Convergence, limites et théorèmes de comparaison / gendarmes

1. On sait que $-1\le\cos n\le1$, d'où $\dfrac{n-1}{n+1}\le u_n\le1$.

2. D'après cet encadrement, les bornes tendent vers $1$. On en déduit que, par le théorème des gendarmes, $u_n\to1$. Conclusion : $\lim u_n=1$.

1. Montrons que pour tout $n$, $1\le u_n\le2$, par récurrence. Initialisation : $u_0=1\in[1,2]$. Supposons que $1\le u_n\le2$ et montrons que $1\le u_{n+1}\le2$ : $3\le2+u_n\le4\Rightarrow\sqrt3\le u_{n+1}\le2$, et $\sqrt3\ge1$, d'où $1\le u_{n+1}\le2$.

2. $u_{n+1}^2-u_n^2=2+u_n-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge0$ sur $[1,2]$ (termes positifs), d'où $u_{n+1}\ge u_n$ : $(u_n)$ est croissante.

3. Croissante et majorée par $2$, $(u_n)$ converge vers $\ell=\sqrt{2+\ell}$ avec $\ell\in[1,2]$ : $\ell^2-\ell-2=0$. Conclusion : $\ell=2$.

1. $u_1=\dfrac{3+6}4=\dfrac94$ et $v_1=\dfrac{1+12}3=\dfrac{13}3$.

2.a Idée : calculer $v_{n+1}-u_{n+1}$ au dénominateur commun $12$.

$(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac5{12}$ et de premier terme $w_0=6-1=5$ : $\boxed{w_n=5\left(\dfrac5{12}\right)^n}$.

2.b $w_n>0$ pour tout $n$, donc $u_n<v_n$, et en particulier $u_n\le v_n$.

3. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_n-u_n}{4}=\dfrac{w_n}4>0$ : $(u_n)$ est croissante. $v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n-v_n}{3}=-\dfrac{w_n}3<0$ : $(v_n)$ est décroissante.

4. Idée : les trois conditions — une suite croissante, l'autre décroissante, écart qui tend vers $0$. $(u_n)$ croît, $(v_n)$ décroît et $v_n-u_n=5\left(\frac5{12}\right)^n\to0$ car $0<\frac5{12}<1$ : les suites sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même limite $\ell$, avec $u_n\le\ell\le v_n$ pour tout $n$.

5.a Idée : l'invariant se vérifie en remplaçant $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ par leurs expressions.

Donc $t_{n+1}=t_n$ : $(t_n)$ est constante, égale à $t_0=4+18=22$.

5.b En passant à la limite dans $4u_n+3v_n=22$ : $4\ell+3\ell=22$, d'où $\boxed{\ell=\dfrac{22}7}$. Contrôle : $u_2=\frac{133}{48}\approx2{,}77\le\frac{22}7\approx3{,}14\le v_2=\frac{131}{36}\approx3{,}64$.

6. Idée : deux équations suffisent, $v_n-u_n=w_n$ et $4u_n+3v_n=22$. En remplaçant $v_n=u_n+w_n$ : $7u_n+3w_n=22$, donc

Pour $n=0$ on retrouve bien $u_0=1$ et $v_0=6$.

1. $u_1=2$, $u_2=\dfrac52$, $u_3=\dfrac83$ ; $v_1=2+1=3$, $v_2=\dfrac52+\dfrac13=\dfrac{17}6$, $v_3=\dfrac83+\dfrac1{12}=\dfrac{11}4$.

2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)!}>0$ : $(u_n)$ est strictement croissante.

3.a Idée : tout ramener au dénominateur $(n+2)!$, en utilisant $(n+2)!=(n+2)(n+1)!$.

3.b Pour $n\ge1$, $-\dfrac{n}{(n+2)!}<0$ : $(v_n)$ est strictement décroissante. (Prolongée à $n=0$, la formule donnerait $v_0=v_1=3$ : c'est pourquoi l'énoncé démarre à $n=1$.)

4.a Montrons par récurrence que pour tout $n\in\N$, $(n+1)!\ge2^n$. Initialisation : $1!=1=2^0$. Supposons que $(n+1)!\ge2^n$ et montrons que $(n+2)!\ge2^{n+1}$ : $(n+2)!=(n+2)(n+1)!\ge2\cdot2^n$ car $n+2\ge2$. Conclusion : $(n+1)!\ge2^n$ pour tout $n\in\N$.

4.b $0<v_n-u_n=\dfrac2{(n+1)!}\le\dfrac2{2^n}$ et $\dfrac2{2^n}\to0$ : par les gendarmes, $v_n-u_n\to0$. Comme $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante, les suites sont adjacentes ; elles convergent vers une même limite $\ell$.

5.a Idée : la stricte monotonie donne des inégalités strictes. Pour $n\ge1$, $u_n<u_{n+1}\le\ell$ (car $(u_n)$ croît vers $\ell$) et $\ell\le v_{n+1}<v_n$. D'où $u_n<\ell<v_n$.

5.b $v_n-u_n=\dfrac2{(n+1)!}<3\times10^{-3}\iff(n+1)!>666{,}6\ldots$ ; $6!=720$ convient et $5!=120$ non, donc $n=5$ : $u_5=\dfrac{163}{60}$ et $v_5=\dfrac{979}{360}$, d'écart $\dfrac1{360}\approx2{,}8\times10^{-3}$.

soit $2{,}7166\ldots<\ell<2{,}7194\ldots$ : on admet que cette limite est le nombre $\e\approx2{,}71828$.