SU-BSuites réelles

Suites arithmétiques et géométriques — somme des termes

Idée directrice

L'énoncé donne une suite arithmétique ou géométrique (parfois les deux en jeu dans le même problème) et demande une somme de termes consécutifs. On commence par écrire le total demandé sous la forme d'une somme, on identifie $u_0$ (ou $u_1$ ) et la raison $r$ (ou $q$ ), puis on applique les formules $S=\dfrac{(\text{premier}+\text{dernier})\times\text{nb termes}}{2}$ et $S=u_0\,\dfrac{1-q^n}{1-q}$ . Un piège classique est le décompte du nombre de termes.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Le salaire est augmenté chaque année d'un montant fixe » ; « Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de … » ; « Calculer la somme des termes de $u_1$ à $u_n$ ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Suite arithmétique : $u_n = u_1+(n-1)r$ ; somme de $p$ termes consécutifs $= p\times\dfrac{u_{\text{premier}}+u_{\text{dernier}}}{2}$ .
Suite géométrique ( $q\neq1$ ) : $u_n = u_0 q^n$ ; $\sum_{k=0}^{n-1}u_k = u_0\dfrac{1-q^n}{1-q}$ . Bien identifier le premier indice et le nombre de termes.
Compter les termes : de $u_p$ à $u_q$ il y a $q-p+1$ termes (erreur de $\pm1$ fréquente).
Pour résoudre $q^n > k$ avec $q>1$ : passer au logarithme et garder le sens de l'inégalité ( $\ln q>0$ ).
Avant la formule, écrire le total demandé comme une somme (bornes visibles). Une production, une campagne d'affiches ou un salaire se traitent ensuite exactement comme $u_p+\cdots+u_q$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier le facteur $q$ quand la somme commence en $k=1$ et non $k=0$ (décalage d'indice). Confondre $n$ termes et $n$ -ième terme (le décompte $u_1,\ldots,u_{15}$ donne bien $15$ termes). Diviser par $\ln q$ sans remarquer que $\ln q>0$ : le sens de l'inégalité ne change pas pour $q>1$ , mais changer le sens si $0<q<1$ .

Sujet principal

Exercice 2 — suites numériques et sommes

6 questionsCorrigé masqué

Partie A — Suite arithmétique (salaire mensuel). Une entreprise verse à un employé un salaire mensuel de $1\,200$ dinars pendant la première année. Chaque année, ce salaire mensuel augmente d'un montant fixe de $80$ dinars. On note $u_n$ le salaire mensuel perçu pendant l'année $n$ ( $n\geq 1$ ).

Exprimer le salaire mensuel $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme totale $S$ reçue par l'employé sur les $15$ premières années complètes (soit $12$ mois par année). On justifiera $S = 12\displaystyle\sum_{n=1}^{15} u_n$ .
À partir de quelle année le salaire mensuel $u_n$ dépasse-t-il $2\,000$ dinars ?

Partie B — Suite géométrique. Un capital initial de $5\,000$ dinars est placé à intérêts composés au taux annuel de $4\%$ .

Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années en fonction de $n$ .
Calculer la somme $T=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}5000(1{,}04)^k$ (capitaux en fin d'année de l'année $1$ à l'année $10$ ). On donnera une expression exacte puis une valeur approchée à l'unité sans arrondir prématurément $(1{,}04)^{10}$ .
Au bout de combien d'années ce capital dépasse-t-il $7\,000$ dinars ? (On donne $\ln(1{,}04)\approx0{,}0392$ .)

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1 Idée : augmentation constante $\Rightarrow$ suite arithmétique. $u_1=1200$ , $r=80$ : $u_n=1200+80(n-1)=80n+1120$ (dinars par mois).

A.2 L'année $n$ rapporte $12u_n$ , d'où $S=12\displaystyle\sum_{n=1}^{15}u_n$ . Somme arithmétique : $\displaystyle\sum_{n=1}^{15}u_n=15\times\dfrac{u_1+u_{15}}{2}$ avec $u_{15}=2320$ , soit $15\times1760=26\,400$ , et $S=12\times26\,400=\boxed{316\,800\ \text{DT}}$ .

