LC-DLimites et continuité

Asymptote verticale et asymptote oblique

Idée directrice

On lit une asymptote verticale quand $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ , et une asymptote oblique $y=ax+b$ au voisinage de $+\infty$ quand $\lim(f(x)-(ax+b))=0$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« asymptote verticale »

« asymptote oblique »

« lim f(x) − (x − 1) = 0 »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=x-1+\dfrac{\ln x}{x}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe (esprit bac info 2017 principale).

Calculer $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ . En déduire une asymptote verticale à $\mathcal{C}$ .
Calculer $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ . Montrer que $\lim_{x\to +\infty}\big(f(x)-(x-1)\big)=0$ et en déduire une asymptote oblique.
Sans calcul de dérivée détaillé : que signifie graphiquement la présence simultanée de ces deux asymptotes pour le comportement de $f$ ?

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1. Idée : en $0^+$ , $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac1x\to+\infty$ se renforcent. $\dfrac{\ln x}{x}\to-\infty$ et $x-1\to-1$ , donc $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ : la droite $x=0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à $\mathcal C$ .

2. Idée : croissances comparées pour $\dfrac{\ln x}{x}$ . $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ en $+\infty$ , donc $f(x)=x-1+\dfrac{\ln x}{x}\to+\infty$ et

f(x)-(x-1)=\frac{\ln x}{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0

La droite $\Delta:\ y=x-1$ est asymptote oblique à $\mathcal C$ en $+\infty$ ; comme $\dfrac{\ln x}{x}>0$ pour $x>1$ , $\mathcal C$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]1,+\infty[$ et la coupe en $x=1$ .

3. La courbe descend le long de l'axe des ordonnées quand $x\to0^+$ , puis, après avoir traversé $\Delta$ en $(1,0)$ , se rapproche par au-dessus de la droite $y=x-1$ : elle a l'allure d'une branche qui « recolle » à une droite, sans jamais l'atteindre.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill LC-D.1 — Lire une asymptote horizontale

1 questionCorrigé masqué

On a montré $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$ pour une fonction $f$ (esprit corrigé 2016 info). Quelle asymptote en déduit-on pour la courbe, et au voisinage de quoi ?

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L'axe des abscisses ( $y=0$ ) est une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ . Le corrigé bac info 2016 le formule ainsi : dès que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ , « la courbe (Cf) admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de (+∞) ». On ne confond pas avec une asymptote verticale (limite infinie en un réel fini).

Entraînement 02 / 02

Drill LC-D.x — continuité par prolongement et théorème des valeurs intermédiaires (2018–2019)

2 questionsCorrigé masqué

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\dfrac{\e^{x}-1}{x}$ si $x\neq0$ et $g(0)=1$ , et $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=\e^{-x}-x$ . Il s'agit d'un prolongement par continuité en $0$ pour $g$ , puis du théorème des valeurs intermédiaires pour $h$ , la dichotomie servant à encadrer la solution.

Montrer que $g$ est continue sur $\R$ .
Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $h(\alpha)=0$ et que $\alpha\in\left]\tfrac12;1\right[$ .

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1. Idée : hors de $0$ c'est un quotient de fonctions continues ; en $0$ on compare la limite à la valeur. Sur $\R^*$ , $g$ est continue comme quotient de fonctions continues à dénominateur non nul. En $0$ : $\dfrac{\e^x-1}{x}=\dfrac{\e^x-\e^0}{x-0}\xrightarrow[x\to0]{}\exp'(0)=1=g(0)$ (taux d'accroissement de l'exponentielle). Donc $g$ est continue en $0$ , et sur $\R$ .

2. Idée : théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction continue strictement monotone. $h'(x)=-\e^{-x}-1<0$ : $h$ est continue et strictement décroissante sur $\R$ , de $\lim_{-\infty}h=+\infty$ à $\lim_{+\infty}h=-\infty$ ; elle s'annule donc une et une seule fois. $h\big(\tfrac12\big)=\e^{-1/2}-\tfrac12\approx0{,}107>0$ et $h(1)=\e^{-1}-1<0$ : $\boxed{\alpha\in\left]\tfrac12;1\right[}$ (dichotomie : $h(0{,}6)\approx-0{,}051$ , donc $\alpha\in]0{,}5;0{,}6[$ ).

Méthode / Automatismes

Verticale : limite infinie en un réel fini.
Oblique : chercher $a=\lim f(x)/x$ puis $b=\lim(f(x)-ax)$ .

Pièges classiques

Conclure asymptote horizontale dès que $\lim f=+\infty$ ; oublier de vérifier $\lim(f-(ax+b))=0$ .