LC-ELimites et continuité

Asymptotes horizontale et verticale — lecture de limites

Idée directrice

Une limite finie en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale $y=\ell$ ; une limite infinie en $x=a$ donne une asymptote verticale $x=a$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« droite y = 2 est une asymptote »

« droite x = 2 est une asymptote »

« asymptote verticale »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Toujours préciser le voisinage ( $+\infty$ , $a^-$ , $a^+$ ).
Horizontal $\Leftrightarrow$ limite finie en l'infini ; vertical $\Leftrightarrow$ limite infinie en un réel.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Dire « asymptote $y=2$ » sans dire au voisinage de $+\infty$ ; confondre verticale et horizontale.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ une fonction dont on a calculé des limites aux bornes du domaine (esprit bac sport 2021 / info 2016).

On a $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2$ . Quelle asymptote en déduit-on ?
On a $\lim_{x\to 2}f(x)=\pm\infty$ . Quelle asymptote en déduit-on ?
En une phrase, formuler la règle générale : limite finie en $+\infty$ ⇒ asymptote …… ; limite infinie en $x=a$ ⇒ asymptote …… .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : limite finie à l'infini $\Rightarrow$ asymptote horizontale. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ signifie que $f(x)-2\to0$ : la droite $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ .

2. Idée : limite infinie en un réel $\Rightarrow$ asymptote verticale. $\lim\limits_{x\to2}f(x)=\pm\infty$ : la droite $x=2$ est asymptote verticale (la courbe s'en approche indéfiniment de part ou d'autre selon le signe de la limite à gauche et à droite).

3. Règle : une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne l'asymptote horizontale $y=\ell$ ; une limite infinie en un réel $a$ donne l'asymptote verticale $x=a$ ; et $\lim\big[f(x)-(ax+b)\big]=0$ en $\pm\infty$ donne l'asymptote oblique $y=ax+b$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill LC-E.1 — Vocabulaire d'asymptote

Entraînement 01 / 02

Drill LC-E.1 — Vocabulaire d'asymptote

1 questionCorrigé masqué

Compléter : si $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$ , la droite $y=\ell$ est une asymptote …… au voisinage de …… ; si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ , la droite $x=a$ est une asymptote …… .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Horizontale ; $+\infty$ ; verticale. Autrement dit : $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$ ⇒ asymptote horizontale $y=\ell$ au voisinage de $+\infty$ ; $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ ⇒ asymptote verticale $x=a$ . C'est exactement le vocabulaire des corrigés sport 2021 ( $y=2$ , $x=2$ ) et info 2016/2017.

2 Transfert — décider de l'asymptote (ou de son absence) à chaque borne d'une fonction concrète

Entraînement 02 / 02

Transfert — décider de l'asymptote (ou de son absence) à chaque borne d'une fonction concrète

5 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Soit $f$ la fonction définie sur $D=\,]-\infty,0[\,\cup\,]0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x\,\e^{x}}{\e^{x}-1}$ . On note $\mathcal C_f$ sa courbe. À chaque borne du domaine, on calcule la limite puis on décide s'il y a une asymptote — et laquelle — ou s'il n'y en a pas. On rappelle que $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\e^{x}-1}{x}=1$ .

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ . Le dénominateur s'annule en $0$ : la droite $x=0$ est-elle pour autant une asymptote verticale à $\mathcal C_f$ ? Que peut-on dire de $f$ au voisinage de $0$ (prolongement par continuité) ?
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et en déduire l'asymptote à $\mathcal C_f$ au voisinage de $-\infty$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . Y a-t-il une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$ ?
Vérifier que pour tout $x\in D$ , $f(x)-x=\dfrac{x}{\e^{x}-1}$ . En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)$ , l'asymptote oblique $\Delta$ à $\mathcal C_f$ au voisinage de $+\infty$ et la position de $\mathcal C_f$ par rapport à $\Delta$ sur $]0,+\infty[$ .
Récapituler dans un tableau à trois lignes (borne, limite, asymptote ou absence d'asymptote) : $0$ , $-\infty$ , $+\infty$ .

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : un dénominateur nul n'entraîne une asymptote verticale que si la limite est infinie ; on écrit $f$ avec le quotient de référence. On pose, pour $x\in D$ , $f(x)=\e^{x}\cdot\dfrac{x}{\e^{x}-1}=\e^{x}\cdot\dfrac{1}{\frac{\e^{x}-1}{x}}$ . Or $\lim\limits_{x\to0}\e^{x}=1$ et $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\e^{x}-1}{x}=1$ , donc on obtient $\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$ . La limite est finie : la droite $x=0$ n'est pas une asymptote verticale. $f$ est prolongeable par continuité en $0$ en posant $f(0)=1$ ; la courbe présente simplement un « trou » au point $(0,1)$ .

2. Idée : en $-\infty$ , $x\e^{x}\to0$ (croissances comparées) et $\e^{x}-1\to-1$ . $\lim\limits_{x\to-\infty}x\e^{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}(\e^{x}-1)=-1$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\dfrac{0}{-1}=0$ . Limite finie en $-\infty$ : la droite $y=0$ (axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal C_f$ au voisinage de $-\infty$ .

3. Idée : factoriser par le terme dominant $\e^{x}$ . Pour $x>0$ , $f(x)=\dfrac{x\,\e^{x}}{\e^{x}(1-\e^{-x})}=\dfrac{x}{1-\e^{-x}}$ . Comme $\lim\limits_{x\to+\infty}\e^{-x}=0$ , le dénominateur tend vers $1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . Limite infinie en $+\infty$ : aucune asymptote horizontale de ce côté.

4. Idée : une limite infinie en $+\infty$ laisse ouverte la question de l'asymptote oblique ; on étudie $f(x)-x$ . Pour $x\in D$ : $f(x)-x=\dfrac{x\,\e^{x}-x(\e^{x}-1)}{\e^{x}-1}=\dfrac{x}{\e^{x}-1}$ . Pour $x>0$ , $\dfrac{x}{\e^{x}-1}=\dfrac{x\,\e^{-x}}{1-\e^{-x}}$ avec $x\e^{-x}\to0$ et $1-\e^{-x}\to1$ , d'où $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=0$ . La droite $\Delta:y=x$ est donc asymptote oblique à $\mathcal C_f$ au voisinage de $+\infty$ . Position : pour $x>0$ , $\e^{x}-1>0$ donc $f(x)-x>0$ : $\mathcal C_f$ est au-dessus de $\Delta$ sur $]0,+\infty[$ .

5. Idée : le tableau récapitule la décision prise à chaque borne.

Borne	Limite de $f$	Décision
$x\to0$	$1$ (finie)	pas d'asymptote verticale, prolongement par continuité en $(0,1)$
$x\to-\infty$	$0$ (finie)	asymptote horizontale $y=0$
$x\to+\infty$	$+\infty$ (infinie)	pas d'asymptote horizontale ; asymptote oblique $\Delta:y=x$ , courbe au-dessus

\boxed{\lim_{x\to0}f(x)=1,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=0}

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Asymptotes horizontale et verticale — lecture de limites

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill LC-E.1 — Vocabulaire d'asymptote

Transfert — décider de l'asymptote (ou de son absence) à chaque borne d'une fonction concrète

Relier ce raisonnement au bac