LC-CLimites et continuité

Asymptotes, continuité et variations — $f(x)=\mathrm{e}^{x}/x$

Idée directrice

Forme attestée en 2016 session principale, exercice 4 (modes asymptotes_variations_reciproque / limites_et_famille_de_courbes) : limites aux bornes, lecture d'asymptotes, tableau de variation, puis restrictions bijectives. La fonction $e^{x}/x$ reprend le geste « asymptote verticale en $0$ + branche à l'infini » du corpus.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\lim f(x)$ . Interpréter graphiquement »

« La droite $x=0$ est une asymptote »

« Dresser le tableau de variation de $f$ »

« Montrer que $g_1$ réalise une bijection de $]0,1]$ sur… »

Sujet principal

Exercice — limites, asymptotes et variations de $e^{x}/x$ (esprit 2016 principale, ex.4)

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ . On étudie les limites, les asymptotes, la continuité et les variations de $f$ .

Calculer la limite de $f$ en $0^+$ et la limite de $f$ en $+\infty$ . Interpréter graphiquement : asymptote verticale d'équation $x=0$ , et comportement à l'infini.
Justifier la continuité de $f$ sur $]0,+\infty[$ .
Calculer $f'(x)$ . Lever la forme indéterminée éventuelle pour le signe de $f'$ . Dresser le tableau de variation de $f$ (minimum, décroissante puis croissante).
Étudier le terme dominant de $f(x)$ en $+\infty$ et en déduire le comportement asymptotique de la courbe.
Soit $g_1=f|_{]0,1]}$ et $g_2=f|_{[1,+\infty[}$ . Montrer que $g_1$ et $g_2$ réalisent chacune une bijection sur un intervalle image à préciser.

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1. En $0^+$ : $\e^x\to1$ et $x\to0^+$ , donc $f(x)\to+\infty$ ; la droite $x=0$ est asymptote verticale. En $+\infty$ : par croissances comparées, $\dfrac{\e^x}{x}\to+\infty$ .

2. Quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas sur $]0,+\infty[$ : $f$ est continue.

3. Idée : dérivée d'un quotient, factoriser par $\e^x>0$ . $f'(x)=\dfrac{\e^x\cdot x-\e^x}{x^2}=\dfrac{\e^x(x-1)}{x^2}$ , du signe de $x-1$ : $f$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$ , avec un minimum $f(1)=\e$ .

4. Idée : comparer $f(x)$ à $x$ . $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\e^x}{x^2}\to+\infty$ : la courbe admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (elle croît plus vite que toute droite) ; pas d'asymptote.

5. $g_1$ est continue et strictement décroissante sur $]0,1]$ : bijection de $]0,1]$ sur $[f(1),\lim_{0^+}f[=[\e,+\infty[$ . $g_2$ est continue et strictement croissante sur $[1,+\infty[$ : bijection de $[1,+\infty[$ sur $[\e,+\infty[$ . Conséquence : pour tout $k>\e$ , l'équation $f(x)=k$ a exactement deux solutions, une dans $]0,1[$ et une dans $]1,+\infty[$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill LC-C.1 — lecture d'asymptotes à partir des limites

2 questionsCorrigé masqué

Soit $k$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $k(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x}$ . On demande uniquement les limites et leur lecture graphique.

Calculer la limite de $k$ en $0^+$ et la limite de $k$ en $+\infty$ .
En déduire l'asymptote verticale de la courbe de $k$ et préciser le comportement à l'infini.

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1. En $0^+$ : $\mathrm{e}^{2x}\to 1$ et $x\to 0^+$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}k(x)=+\infty$ . En $+\infty$ : croissances comparées donnent $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}k(x)=+\infty$ .

2. La limite infinie en $0^+$ prouve que $x=0$ est asymptote verticale. En $+\infty$ il n'y a pas d'asymptote horizontale : branche à l'infini.

Entraînement 02 / 02

Drill LC-C.x — $f(x)=(1-\e^{2x})\,\e^{x}$ : limite nulle en $-\infty$ , branche infinie en $+\infty$ (2022)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(1-\e^{2x})\,\e^{x}$ . On étudiera les limites de $f$ aux bornes de $\R$ : la forme indéterminée en $+\infty$ se lève en factorisant par le terme dominant, et l'on précisera l'asymptote horizontale éventuelle.

Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ . Interpréter graphiquement.
Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ puis $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ . Conclure sur la branche infinie.
Résoudre $f(x)=0$ et en déduire le signe de $f$ sur $\R$ .

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1. Idée : développer pour ne garder que des exponentielles. $f(x)=\e^x-\e^{3x}$ . Quand $x\to-\infty$ , $\e^x\to0$ et $\e^{3x}\to0$ , donc $f(x)\to0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$ .

2. Idée : factoriser par le terme dominant $\e^{3x}$ . $f(x)=\e^{3x}(\e^{-2x}-1)\to-\infty$ car $\e^{3x}\to+\infty$ et $\e^{-2x}-1\to-1$ . De même $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\e^{3x}}{x}(\e^{-2x}-1)\to-\infty$ (croissances comparées) : branche parabolique de direction $(Oy)$ en $+\infty$ .

3. Idée : $\e^x>0$ , le signe est celui de $1-\e^{2x}$ . $f(x)=0\iff\e^{2x}=1\iff x=0$ . $1-\e^{2x}>0\iff x<0$ : $f>0$ sur $]-\infty;0[$ , $f<0$ sur $]0;+\infty[$ . La courbe traverse l'axe en $O$ .

Méthode / Automatismes

Limite en $0^+$ d'un quotient avec dénominateur $\to 0^+$ et numérateur $\to L\neq 0$ : asymptote verticale.
Signe de $f'$ par facteur $(x-1)$ après simplification.
Minimum global au changement de monotonie si $f'\!\le 0$ puis $f'\!\ge 0$ .
Bijection des restrictions : continuité + stricte monotonie + image des bornes.

Pièges classiques

Conclure à une asymptote horizontale en $+\infty$ alors que $f\to+\infty$ . Oublier le domaine $x>0$ et parler de limite en $-\infty$ . Se tromper sur l'image de $g_1$ (ce n'est pas $]0,+\infty[$ ).

Asymptotes, continuité et variations — f(x)=ex/xf(x)=\mathrm{e}^{x}/xf(x)=ex/x

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Asymptotes, continuité et variations — $f(x)=\mathrm{e}^{x}/x$