A.3 $80n+1120>2000\iff n>11$ : à partir de la $12^{\text{e}}$ année ( $u_{12}=2080$ ; $u_{11}=2000$ n'est pas strictement supérieur).

B.1 Idée : multiplication par un facteur constant $\Rightarrow$ suite géométrique. $C_n=5000\times1{,}04^n$ .

B.2 $T=5000\displaystyle\sum_{k=1}^{10}1{,}04^k=5000\times1{,}04\times\dfrac{1{,}04^{10}-1}{1{,}04-1}=130\,000\,(1{,}04^{10}-1)$ . Avec $1{,}04^{10}=1{,}48024\ldots$ : $T\approx130\,000\times0{,}48024\approx\boxed{62\,432\ \text{DT}}$ (arrondir $1{,}04^{10}$ à $1{,}48$ donnerait $62\,400$ , faux à l'unité).

B.3 Idée : passer au logarithme, $\ln$ croissante. $5000\times1{,}04^n>7000\iff1{,}04^n>1{,}4\iff n\ln1{,}04>\ln1{,}4\iff n>\dfrac{0{,}3365}{0{,}0392}\approx8{,}6$ : au bout de $9$ années ( $C_9\approx7116$ , $C_8\approx6843$ ).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : Suites arithmético-géométriques (réduction à une suite géométrique par changement $v_n=u_n-\ell$ ) ; problèmes de placement/remboursement avec versements réguliers (annuités).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill SU-B.1 — déplier le sigma

Entraînement 01 / 06

Drill SU-B.1 — déplier le sigma

2 questionsCorrigé masqué

On pose $S=\displaystyle\sum_{k=2}^{11}(5k-1)$ .

Écrire $S$ comme une addition explicite des premier et dernier termes, et donner le nombre de termes.
Reconnaître la nature de la suite $w_k=5k-1$ et calculer $S$ .

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1. On pose $w_k=5k-1$ . Le premier addend est $w_2=9$ et le dernier est $w_{11}=54$ . On a : $S=9+14+\cdots+54$ , soit $11-2+1=10$ termes.

2. On a : $w_{k+1}-w_k=5$ , donc $(w_k)$ est arithmétique de raison $5$ . On obtient $S=10\times\dfrac{9+54}{2}=10\times\dfrac{63}{2}=315$ . Conclusion : $S=315$ .

2 Drill SU-B.2 — production hebdomadaire (bornes décalées)

Entraînement 02 / 06

Drill SU-B.2 — production hebdomadaire (bornes décalées)

2 questionsCorrigé masqué

Un atelier produit $45$ pièces la semaine $4$ . Chaque semaine suivante, il en produit $6$ de plus. On note $u_k$ le nombre de pièces de la semaine $k$ ( $k\ge 4$ ).

Montrer que la suite $(u_k)_{k\ge 4}$ est arithmétique, en préciser le premier terme et la raison, puis exprimer $u_k$ en fonction de $k$ .
Calculer le total $S=\displaystyle\sum_{k=4}^{18}u_k$ des pièces produites de la semaine $4$ à la semaine $18$ incluses.

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1. On pose $u_k$ la production de la semaine $k$ . On a : $u_4=45$ et $u_{k+1}-u_k=6$ , donc $(u_k)_{k\ge 4}$ est arithmétique de raison $6$ . On obtient $u_k=45+6(k-4)$ .

2. On pose $S=\displaystyle\sum_{k=4}^{18}u_k$ . Le nombre de semaines est $18-4+1=15$ . Le dernier terme vaut $u_{18}=45+6\times 14=129$ . On a : $S=15\times\dfrac{45+129}{2}=15\times 87=1305$ . Conclusion : $S=1305$ pièces.

3 Drill SU-B.3 — campagne d'affiches (somme géométrique)

Entraînement 03 / 06

Drill SU-B.3 — campagne d'affiches (somme géométrique)

2 questionsCorrigé masqué

Pour un festival de $7$ jours, un atelier imprime $16$ affiches le jour $0$ , puis chaque jour le double du jour précédent. On note $v_k$ le nombre d'affiches du jour $k$ .

