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Fahmio
Fahmio
Bac Tunisie
Mathématiques/LC-A
LC-ALimites et continuité

Limites, asymptotes et variations — fonction 1/ln⁡x1/\ln x

Idée directrice

Forme attestée en 2022 session principale, exercice 4 (mode fonction_1_sur_ln) : une seule fonction f=1/ln⁡xf=1/\ln x sur ]1,+∞[]1,+\infty[, enchaînement limites → interprétation asymptotique → dérivée → tableau de variation → unicité d'une racine de f(x)=xf(x)=x. Ce n'est pas un drill de limite isolée : la même ff porte tout l'exercice.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Soit ff définie sur ]1,+∞[]1,+\infty[ par f(x)=1/ln⁡xf(x)=1/\ln x »

« Calculer lim⁡x→1+f(x)\lim_{x\to 1^+}f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to+\infty}f(x). Interpréter graphiquement »

« Dresser le tableau de variation de ff »

« Montrer que f(x)=xf(x)=x admet une unique solution α<e\alpha<e »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Toujours calculer les deux limites aux bornes du domaine avant le tableau.
  • Asymptote verticale : limite infinie en une abscisse finie ; horizontale : limite finie en ±∞\pm\infty.
  • Le signe de f′f' fixe le sens de variation ; le tableau synthétise limites + signe.
  • Pour f(x)=xf(x)=x : étudier h=f−idh=f-\mathrm{id} (continuité + stricte monotonie ⇒\Rightarrow unicité).
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre l'asymptote verticale x=1x=1 avec x=0x=0 (erreur fréquente sur 1/ln⁡x1/\ln x). Oublier que ln⁡x>0\ln x>0 sur ]1,+∞[]1,+\infty[ pour le signe de f′f'. Affirmer α=e\alpha=\mathrm{e} alors que f(e)=1≠ef(\mathrm{e})=1\neq\mathrm{e}.

Sujet principal

Exercice — étude composite de f(x)=1/ln⁡xf(x)=1/\ln x (esprit 2022 principale, ex.4)

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit ff la fonction définie sur ]1,+∞[]1,+\infty[ par f(x)=1ln⁡xf(x)=\dfrac{1}{\ln x}. On se propose d'étudier les limites de ff, sa continuité et ses branches infinies, puis ses variations.

  1. Calculer la limite de ff en 1+1^+ et la limite de ff en +∞+\infty. Interpréter graphiquement chaque limite (asymptote verticale, asymptote horizontale).
  2. Justifier la continuité de ff sur ]1,+∞[]1,+\infty[.
  3. Montrer que pour tout x>1x>1, f′(x)=−1x(ln⁡x)2f'(x)=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}. En déduire que ff est strictement décroissante sur ]1,+∞[]1,+\infty[ et dresser le tableau de variation de ff.
  4. Montrer que l'équation f(x)=xf(x)=x admet sur ]1,+∞[]1,+\infty[ une unique solution α\alpha avec α<e\alpha<\mathrm{e}.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : le comportement de ln⁡\ln aux bornes. En 1+1^+, ln⁡x→0+\ln x\to0^+ donc f(x)→+∞f(x)\to+\infty : la droite x=1x=1 est asymptote verticale. En +∞+\infty, ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty donc f(x)→0f(x)\to0 : l'axe des abscisses est asymptote horizontale.

2. x↦ln⁡xx\mapsto\ln x est continue et ne s'annule pas sur ]1,+∞[]1,+\infty[ (ln⁡x>0\ln x>0) ; l'inverse d'une fonction continue qui ne s'annule pas est continu : ff est continue sur ]1,+∞[]1,+\infty[.

3. Idée : (1u)′=−u′u2\Big(\dfrac1u\Big)'=-\dfrac{u'}{u^2}. f′(x)=−1/x(ln⁡x)2=−1x(ln⁡x)2<0f'(x)=-\dfrac{1/x}{(\ln x)^2}=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}<0 pour x>1x>1 : ff est strictement décroissante sur ]1,+∞[]1,+\infty[, de +∞+\infty vers 00, avec f(e)=1f(\e)=1.

