LC-BLimites et continuité

Calcul de limites et formes indéterminées

Idée directrice

L'exercice présente des limites avec formes indéterminées ( $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ). La stratégie est de lever la FI par l'une des techniques canoniques : factorisation par le terme dominant, conjugué algébrique, ou changement de variable (par exemple $X=1/x$ quand $x\to+\infty$ , ou $X=x-a$ quand $x\to a$ ). On utilise aussi les limites usuelles $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{\cdots}-x)$ » ; « Lever la forme indéterminée » ; « Calculer les limites suivantes en précisant les formes indéterminées ».

Sujet principal

Exercice 2 — calcul de limites

5 questionsCorrigé masqué

Calculer les limites suivantes en justifiant chaque étape.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x+1}-x\right)$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}$
$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-3x+2}{x^2-1}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(e^{1/x}-1\right)$

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1. Idée : $\infty-\infty$ avec racine $\Rightarrow$ quantité conjuguée. $\sqrt{x^2+3x+1}-x=\dfrac{3x+1}{\sqrt{x^2+3x+1}+x}$ ; en factorisant $x>0$ : $=\dfrac{3+1/x}{\sqrt{1+3/x+1/x^2}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac32$ .

2. Idée : ramener aux limites de référence $\dfrac{\sin u}{u}\to1$ et $\dfrac{\tan u}{u}\to1$ . $\dfrac{\sin3x}{\tan2x}=\dfrac{\sin3x}{3x}\cdot\dfrac{2x}{\tan2x}\cdot\dfrac32\xrightarrow[x\to0]{}1\times1\times\dfrac32=\dfrac32$ .

3. Idée : termes dominants. $\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+5x^2}=\dfrac{2-1/x^2+1/x^3}{1+5/x}\xrightarrow[x\to-\infty]{}2$ .

4. Idée : $\dfrac00$ $\Rightarrow$ factoriser par $(x-1)$ . $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$ et $x^2-1=(x-1)(x+1)$ , donc le quotient vaut $\dfrac{(x-1)(x+2)}{x+1}\xrightarrow[x\to1]{}0$ .

5. Idée : poser $t=1/x$ . $x\big(\e^{1/x}-1\big)=\dfrac{\e^t-1}{t}$ avec $t\to0^+$ , limite $1$ (nombre dérivé de $\exp$ en $0$ ).

\ell_1=\tfrac32,\quad \ell_2=\tfrac32,\quad \ell_3=2,\quad \ell_4=0,\quad \ell_5=1

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill LC-B.3 — limite trigonométrique usuelle

2 questionsCorrigé masqué

On calcule une limite trigonométrique usuelle en $0$ .

Réécrire $\dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}$ à l'aide de $\dfrac{\sin u}{u}$ et $\dfrac{\tan v}{v}$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}$ .

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1. $\dfrac{\sin(3x)}{\tan(2x)}=\dfrac{\sin(3x)}{3x}\cdot\dfrac{2x}{\tan(2x)}\cdot\dfrac{3}{2}$ .

2. Quand $x\to 0$ , on obtient $1\cdot 1\cdot\tfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$ . Conclusion : la limite vaut $\dfrac{3}{2}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill LC-B.x — $f(x)=2x+1-\e^{x}$ : asymptote oblique en $-\infty$ , branche parabolique en $+\infty$ (2021)

2 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x+1-\e^{x}$ et $\mathcal C_f$ sa courbe.

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ . Montrer que la droite $D:\ y=2x+1$ est asymptote à $\mathcal C_f$ en $-\infty$ ; interpréter.
Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ et déterminer la branche infinie de $\mathcal C_f$ en $+\infty$ .

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1. Idée : en $-\infty$ , $\e^x\to0$ et il ne reste que la partie affine. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim(2x+1)-0=-\infty$ . Et $f(x)-(2x+1)=-\e^x\to0^-$ : $D$ est asymptote oblique en $-\infty$ , la courbe restant au-dessous de $D$ (différence négative).

2. Idée : en $+\infty$ l'exponentielle l'emporte sur toute fonction affine ; pour la branche infinie on étudie $f(x)/x$ . $f(x)=\e^x\Big(\dfrac{2x+1}{\e^x}-1\Big)$ avec $\dfrac{2x+1}{\e^x}\to0$ (croissances comparées), donc $f(x)\to-\infty$ . Puis $\dfrac{f(x)}{x}=2+\dfrac1x-\dfrac{\e^x}{x}\to-\infty$ : $\mathcal C_f$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction $(Oy)$ (pas d'asymptote oblique).

Méthode / Automatismes

$\infty-\infty$ avec radicaux : conjugué $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$ (ou factoriser $\sqrt{x^2+\cdots}=x\sqrt{1+\cdots}$ pour $x>0$ ).
$\frac{0}{0}$ en $x=a$ : chercher le facteur $(x-a)$ commun (décomposition en facteurs). Règle de Bernoulli-L'Hôpital si l'énoncé l'autorise.
$\frac{\infty}{\infty}$ : factoriser par la plus grande puissance au dénominateur.
$0\times\infty$ : réécrire sous forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ , ou utiliser $\frac{e^t-1}{t}\to1$ , $\frac{\sin t}{t}\to1$ .

Pièges classiques

Écrire $\sqrt{x^2}=x$ sans vérifier que $x>0$ (pour $x<0$ on a $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ ). Appliquer la limite $\frac{\sin u}{u}\to1$ sans s'assurer que $u\to0$ (et non $u\to\infty$ ). Factoriser $(x-1)$ numérateur/dénominateur sans vérifier d'abord que $x=1$ est bien racine.

Variantes rencontrées : Limites en $\pm\infty$ impliquant $\ln$ ou $e^x$ (croissances comparées) ; FI $1^\infty$ (réécriture $u^v=e^{v\ln u}$ ).