Asymptote verticale et asymptote oblique

L'axe des abscisses ($y=0$) est une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$. Le corrigé bac info 2016 le formule ainsi : dès que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$, « la courbe (Cf) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de (+∞) ». On ne confond pas avec une asymptote verticale (limite infinie en un réel fini).

1. Idée : hors de $0$ c'est un quotient de fonctions continues ; en $0$ on compare la limite à la valeur. Sur $\R^*$, $g$ est continue comme quotient de fonctions continues à dénominateur non nul. En $0$ : $\dfrac{\e^x-1}{x}=\dfrac{\e^x-\e^0}{x-0}\xrightarrow[x\to0]{}\exp'(0)=1=g(0)$ (taux d'accroissement de l'exponentielle). Donc $g$ est continue en $0$, et sur $\R$.

2. Idée : théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction continue strictement monotone. $h'(x)=-\e^{-x}-1<0$ : $h$ est continue et strictement décroissante sur $\R$, de $\lim_{-\infty}h=+\infty$ à $\lim_{+\infty}h=-\infty$ ; elle s'annule donc une et une seule fois. $h\big(\tfrac12\big)=\e^{-1/2}-\tfrac12\approx0{,}107>0$ et $h(1)=\e^{-1}-1<0$ : $\boxed{\alpha\in\left]\tfrac12;1\right[}$ (dichotomie : $h(0{,}6)\approx-0{,}051$, donc $\alpha\in]0{,}5;0{,}6[$).

1.a Quand $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$, donc $(\ln x)^2\to+\infty$, et $x\to0$ : $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$. La droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à $(C)$.

1.b Pour tout $x>0$, $(\ln x)^2\ge0$, donc $f(x)\ge x$ ; comme $x\to+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Ensuite $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{(\ln x)^2}{x}$. En posant $t=\sqrt x$, on a $x=t^2$ et $\ln x=2\ln t$, d'où

Quand $x\to+\infty$, $t\to+\infty$ et $\dfrac{\ln t}{t}\to0$ : $\dfrac{(\ln x)^2}{x}\to0$, donc $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1}$.

1.c Idée : une limite finie non nulle de $\frac{f(x)}{x}$ ne fixe qu'une direction — elle écarte les directions $(O,\vec i)$ (quotient tendant vers $0$) et $(O,\vec j)$ (quotient tendant vers $\pm\infty$). C'est la limite de $f(x)-x$ qui tranche : finie, c'est une asymptote ; infinie, c'est une direction asymptotique. Ici $\dfrac{f(x)}{x}\to1$ (1.b) et $f(x)-x=(\ln x)^2\to+\infty$ quand $x\to+\infty$. On en déduit que $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une direction asymptotique qui est celle de la droite $\Delta$ : c'est une branche parabolique de direction $\Delta$. La droite $\Delta$ n'est pas une asymptote à $(C)$, car l'écart vertical $f(x)-x$ ne tend pas vers $0$ : il tend vers $+\infty$, et $(C)$ s'éloigne de $\Delta$ tout en gardant sa direction.

1.d $f(x)-x=(\ln x)^2\ge0$, avec égalité si et seulement si $\ln x=0$, c'est-à-dire $x=1$. Donc $(C)$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty[$, et $(C)$ et $\Delta$ n'ont en commun que le point $A(1,1)$.

2.a La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$, donc $x\mapsto(\ln x)^2$ aussi, de dérivée $2\ln x\cdot\dfrac1x$. Ainsi $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $f'(x)=1+\dfrac{2\ln x}{x}=\dfrac{x+2\ln x}{x}$.

2.b $f(1)=1$ et $f'(1)=\dfrac{1+2\ln1}{1}=1$. La tangente à $(C)$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=1\cdot(x-1)+1$, soit $\boxed{y=x}$ : c'est la droite $\Delta$, qui donne aussi la direction asymptotique de $(C)$ en $+\infty$ (1.c). Elle touche $(C)$ en $A$ sans la traverser, ce qu'annonçait 1.d : $(\ln x)^2$ s'annule en $1$ sans changer de signe.

2.c Idée : théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction continue et strictement monotone. On pose $u(x)=x+2\ln x$ pour $x>0$. $u$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty[$ (somme de deux fonctions strictement croissantes), avec $\lim\limits_{x\to0^+}u(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}u(x)=+\infty$. Elle réalise une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\R$ : l'équation $u(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. De plus $u(0{,}70)\approx-0{,}013<0$ et $u(0{,}71)\approx0{,}025>0$, donc $\boxed{0{,}70<\alpha<0{,}71}$.

