SU-DSuites réelles

Suite récurrente Un+1 = Un/2 − 1 et suite arithmétique associée

Idée directrice

Pour $U_{n+1}=\dfrac12 U_n-1$ , on montre $U_n>-2$ , la suite est décroissante et minorée, donc convergente, et la limite vérifie $l=\frac12 l-1$ . Le changement $V_n=\ln(U_n+2)$ produit une suite arithmétique.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« suite (Un) est décroissante »

« minorée par (-2) »

« suite arithmétique de raison »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0=0$ et $U_{n+1}=\dfrac12 U_n-1$ (esprit bac info 2021 contrôle).

Montrer que pour tout $n$ , $U_n>-2$ .
Montrer que $(U_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge et calculer $\lim U_n$ .
On pose $V_n=\ln(U_n+2)$ . Montrer que $(V_n)$ est une suite arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme. En déduire $U_n$ .

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1. Idée : récurrence avec la transformation affine. $U_0=0>-2$ ; si $U_n>-2$ , alors $\dfrac12U_n>-1$ et $U_{n+1}=\dfrac12U_n-1>-2$ . Donc $U_n>-2$ pour tout $n$ .

2. $U_{n+1}-U_n=-\dfrac12U_n-1=-\dfrac{U_n+2}{2}<0$ puisque $U_n+2>0$ : $(U_n)$ est décroissante. Décroissante et minorée par $-2$ , elle converge vers $\ell\geq-2$ ; par passage à la limite dans $U_{n+1}=\dfrac12U_n-1$ (fonction affine continue), $\ell=\dfrac12\ell-1$ , d'où $\ell=-2$ .

3. Idée : $\ln$ transforme le facteur $\tfrac12$ en une différence constante. $U_{n+1}+2=\dfrac12(U_n+2)$ , donc $V_{n+1}=\ln\Big(\dfrac12(U_n+2)\Big)=V_n+\ln\dfrac12=V_n-\ln2$ : $(V_n)$ est arithmétique de raison $-\ln2$ et de premier terme $V_0=\ln2$ . Ainsi $V_n=\ln2-n\ln2=(1-n)\ln2$ , puis $U_n+2=\e^{V_n}=2^{1-n}$ :

U_n=2^{1-n}-2=\Big(\frac12\Big)^{n-1}-2\qquad(\text{contrôle : }U_0=0,\ U_1=-1,\ U_n\to-2)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill SU-D.1 — Point fixe

1 questionCorrigé masqué

La suite $(U_n)$ est définie par $U_{n+1}=\frac12 U_n-1$ et on sait qu'elle converge vers une limite finie $l$ . Écrire l'équation du point fixe vérifiée par $l$ (en passant à la limite dans la récurrence) et la résoudre.

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Passage à la limite dans $U_{n+1}=\frac12 U_n-1$ : $l=\frac12 l-1$ . Donc $\frac12 l=-1$ d'où $l=-2$ . C'est le calcul du corrigé bac info 2021 contrôle : « Donc l = −2 Ainsi lim Un = −2 », après avoir établi que la suite est décroissante et minorée (donc convergente).

Méthode / Automatismes

Monotonie + bound ⇒ convergence ; limite = point fixe de $f$ .
Changement $V_n=g(U_n)$ pour linéariser une récurrence affine.

Pièges classiques

Oublier de prouver $U_n>-2$ avant le signe de $U_{n+1}-U_n$ ; se tromper de raison de $(V_n)$ .