LC-ALimites et continuité

Limites, asymptotes et variations — fonction $1/\ln x$

Idée directrice

Forme attestée en 2022 session principale, exercice 4 (mode fonction_1_sur_ln) : une seule fonction $f=1/\ln x$ sur $]1,+\infty[$ , enchaînement limites → interprétation asymptotique → dérivée → tableau de variation → unicité d'une racine de $f(x)=x$ . Ce n'est pas un drill de limite isolée : la même $f$ porte tout l'exercice.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit $f$ définie sur $]1,+\infty[$ par $f(x)=1/\ln x$ »

« Calculer $\lim_{x\to 1^+}f(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . Interpréter graphiquement »

« Dresser le tableau de variation de $f$ »

« Montrer que $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha<e$ »

Sujet principal

Exercice — étude composite de $f(x)=1/\ln x$ (esprit 2022 principale, ex.4)

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{\ln x}$ . On se propose d'étudier les limites de $f$ , sa continuité et ses branches infinies, puis ses variations.

Calculer la limite de $f$ en $1^+$ et la limite de $f$ en $+\infty$ . Interpréter graphiquement chaque limite (asymptote verticale, asymptote horizontale).
Justifier la continuité de $f$ sur $]1,+\infty[$ .
Montrer que pour tout $x>1$ , $f'(x)=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}$ . En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $]1,+\infty[$ et dresser le tableau de variation de $f$ .
Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet sur $]1,+\infty[$ une unique solution $\alpha$ avec $\alpha<\mathrm{e}$ .

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1. Idée : le comportement de $\ln$ aux bornes. En $1^+$ , $\ln x\to0^+$ donc $f(x)\to+\infty$ : la droite $x=1$ est asymptote verticale. En $+\infty$ , $\ln x\to+\infty$ donc $f(x)\to0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale.

2. $x\mapsto\ln x$ est continue et ne s'annule pas sur $]1,+\infty[$ ( $\ln x>0$ ) ; l'inverse d'une fonction continue qui ne s'annule pas est continu : $f$ est continue sur $]1,+\infty[$ .

3. Idée : $\Big(\dfrac1u\Big)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ . $f'(x)=-\dfrac{1/x}{(\ln x)^2}=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}<0$ pour $x>1$ : $f$ est strictement décroissante sur $]1,+\infty[$ , de $+\infty$ vers $0$ , avec $f(\e)=1$ .

4. Idée : $h=f-\mathrm{id}$ est strictement décroissante, TVI. $h(x)=f(x)-x$ est continue et strictement décroissante ( $f$ décroît, $-x$ décroît), $h\to+\infty$ en $1^+$ et $h\to-\infty$ en $+\infty$ : elle s'annule une seule fois, en $\alpha$ . Or $h(\e)=1-\e<0$ , donc $\alpha<\e$ ; et $h(\sqrt\e)=2-\sqrt\e>0$ donne même $\sqrt\e<\alpha<\e$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill LC-A.1 — limites et asymptotes d'une fonction du type $1/\ln$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $h$ la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{2}{\ln x}$ . On s'intéresse uniquement aux limites et à l'interprétation asymptotique.

Calculer la limite de $h$ en $1^+$ et la limite de $h$ en $+\infty$ .
En déduire les asymptotes de la courbe de $h$ (verticale et horizontale) au voisinage de $1$ et à l'infini.
Justifier brièvement la continuité de $h$ sur $]1,+\infty[$ .

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1. Quand $x\to 1^+$ , $\ln x\to 0^+$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}h(x)=+\infty$ . Quand $x\to+\infty$ , $\ln x\to+\infty$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$ .

2. La limite infinie en $1^+$ prouve que la droite $x=1$ est asymptote verticale. La limite nulle en $+\infty$ prouve que $y=0$ est asymptote horizontale à l'infini.

3. $\ln x$ est continue et strictement positive sur $]1,+\infty[$ : le quotient $2/\ln x$ est continu sur ce domaine.

Entraînement 02 / 02

Drill LC-A.x — $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ : limites aux deux infinis et interprétation (2020)

2 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ .

Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Montrer que la droite $\Delta:\ y=-2x$ est asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty$ et préciser la position de la courbe par rapport à $\Delta$ .

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1. Idée : forme indéterminée « $\infty-\infty$ » en $+\infty$ , à lever par l'expression conjuguée ; en $-\infty$ les deux termes vont dans le même sens. $f(x)=\dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ . Quand $x\to+\infty$ le dénominateur tend vers $+\infty$ : $\lim_{+\infty}f=0$ , l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$ . Quand $x\to-\infty$ , $\sqrt{x^2+1}\to+\infty$ et $-x\to+\infty$ : $\lim_{-\infty}f=+\infty$ , pas d'asymptote horizontale de ce côté.

2. Idée : une droite $y=ax+b$ est asymptote si $f(x)-(ax+b)\to0$ . $f(x)-(-2x)=\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$ (conjugué à nouveau). Quand $x\to-\infty$ , $\sqrt{x^2+1}-x\to+\infty$ donc $f(x)+2x\to0^+$ : $\Delta$ est asymptote oblique en $-\infty$ et, la différence étant positive, la courbe est au-dessus de $\Delta$ . (Vérification : $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}-1=-\sqrt{1+1/x^2}-1\to-2$ car $\sqrt{x^2}=-x$ pour $x<0$ .)

Méthode / Automatismes

Toujours calculer les deux limites aux bornes du domaine avant le tableau.
Asymptote verticale : limite infinie en une abscisse finie ; horizontale : limite finie en $\pm\infty$ .
Le signe de $f'$ fixe le sens de variation ; le tableau synthétise limites + signe.
Pour $f(x)=x$ : étudier $h=f-\mathrm{id}$ (continuité + stricte monotonie $\Rightarrow$ unicité).

Pièges classiques

Confondre l'asymptote verticale $x=1$ avec $x=0$ (erreur fréquente sur $1/\ln x$ ). Oublier que $\ln x>0$ sur $]1,+\infty[$ pour le signe de $f'$ . Affirmer $\alpha=\mathrm{e}$ alors que $f(\mathrm{e})=1\neq\mathrm{e}$ .

Limites, asymptotes et variations — fonction 1/ln⁡x1/\ln x1/lnx

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Limites, asymptotes et variations — fonction $1/\ln x$