Montrer que la suite $(v_k)$ est géométrique, en préciser le premier terme et la raison, puis exprimer $v_k$ en fonction de $k$ .
Calculer le total $T=\displaystyle\sum_{k=0}^{6}v_k$ des affiches imprimées sur les $7$ jours.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose $v_k$ le tirage du jour $k$ . On a : $v_0=16$ et $v_{k+1}=2v_k$ , donc $(v_k)$ est géométrique de raison $2$ . On obtient $v_k=16\cdot 2^{k}$ .

2. On pose $T=\displaystyle\sum_{k=0}^{6}v_k=\sum_{k=0}^{6}16\cdot 2^{k}$ . On factorise : $T=16\displaystyle\sum_{k=0}^{6}2^{k}$ . On a : $\displaystyle\sum_{k=0}^{6}2^{k}=\dfrac{2^{7}-1}{2-1}=127$ , d'où $T=16\times 127=2032$ . Conclusion : $T=2032$ affiches.

4 Drill SU-B.4 — somme des termes d'une suite arithmétique et équation

S_n=120

Entraînement 04 / 06

Drill SU-B.4 — somme des termes d'une suite arithmétique et équation $S_n=120$

2 questionsCorrigé masqué

Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par $u_n=2n+3$ .

Nature de la suite.
1. Calculer $u_0$ , $u_1$ et $u_2$ .
2. Vérifier que $u_{n+1}=2n+5$ .
3. Montrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $2$ .
Pour tout $n\in\N$ , on pose $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$ .
1. Montrer que $S_n=(n+1)(n+3)$ .
2. Calculer alors $S_{19}$ .
3. Pour quelle valeur de $n$ a-t-on $S_n=120$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $u_0=3$ , $u_1=5$ et $u_2=7$ .

1.b $u_{n+1}=2(n+1)+3=2n+5$ .

1.c $u_{n+1}-u_n=(2n+5)-(2n+3)=2$ pour tout $n$ : la suite est arithmétique de raison $2$ et de premier terme $u_0=3$ .

2.a Idée : une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier et du dernier terme. $S_n$ compte $n+1$ termes, de $u_0=3$ à $u_n=2n+3$ :

S_n=(n+1)\times\dfrac{3+(2n+3)}{2}

=(n+1)(n+3)

2.b $S_{19}=20\times22=\boxed{440}$ .

2.c $(n+1)(n+3)=120\iff n^2+4n-117=0$ . Le discriminant vaut $\Delta=16+468=484=22^2$ ; les racines sont $\dfrac{-4-22}{2}=-13$ et $\dfrac{-4+22}{2}=9$ . Comme $n$ est un entier naturel, $\boxed{n=9}$ ; contrôle : $10\times12=120$ .

5 Drill SU-B.5 — QCM : suites géométriques, sens de variation selon le signe du premier terme, limite et somme

Entraînement 05 / 06

Drill SU-B.5 — QCM : suites géométriques, sens de variation selon le signe du premier terme, limite et somme

6 questionsCorrigé masqué

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée (la correction justifie chaque réponse).

I. On considère la suite géométrique $(U_n)$ de premier terme $U_0=-2$ et de raison $q=3$ .

La suite $(U_n)$ est : a) croissante ; b) décroissante ; c) ni croissante ni décroissante.
La limite de la suite $(U_n)$ est égale à : a) $+\infty$ ; b) $-\infty$ ; c) $0$ .
Le terme $U_4$ est égal à : a) $-162$ ; b) $-54$ ; c) $162$ .
La somme $U_0+U_1+U_2+U_3+U_4+U_5$ vaut : a) $-728$ ; b) $-364$ ; c) $728$ .

