SU-DSuites réelles

Suite récurrente Un+1 = Un/2 − 1 et suite arithmétique associée

Idée directrice

Pour $U_{n+1}=\dfrac12 U_n-1$ , on montre $U_n>-2$ , la suite est décroissante et minorée, donc convergente, et la limite vérifie $l=\frac12 l-1$ . Le changement $V_n=\ln(U_n+2)$ produit une suite arithmétique.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« suite (Un) est décroissante »

« minorée par (-2) »

« suite arithmétique de raison »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Monotonie + borne ⇒ convergence ; limite = point fixe de $f$ .
Changement $V_n=g(U_n)$ pour linéariser une récurrence affine.
Suite auxiliaire : établir $V_{n+1}=q\,V_n$ (ou $V_{n+1}-V_n=r$ ), écrire $V_n$ en fonction de $n$ , revenir à $U_n$ en inversant la relation entre $U_n$ et $V_n$ , puis passer à la limite sur cette expression explicite.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier de prouver $U_n>-2$ avant le signe de $U_{n+1}-U_n$ ; se tromper de raison de $(V_n)$ .

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0=0$ et $U_{n+1}=\dfrac12 U_n-1$ (esprit bac info 2021 contrôle).

Montrer que pour tout $n$ , $U_n>-2$ .
Montrer que $(U_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge et calculer $\lim U_n$ .
On pose $V_n=\ln(U_n+2)$ . Montrer que $(V_n)$ est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme. En déduire $U_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : récurrence avec la transformation affine. $U_0=0>-2$ ; si $U_n>-2$ , alors $\dfrac12U_n>-1$ et $U_{n+1}=\dfrac12U_n-1>-2$ . Donc $U_n>-2$ pour tout $n$ .

2. $U_{n+1}-U_n=-\dfrac12U_n-1=-\dfrac{U_n+2}{2}<0$ puisque $U_n+2>0$ : $(U_n)$ est décroissante. Décroissante et minorée par $-2$ , elle converge vers $\ell\geq-2$ ; par passage à la limite dans $U_{n+1}=\dfrac12U_n-1$ (fonction affine continue), $\ell=\dfrac12\ell-1$ , d'où $\ell=-2$ .

3. Idée : $\ln$ transforme le facteur $\tfrac12$ en une différence constante. $U_{n+1}+2=\dfrac12(U_n+2)$ , donc $V_{n+1}=\ln\Big(\dfrac12(U_n+2)\Big)=V_n+\ln\dfrac12=V_n-\ln2$ : $(V_n)$ est arithmétique de raison $-\ln2$ et de premier terme $V_0=\ln2$ . Ainsi $V_n=\ln2-n\ln2=(1-n)\ln2$ , puis $U_n+2=\e^{V_n}=2^{1-n}$ :

U_n=2^{1-n}-2=\Big(\frac12\Big)^{n-1}-2\qquad(\text{contrôle : }U_0=0,\ U_1=-1,\ U_n\to-2)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill SU-D.1 — Point fixe

Entraînement 01 / 01

Drill SU-D.1 — Point fixe

1 questionCorrigé masqué

La suite $(U_n)$ est définie par $U_{n+1}=\frac12 U_n-1$ et on sait qu'elle converge vers une limite finie $l$ . Écrire l'équation du point fixe vérifiée par $l$ (en passant à la limite dans la récurrence) et la résoudre.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Passage à la limite dans $U_{n+1}=\frac12 U_n-1$ : $l=\frac12 l-1$ . Donc $\frac12 l=-1$ d'où $l=-2$ . C'est le calcul du corrigé bac info 2021 contrôle : « Donc l = −2 Ainsi lim Un = −2 », après avoir établi que la suite est décroissante et minorée (donc convergente).

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.