4. Idée : h=f−idh=f-\mathrm{id} est strictement décroissante, TVI. h(x)=f(x)−xh(x)=f(x)-x est continue et strictement décroissante (ff décroît, −x-x décroît), h→+∞h\to+\infty en 1+1^+ et h→−∞h\to-\infty en +∞+\infty : elle s'annule une seule fois, en α\alpha. Or h(e)=1−e<0h(\e)=1-\e<0, donc α<e\alpha<\e ; et h(e)=2−e>0h(\sqrt\e)=2-\sqrt\e>0 donne même e<α<e\sqrt\e<\alpha<\e.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill LC-A.1 — limites et asymptotes d'une fonction du type 1/ln⁡1/\ln
Entraînement 01 / 02

Drill LC-A.1 — limites et asymptotes d'une fonction du type 1/ln⁡1/\ln

3 questionsCorrigé masqué

Soit hh la fonction définie sur ]1,+∞[]1,+\infty[ par h(x)=2ln⁡xh(x)=\dfrac{2}{\ln x}. On s'intéresse uniquement aux limites et à l'interprétation asymptotique.

  1. Calculer la limite de hh en 1+1^+ et la limite de hh en +∞+\infty.
  2. En déduire les asymptotes de la courbe de hh (verticale et horizontale) au voisinage de 11 et à l'infini.
  3. Justifier brièvement la continuité de hh sur ]1,+∞[]1,+\infty[.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Quand x→1+x\to 1^+, ln⁡x→0+\ln x\to 0^+, donc lim⁡x→1+h(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to 1^+}h(x)=+\infty. Quand x→+∞x\to+\infty, ln⁡x→+∞\ln x\to+\infty, donc lim⁡x→+∞h(x)=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0.

2. La limite infinie en 1+1^+ prouve que la droite x=1x=1 est asymptote verticale. La limite nulle en +∞+\infty prouve que y=0y=0 est asymptote horizontale à l'infini.

3. ln⁡x\ln x est continue et strictement positive sur ]1,+∞[]1,+\infty[ : le quotient 2/ln⁡x2/\ln x est continu sur ce domaine.

2 Drill LC-A.x — f(x)=x2+1−xf(x)=\sqrt{x^2+1}-x : limites aux deux infinis et interprétation (2020)
Entraînement 02 / 02

Drill LC-A.x — f(x)=x2+1−xf(x)=\sqrt{x^2+1}-x : limites aux deux infinis et interprétation (2020)

2 questionsCorrigé masqué

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+1−xf(x)=\sqrt{x^2+1}-x.

  1. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) et lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x). Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  2. Montrer que la droite Δ: y=−2x\Delta:\ y=-2x est asymptote à la courbe de ff en −∞-\infty et préciser la position de la courbe par rapport à Δ\Delta.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : forme indéterminée « ∞−∞\infty-\infty » en +∞+\infty, à lever par l'expression conjuguée ; en −∞-\infty les deux termes vont dans le même sens. f(x)=(x2+1−x)(x2+1+x)x2+1+x=1x2+1+xf(x)=\dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}. Quand x→+∞x\to+\infty le dénominateur tend vers +∞+\infty : lim⁡+∞f=0\lim_{+\infty}f=0, l'axe des abscisses est asymptote horizontale en +∞+\infty. Quand x→−∞x\to-\infty, x2+1→+∞\sqrt{x^2+1}\to+\infty et −x→+∞-x\to+\infty : lim⁡−∞f=+∞\lim_{-\infty}f=+\infty, pas d'asymptote horizontale de ce côté.

2. Idée : une droite y=ax+by=ax+b est asymptote si f(x)−(ax+b)→0f(x)-(ax+b)\to0. f(x)−(−2x)=x2+1+x=1x2+1−xf(x)-(-2x)=\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} (conjugué à nouveau). Quand x→−∞x\to-\infty, x2+1−x→+∞\sqrt{x^2+1}-x\to+\infty donc f(x)+2x→0+f(x)+2x\to0^+ : Δ\Delta est asymptote oblique en −∞-\infty et, la différence étant positive, la courbe est au-dessus de Δ\Delta. (Vérification : f(x)x=x2+1x−1=−1+1/x2−1→−2\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}-1=-\sqrt{1+1/x^2}-1\to-2 car x2=−x\sqrt{x^2}=-x pour x<0x<0.)

Relier ce raisonnement au bac

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