SU-BSuites réelles

Suites arithmétiques et géométriques — somme des termes

Idée directrice

L'énoncé donne une suite arithmétique ou géométrique (parfois les deux en jeu dans le même problème) et demande une somme de termes consécutifs. On commence par écrire le total demandé sous la forme d'une somme, on identifie $u_0$ (ou $u_1$ ) et la raison $r$ (ou $q$ ), puis on applique les formules $S=\dfrac{(\text{premier}+\text{dernier})\times\text{nb termes}}{2}$ et $S=u_0\,\dfrac{1-q^n}{1-q}$ . Un piège classique est le décompte du nombre de termes.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Le salaire est augmenté chaque année d'un montant fixe » ; « Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de … » ; « Calculer la somme des termes de $u_1$ à $u_n$ ».

Sujet principal

Exercice 2 — suites numériques et sommes

6 questionsCorrigé masqué

Partie A — Suite arithmétique (salaire mensuel). Une entreprise verse à un employé un salaire mensuel de $1\,200$ dinars pendant la première année. Chaque année, ce salaire mensuel augmente d'un montant fixe de $80$ dinars. On note $u_n$ le salaire mensuel perçu pendant l'année $n$ ( $n\geq 1$ ).

Exprimer le salaire mensuel $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme totale $S$ reçue par l'employé sur les $15$ premières années complètes (soit $12$ mois par année). On justifiera $S = 12\displaystyle\sum_{n=1}^{15} u_n$ .
À partir de quelle année le salaire mensuel $u_n$ dépasse-t-il $2\,000$ dinars ?

Partie B — Suite géométrique. Un capital initial de $5\,000$ dinars est placé à intérêts composés au taux annuel de $4\%$ .

Exprimer le capital $C_n$ après $n$ années en fonction de $n$ .
Calculer la somme $T=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}5000(1{,}04)^k$ (capitaux en fin d'année de l'année $1$ à l'année $10$ ). On donnera une expression exacte puis une valeur approchée à l'unité sans arrondir prématurément $(1{,}04)^{10}$ .
Au bout de combien d'années ce capital dépasse-t-il $7\,000$ dinars ? (On donne $\ln(1{,}04)\approx0{,}0392$ .)

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A.1 Idée : augmentation constante $\Rightarrow$ suite arithmétique. $u_1=1200$ , $r=80$ : $u_n=1200+80(n-1)=80n+1120$ (dinars par mois).

A.2 L'année $n$ rapporte $12u_n$ , d'où $S=12\displaystyle\sum_{n=1}^{15}u_n$ . Somme arithmétique : $\displaystyle\sum_{n=1}^{15}u_n=15\times\dfrac{u_1+u_{15}}{2}$ avec $u_{15}=2320$ , soit $15\times1760=26\,400$ , et $S=12\times26\,400=\boxed{316\,800\ \text{DT}}$ .

A.3 $80n+1120>2000\iff n>11$ : à partir de la $12^{\text{e}}$ année ( $u_{12}=2080$ ; $u_{11}=2000$ n'est pas strictement supérieur).

B.1 Idée : multiplication par un facteur constant $\Rightarrow$ suite géométrique. $C_n=5000\times1{,}04^n$ .

B.2 $T=5000\displaystyle\sum_{k=1}^{10}1{,}04^k=5000\times1{,}04\times\dfrac{1{,}04^{10}-1}{1{,}04-1}=130\,000\,(1{,}04^{10}-1)$ . Avec $1{,}04^{10}=1{,}48024\ldots$ : $T\approx130\,000\times0{,}48024\approx\boxed{62\,432\ \text{DT}}$ (arrondir $1{,}04^{10}$ à $1{,}48$ donnerait $62\,400$ , faux à l'unité).

B.3 Idée : passer au logarithme, $\ln$ croissante. $5000\times1{,}04^n>7000\iff1{,}04^n>1{,}4\iff n\ln1{,}04>\ln1{,}4\iff n>\dfrac{0{,}3365}{0{,}0392}\approx8{,}6$ : au bout de $9$ années ( $C_9\approx7116$ , $C_8\approx6843$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill SU-B.1 — déplier le sigma

2 questionsCorrigé masqué

On pose $S=\displaystyle\sum_{k=2}^{11}(5k-1)$ .

Écrire $S$ comme une addition explicite des premier et dernier termes, et donner le nombre de termes.
Reconnaître la nature de la suite $w_k=5k-1$ et calculer $S$ .

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1. On pose $w_k=5k-1$ . Le premier addend est $w_2=9$ et le dernier est $w_{11}=54$ . On a : $S=9+14+\cdots+54$ , soit $11-2+1=10$ termes.