2.d Pour $x>0$, $f'(x)$ a le signe de $u(x)$ : $f'(x)<0$ sur $]0,\alpha[$, $f'(\alpha)=0$ et $f'(x)>0$ sur $]\alpha,+\infty[$. $f$ est strictement décroissante sur $]0,\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha,+\infty[$, d'où le tableau de variation de $f$ :

$u(\alpha)=0$ s'écrit $\ln\alpha=-\dfrac{\alpha}{2}$. Donc $f(\alpha)=\alpha+\left(-\dfrac{\alpha}{2}\right)^2$, soit $\boxed{f(\alpha)=\alpha+\dfrac{\alpha^2}{4}}$, environ $0{,}83$.

1.a Quand $x\to-1^+$, $x+1\to0^+$, donc $\ln(x+1)\to-\infty$ et $-2\ln(x+1)\to+\infty$ ; comme $x+1\to0$, $\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$. La droite d'équation $x=-1$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.

1.b Idée : $\ln(x+1)$ est négligeable devant $x$ en $+\infty$. Pour $x>0$, $\dfrac{\ln(x+1)}{x}=\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x}$ ; le premier facteur tend vers $0$ (car $\dfrac{\ln X}{X}\to0$ quand $X\to+\infty$) et le second vers $1$. Donc

soit $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1}$. Puisque $f(x)=x\cdot\dfrac{f(x)}{x}$ avec $x\to+\infty$ et $\dfrac{f(x)}{x}\to1>0$, on obtient $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

1.c Idée : après $\frac{f(x)}{x}\to1$, on étudie $f(x)-x$ : une limite finie $b$ donnerait l'asymptote $y=x+b$ ; une limite infinie donne une direction asymptotique. $f(x)-x=1-2\ln(x+1)\to-\infty$ quand $x\to+\infty$. La courbe $(C_f)$ admet donc au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de $\Delta$ : la droite $\Delta$ est une direction asymptotique à $(C_f)$, sans être une asymptote.

1.d $f(x)-x=1-2\ln(x+1)$. Comme $\ln$ est strictement croissante,

Donc $(C_f)$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]-1,\sqrt e-1[$, au-dessous sur $]\sqrt e-1,+\infty[$, et coupe $\Delta$ au point $B(\sqrt e-1,\,\sqrt e-1)$, avec $\sqrt e-1\approx0{,}65$.

2.a $f$ est dérivable sur $]-1,+\infty[$ (somme de fonctions dérivables) et $f'(x)=1-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{x-1}{x+1}$. Pour $x>-1$, $x+1>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x-1$. $f$ est strictement décroissante sur $]-1,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$, avec $f(1)=2-2\ln2$ ; d'où le tableau de variation de $f$ :

2.b Le minimum de $f$ sur $]-1,+\infty[$ est $f(1)=2(1-\ln2)$ ; comme $\ln2<1$, il est strictement positif (environ $0{,}61$). Donc $f(x)\ge2-2\ln2>0$ pour tout $x>-1$.

3.a $g(x)=x+1-2\ln(x+1)+2\ln(x+2)$, donc $g(x)-(x+1)=2\ln\dfrac{x+2}{x+1}$, et $\dfrac{x+2}{x+1}=1+\dfrac{1}{x+1}$ : on obtient bien $g(x)-(x+1)=2\ln\left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)$. Alors

Quand $x\to+\infty$, $1+\dfrac{1}{x+1}\to1$, donc $g(x)-(x+1)\to2\ln1=0$, et $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{g(x)}{x}=1}$.

3.b $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(g(x)-(x+1)\big)=0$ (calculé en 3.a) : la droite $D:\ y=x+1$ est une asymptote oblique à $(C_g)$ au voisinage de $+\infty$. Pour $x>-1$, $1+\dfrac{1}{x+1}>1$, donc $g(x)-(x+1)>0$ : $(C_g)$ est au-dessus de $D$.

3.c Idée : le quotient commun $\frac{f(x)}{x}\to1$ ne donne que la direction $y=x$ ; ce sont les limites de $f(x)-x$ et de $g(x)-x$ qui distinguent les deux branches. Pour $g$, $g(x)-x=1+\big(g(x)-(x+1)\big)\to1$, limite finie : $(C_g)$ admet l'asymptote oblique $D:\ y=x+1$, parallèle à $\Delta$. Pour $f$, $f(x)-x\to-\infty$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction $\Delta$. Aucune droite parallèle à $\Delta$ ne peut servir d'asymptote à $(C_f)$ : pour tout réel $b$, $f(x)-(x+b)=1-b-2\ln(x+1)\to-\infty$.