LC-ELimites et continuité

Asymptotes horizontale et verticale — lecture de limites

Idée directrice

Une limite finie en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale $y=\ell$ ; une limite infinie en $x=a$ donne une asymptote verticale $x=a$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« droite y = 2 est une asymptote »

« droite x = 2 est une asymptote »

« asymptote verticale »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ une fonction dont on a calculé des limites aux bornes du domaine (esprit bac sport 2021 / info 2016).

On a $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2$ . Quelle asymptote en déduit-on ?
On a $\lim_{x\to 2}f(x)=\pm\infty$ . Quelle asymptote en déduit-on ?
En une phrase, formuler la règle générale : limite finie en $+\infty$ ⇒ asymptote …… ; limite infinie en $x=a$ ⇒ asymptote …… .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : limite finie à l'infini $\Rightarrow$ asymptote horizontale. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$ signifie que $f(x)-2\to0$ : la droite $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ .

2. Idée : limite infinie en un réel $\Rightarrow$ asymptote verticale. $\lim\limits_{x\to2}f(x)=\pm\infty$ : la droite $x=2$ est asymptote verticale (la courbe s'en approche indéfiniment de part ou d'autre selon le signe de la limite à gauche et à droite).

3. Règle : une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne l'asymptote horizontale $y=\ell$ ; une limite infinie en un réel $a$ donne l'asymptote verticale $x=a$ ; et $\lim\big[f(x)-(ax+b)\big]=0$ en $\pm\infty$ donne l'asymptote oblique $y=ax+b$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LC-E.1 — Vocabulaire d'asymptote

1 questionCorrigé masqué

Compléter : si $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$ , la droite $y=\ell$ est une asymptote …… au voisinage de …… ; si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ , la droite $x=a$ est une asymptote …… .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Horizontale ; $+\infty$ ; verticale. Autrement dit : $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\in\mathbb{R}$ ⇒ asymptote horizontale $y=\ell$ au voisinage de $+\infty$ ; $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ ⇒ asymptote verticale $x=a$ . C'est exactement le vocabulaire des corrigés sport 2021 ( $y=2$ , $x=2$ ) et info 2016/2017.

Méthode / Automatismes

Toujours préciser le voisinage ( $+\infty$ , $a^-$ , $a^+$ ).
Horizontal $\Leftrightarrow$ limite finie en l'infini ; vertical $\Leftrightarrow$ limite infinie en un réel.

Pièges classiques

Dire « asymptote $y=2$ » sans dire au voisinage de $+\infty$ ; confondre verticale et horizontale.