2. On a : $w_{k+1}-w_k=5$ , donc $(w_k)$ est arithmétique de raison $5$ . On obtient $S=10\times\dfrac{9+54}{2}=10\times\dfrac{63}{2}=315$ . Conclusion : $S=315$ .

Entraînement 02 / 03

Drill SU-B.2 — production hebdomadaire (bornes décalées)

2 questionsCorrigé masqué

Un atelier produit $45$ pièces la semaine $4$ . Chaque semaine suivante, il en produit $6$ de plus. On note $u_k$ le nombre de pièces de la semaine $k$ ( $k\ge 4$ ).

Montrer que la suite $(u_k)_{k\ge 4}$ est arithmétique, en préciser le premier terme et la raison, puis exprimer $u_k$ en fonction de $k$ .
Calculer le total $S=\displaystyle\sum_{k=4}^{18}u_k$ des pièces produites de la semaine $4$ à la semaine $18$ incluses.

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1. On pose $u_k$ la production de la semaine $k$ . On a : $u_4=45$ et $u_{k+1}-u_k=6$ , donc $(u_k)_{k\ge 4}$ est arithmétique de raison $6$ . On obtient $u_k=45+6(k-4)$ .

2. On pose $S=\displaystyle\sum_{k=4}^{18}u_k$ . Le nombre de semaines est $18-4+1=15$ . Le dernier terme vaut $u_{18}=45+6\times 14=129$ . On a : $S=15\times\dfrac{45+129}{2}=15\times 87=1305$ . Conclusion : $S=1305$ pièces.

Entraînement 03 / 03

Drill SU-B.3 — campagne d'affiches (somme géométrique)

2 questionsCorrigé masqué

Pour un festival de $7$ jours, un atelier imprime $16$ affiches le jour $0$ , puis chaque jour le double du jour précédent. On note $v_k$ le nombre d'affiches du jour $k$ .

Montrer que la suite $(v_k)$ est géométrique, en préciser le premier terme et la raison, puis exprimer $v_k$ en fonction de $k$ .
Calculer le total $T=\displaystyle\sum_{k=0}^{6}v_k$ des affiches imprimées sur les $7$ jours.

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1. On pose $v_k$ le tirage du jour $k$ . On a : $v_0=16$ et $v_{k+1}=2v_k$ , donc $(v_k)$ est géométrique de raison $2$ . On obtient $v_k=16\cdot 2^{k}$ .

2. On pose $T=\displaystyle\sum_{k=0}^{6}v_k=\sum_{k=0}^{6}16\cdot 2^{k}$ . On factorise : $T=16\displaystyle\sum_{k=0}^{6}2^{k}$ . On a : $\displaystyle\sum_{k=0}^{6}2^{k}=\dfrac{2^{7}-1}{2-1}=127$ , d'où $T=16\times 127=2032$ . Conclusion : $T=2032$ affiches.

Méthode / Automatismes

Suite arithmétique : $u_n = u_1+(n-1)r$ ; somme de $p$ termes consécutifs $= p\times\dfrac{u_{\text{premier}}+u_{\text{dernier}}}{2}$ .
Suite géométrique ( $q\neq1$ ) : $u_n = u_0 q^n$ ; $\sum_{k=0}^{n-1}u_k = u_0\dfrac{1-q^n}{1-q}$ . Bien identifier le premier indice et le nombre de termes.
Compter les termes : de $u_p$ à $u_q$ il y a $q-p+1$ termes (erreur de $\pm1$ fréquente).
Pour résoudre $q^n > k$ avec $q>1$ : passer au logarithme et garder le sens de l'inégalité ( $\ln q>0$ ).
Avant la formule, écrire le total demandé comme une somme (bornes visibles). Une production, une campagne d'affiches ou un salaire se traitent ensuite exactement comme $u_p+\cdots+u_q$ .

Pièges classiques

Oublier le facteur $q$ quand la somme commence en $k=1$ et non $k=0$ (décalage d'indice). Confondre $n$ termes et $n$ -ième terme (le décompte $u_1,\ldots,u_{15}$ donne bien $15$ termes). Diviser par $\ln q$ sans remarquer que $\ln q>0$ : le sens de l'inégalité ne change pas pour $q>1$ , mais changer le sens si $0<q<1$ .

Variantes rencontrées : Suites arithmético-géométriques (réduction à une suite géométrique par changement $v_n=u_n-\ell$ ) ; problèmes de placement/remboursement avec versements réguliers (annuités).