SU-ESuites réelles

Suite récurrente un+1 = 1/un + un/2 — monotonie et convergence

Idée directrice

Pour $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=\dfrac1x+\dfrac x2$ et $u_0=2$ , on prouve $u_n\ge\sqrt{2}$ (AM-GM ou récurrence), puis que la suite est décroissante et minorée, donc convergente ; la limite vérifie $f(l)=l$ et $l=\sqrt{2}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« suite (un) est décroissante »

« décroissante et minorée, donc elle converge »

« un+1 = f(un) »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+\dfrac{u_n}{2}$ (esprit bac info 2015 principale ; $u_1=\dfrac32$ ).

Montrer que pour tout $n$ , $u_n\ge\sqrt{2}$ (on pourra utiliser l'inégalité AM-GM : $\dfrac1{u}+\dfrac u2\ge\sqrt{2}$ pour $u>0$ ).
Montrer que $(u_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge.
Soit $f(x)=\dfrac1x+\dfrac x2$ sur $]0,+\infty[$ . En utilisant $u_{n+1}=f(u_n)$ et la continuité de $f$ , déterminer $\lim u_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : inégalité arithmético-géométrique $a+b\geq2\sqrt{ab}$ . Pour $u>0$ : $\dfrac1u+\dfrac u2\geq2\sqrt{\dfrac1u\cdot\dfrac u2}=\sqrt2$ , égalité si et seulement si $\dfrac1u=\dfrac u2$ , soit $u=\sqrt2$ . Donc $u_{n+1}\geq\sqrt2$ pour tout $n\geq0$ , et $u_0=2\geq\sqrt2$ : $u_n\geq\sqrt2$ pour tout $n$ (on retrouve $u_1=\tfrac32\geq\sqrt2$ ).

2. $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{u_n}-\dfrac{u_n}{2}=\dfrac{2-u_n^2}{2u_n}\leq0$ car $u_n\geq\sqrt2$ : $(u_n)$ est décroissante ; minorée par $\sqrt2$ , elle converge.

3. Idée : la limite est un point fixe de $f$ , continue sur $]0,+\infty[$ . $\ell\geq\sqrt2>0$ et $f(\ell)=\ell$ donne $\dfrac1\ell+\dfrac\ell2=\ell$ , soit $2+\ell^2=2\ell^2$ , $\ell^2=2$ :

\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt2\qquad(\text{méthode de Héron : }u_2=\tfrac{17}{12}\approx1{,}4167)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill SU-E.1 — Inégalité un ≥ 2

1 questionCorrigé masqué

Pour la suite $u_{n+1}=\frac1{u_n}+\frac{u_n}2$ avec $u_n>0$ , montrer $u_{n+1}\ge\sqrt{2}$ par AM-GM, puis en déduire $u_n\ge\sqrt{2}$ par récurrence à partir de $u_0=2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

AM-GM : $\frac1{u_n}+\frac{u_n}2\ge2\sqrt{\frac1{u_n}\cdot\frac{u_n}2}=\sqrt{2}$ . Donc $u_{n+1}\ge\sqrt{2}$ . Avec $u_0=2\ge\sqrt{2}$ , la récurrence donne $u_n\ge\sqrt{2}$ pour tout $n$ . On en déduit ensuite la décroissance via $u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\le0$ , puis la convergence vers $\sqrt{2}$ .

Méthode / Automatismes

Minorante naturelle : AM-GM sur $\frac1u+\frac u2$ , ou récurrence sur $u_n\ge\sqrt{2}$ .
Signe de $u_{n+1}-u_n=\dfrac{2-u_n^2}{2u_n}$ pour la monotonie.
Limite = point fixe positif de $f$ une fois la convergence établie.

Pièges classiques

Reprendre la minorante $u_n\ge2$ du corrigé OCR (fausse : $u_1=3/2$ ) ; conclure $l=-\sqrt{2}$ ; oublier $u_n>0$ pour $f$ .