; « déterminer la matrice de transition

M

associée à

(G)

» ; « on admet que

M^n=\dots

; déterminer l'état probabiliste … » ; « montrer que la matrice

P=\dots

traduit l'état stable de la situation » ; « déterminer le rang de la semaine où, pour la première fois, … »

Scénarios et épreuves du bac

Les liens confirmés et les repères à vérifier sont distingués ci-dessous.

Bac 2020 — session principalerepère confirmé

Exercice 1 (géométrie)S-G S-A

L'antidéplacement est défini par les images de deux points : le test des médiatrices tranche entre réflexion et symétrie glissante, la rotation apparaît comme composée.

Exercice 2 (complexes)C-C

Le quotient (z_C−z_A)/(z_B−z_A) encode à lui seul distances relatives et angle.

Exercice 3 (arithmétique)R-B R-A

La périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.

Exercice 4 (problème d'analyse)

L'Acte I fabrique l'outil, les Actes II–III l'exploitent.

Bac 2023 — session principale (couverture partielle)repère confirmé

Exercice 1 (complexes et géométrie)C-C

Racine remarquable → factorisation → configuration de points.

Exercice 2 (isométries et similitudes)S-A S-B

Unique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.

Exercice 3 (arithmétique)R-Bà vérifier

Congruences / équation dans Z — scénario exact à confirmer sur le scan.

Exercice 4 partie B (intégrales et sommes)

Suites d'intégrales et sommes de Riemann.

Bac 2024 — session principale (partiel)repère confirmé

Exercice 1 (complexes et géométrie)

Équation puis lecture géométrique des solutions.

Exercice 2 (isométries et similitudes)S-D S-B S-F

Commutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.

Exercice 4 (arithmétique)R-Bà vérifier

Congruences ou diophantienne — à confirmer sur le scan.

Sujet type 2025 (format officiel)repère confirmé

Exercice complexes

La racine fournie ouvre l'équation ; la forme exponentielle paramètre le lieu (z−1=√2·e^{iθ}).

Exercice arithmétiqueR-A R-D

Montrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.

Problème d'analyse

L'archétype des trois actes : étudier, utiliser, mesurer.

Bac 2026 — session principale (probable · pas de PDF local 2026)repère à vérifier

Géométrie et similitudesà vérifier

Configuration transformée par similitude(s) : identification et exploitation.

Équation du second degré et complexesà vérifier

Résolution dans C puis lecture géométrique.

Géométrie et complexesC-Cà vérifier

Configurations via affixes (quotients, lieux).

Suites et arithmétiqueR-Fà vérifier

Le pont suites–arithmétique : suite d'entiers et équation diophantienne.

Étude de fonction, intégrales, suitesà vérifier

Problème d'analyse en trois actes.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Les 142 scénarios de l’épreuve de maths

Quand plusieurs chapitres se répondent

Suites réelles

Limites et continuité

Dérivabilité

Fonctions réciproques

Fonctions logarithmes

Fonctions exponentielles et puissances

Primitivisation et calcul intégral

Équations différentielles

Nombres complexes

Arithmétique

Géométrie dans l’espace

Isométries et similitudes

Dénombrement et probabilités

Coniques

Statistiques

Matrices et systèmes linéaires

Théorie des graphes

Scénarios et épreuves du bac