II. On considère la suite géométrique $(W_n)$ de premier terme $W_0=-4$ et de raison $\dfrac12$ .

La suite $(W_n)$ est : a) croissante ; b) décroissante ; c) constante.
La limite de la suite $(W_n)$ est égale à : a) $-\infty$ ; b) $0$ ; c) $-8$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

I.1 Réponse b). Idée : $U_{n+1}-U_n=U_n(q-1)$ ; son signe dépend de $q-1$ et du signe des termes. Ici $U_n=-2\times3^n<0$ et $q-1=2>0$ , donc $U_{n+1}-U_n=2U_n<0$ : la suite est décroissante (avec $U_0>0$ , elle aurait été croissante).

I.2 Réponse b). $3>1$ donc $3^n\to+\infty$ , et $U_n=-2\times3^n\to-\infty$ .

I.3 Réponse a). $U_4=U_0\,q^4=-2\times81=-162$ .

I.4 Réponse a). La somme compte $6$ termes : $U_0\times\dfrac{1-q^6}{1-q}=-2\times\dfrac{1-729}{1-3}=-2\times364=-728$ .

II.1 Réponse a). $W_{n+1}-W_n=W_n\left(\tfrac12-1\right)=-\tfrac12W_n$ ; or $W_n=-4\left(\tfrac12\right)^n<0$ , donc la différence est positive : la suite est croissante ( $W_0=-4$ , $W_1=-2$ , $W_2=-1$ ).

II.2 Réponse b). $0<\dfrac12<1$ , donc $\left(\tfrac12\right)^n\to0$ et $W_n\to0$ .

6 Drill SU-B.6 — somme d'une suite auxiliaire géométrique, puis

U_0+U_1+\dots+U_4=2027

Entraînement 06 / 06

Drill SU-B.6 — somme d'une suite auxiliaire géométrique, puis $U_0+U_1+\dots+U_4=2027$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $(U_n)$ la suite définie sur $\N$ par $U_0=359$ et $U_{n+1}=3U_n-714$ pour tout $n\in\N$ .

Premiers termes.
1. Calculer $U_1$ et $U_2$ .
2. Vérifier que $U_1-U_0=4$ et que $U_2-U_1=12$ . La suite $(U_n)$ est-elle arithmétique ?
Soit $(V_n)$ la suite définie sur $\N$ par $V_n=U_n-357$ .
1. Calculer $V_0$ .
2. Montrer que la suite $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ .
3. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ et en déduire que $U_n=2\times3^n+357$ .
Pour tout $n\in\N$ , on pose $S_n=V_0+V_1+\dots+V_n$ .
1. Montrer que $S_n=3^{n+1}-1$ .
2. En déduire que $U_0+U_1+U_2+U_3+U_4=2027$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $U_1=3\times359-714=1077-714=363$ et $U_2=3\times363-714=1089-714=375$ .

1.b $U_1-U_0=363-359=4$ et $U_2-U_1=375-363=12$ : ces différences ne sont pas égales, la suite n'est pas arithmétique.

2.a $V_0=359-357=2$ .

2.b Pour tout $n\in\N$ :

V_{n+1}=U_{n+1}-357=3U_n-1071

=3\left(U_n-357\right)=3V_n

car $3\times357=1071$ : $(V_n)$ est géométrique de raison $3$ .

2.c $V_n=2\times3^n$ , donc $U_n=V_n+357=2\times3^n+357$ .

3.a Idée : somme de $n+1$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $3\neq1$ .

S_n=2\times\dfrac{1-3^{n+1}}{1-3}=3^{n+1}-1

3.b Idée : chaque $U_k$ vaut $V_k+357$ ; cinq termes apportent cinq fois $357$ . $U_0+U_1+U_2+U_3+U_4=S_4+5\times357=\left(3^5-1\right)+1785=242+1785=\boxed{2027}$ .

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Drill SU-B.4 — somme des termes d'une suite arithmétique et équation $S_n=120$

Drill SU-B.5 — QCM : suites géométriques, sens de variation selon le signe du premier terme, limite et somme

Drill SU-B.6 — somme d'une suite auxiliaire géométrique, puis $U_0+U_1+\dots+U_4=2027$

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