DR-BDérivabilité

Dérivée, variations et extrema — $f=g-g^2$ avec $g(x)=x\mathrm{e}^{x}$

Idée directrice

Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 4 (mode fonction_xe_x) : on part de $g(x)=x e^{x}$ , on construit $f=g-g^2$ , on dérive, on dresse le tableau de variation, on lit les extrema, puis une aire via une intégrale. Cœur : dérivée + variations, pas un calcul de limite isolé.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $f(x)=g(x)-(g(x))^2$ avec $g(x)=xe^{x}$ »

« Montrer que $f'(x)=2g'(x)(\tfrac12-g(x))$ »

« Dresser le tableau de variation de $f$ »

« Montrer que l'aire $\Omega=\int_0^{\alpha}x^2 e^{2x}\,dx$ »

Sujet principal

Exercice — étude composite de $f=g-g^{2}$ (esprit 2021 contrôle, ex.4)

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\mathrm{e}^{x}$ . Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=g(x)-(g(x))^2$ . On se propose d'étudier la dérivabilité de $f$ , ses variations et ses extrema, puis une aire.

Calculer $f'(x)$ en fonction de $g'(x)$ et de $g(x)$ . Montrer que $f'(x)=2g'(x)\bigl(\tfrac12-g(x)\bigr)$ .
Étudier le signe de la dérivée $f'$ et dresser le tableau de variation de $f$ . Préciser les extrema locaux de $f$ .
Montrer que $f$ est croissante sur un intervalle $I$ et décroissante sur un intervalle $J$ que l'on précisera.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et interpréter. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
Soit $\alpha$ le réel tel que $g(\alpha)=1$ . Montrer que l'aire $\Omega$ du domaine situé entre la courbe de $x\mapsto x^2\mathrm{e}^{2x}$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=\alpha$ vaut $\displaystyle\int_0^{\alpha} x^2\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$ , et calculer cette intégrale par une primitive.

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1. Idée : dérivée d'un produit pour $g$ , puis règle de la chaîne pour $g^2$ . $g'(x)=\e^x+x\e^x=(x+1)\e^x$ . Comme $f=g-g^2$ , $f'=g'-2gg'=g'(1-2g)=2g'\Big(\dfrac12-g\Big)$ .

2. Idée : deux facteurs, deux zéros ; le second demande une étude de $g$ . $g'(x)=0\iff x=-1$ ; $g'<0$ sur $]-\infty,-1[$ , $g'>0$ sur $]-1,+\infty[$ . La fonction $g$ décroît de $0$ (limite en $-\infty$ , car $x\e^x\to0$ ) à $g(-1)=-\dfrac1{\e}$ puis croît vers $+\infty$ ; elle est continue et strictement croissante sur $[-1,+\infty[$ avec $g(0)=0<\dfrac12$ , donc l'équation $g(x)=\dfrac12$ admet une unique solution $\beta>0$ ( $\beta\approx0{,}35$ ), et $\dfrac12-g(x)>0\iff x<\beta$ . Tableau de signe de $f'=2g'\big(\tfrac12-g\big)$ :

sur $]-\infty,-1[$ : $g'<0$ et $\tfrac12-g>0$ , donc $f'<0$ , $f$ décroissante ;
sur $]-1,\beta[$ : $g'>0$ et $\tfrac12-g>0$ , donc $f'>0$ , $f$ croissante ;
sur $]\beta,+\infty[$ : $g'>0$ et $\tfrac12-g<0$ , donc $f'<0$ , $f$ décroissante.

Extrema : minimum local en $-1$ , $f(-1)=-\dfrac1{\e}-\dfrac1{\e^2}\approx-0{,}50$ ; maximum local en $\beta$ , $f(\beta)=\dfrac12-\dfrac14=\boxed{\dfrac14}$ (car $g(\beta)=\tfrac12$ ).

3. D'après le tableau, $f$ est croissante sur $I=[-1,\beta]$ et décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty,-1]$ et $[\beta,+\infty[$ (ensemble $J$ ).

4. En $-\infty$ : $g(x)\to0$ donc $f(x)=g-g^2\to0$ ; l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en $-\infty$ . En $+\infty$ : $g\to+\infty$ et $f=g(1-g)\to-\infty$ .

5. Idée : positivité de l'intégrande, puis primitive de $x^2\e^{2x}$ par deux intégrations par parties. Sur $[0,\alpha]$ , $x^2\e^{2x}\geq0$ , donc l'aire est bien $\Omega=\displaystyle\int_0^{\alpha}x^2\e^{2x}\,\dd x$ . On vérifie (ou l'on obtient par deux IPP) que $F(x)=\Big(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}+\dfrac14\Big)\e^{2x}$ est une primitive : $F'(x)=\Big(x-\dfrac12\Big)\e^{2x}+2\Big(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac x2+\dfrac14\Big)\e^{2x}=x^2\e^{2x}$ . D'où $\Omega=F(\alpha)-F(0)=\Big(\dfrac{\alpha^2}{2}-\dfrac{\alpha}{2}+\dfrac14\Big)\e^{2\alpha}-\dfrac14$ . Comme $\alpha\e^{\alpha}=1$ , $\e^{2\alpha}=\dfrac1{\alpha^2}$ et

\Omega=\frac12-\frac1{2\alpha}+\frac1{4\alpha^2}-\frac14=\Big(\frac{1-\alpha}{2\alpha}\Big)^2\ \text{u.a.}\qquad(\alpha\approx0{,}567,\ \Omega\approx0{,}15)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill DR-B.1 — dérivée factorisée de $g-g^2$

2 questionsCorrigé masqué

Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x\mathrm{e}^{x}$ et $f=g-g^2$ . On s'entraîne sur la dérivée et le sens de variation.

Montrer que $f'(x)=2g'(x)\bigl(\tfrac12-g(x)\bigr)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .
En déduire le signe de $f'$ sur $]-1,\beta[$ où $\beta$ vérifie $g(\beta)=\tfrac12$ et $g'(\beta)>0$ , puis préciser si $f$ y est croissante ou décroissante.

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1. $f=g-g^2$ donne $f'=g'-2gg'=g'(1-2g)=2g'(\tfrac12-g)$ . La dérivée est donc bien $f'(x)=2g'(x)\bigl(\tfrac12-g(x)\bigr)$ .

2. Sur $]-1,\beta[$ , $g'>0$ (car $x>-1$ ) et $g(x)<\tfrac12$ (car $g$ croissante sur $[-1,+\infty[$ et $g(\beta)=\tfrac12$ ), donc $\tfrac12-g>0$ et $f'>0$ : $f$ est croissante sur $]-1,\beta[$ .

Entraînement 02 / 02

Drill DR-B.x — signe de $x+\ln(1+x)$ par l'étude d'une fonction auxiliaire (2020)

4 questionsCorrigé masqué

Soit $h$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par $h(x)=x+\ln(1+x)$ .

Montrer que $h$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ et calculer $h'(x)$ .
Montrer que $x+\ln(1+x)>0$ si et seulement si $x>0$ .
Dresser le tableau de variations de $h$ et écrire l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $0$ .
En déduire le signe de $\dfrac{x+\ln(1+x)}{(1+x)^2}$ sur $]-1;+\infty[$ .

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1. Idée : somme de fonctions dérivables. $x\mapsto x$ est dérivable sur $\R$ et $x\mapsto\ln(1+x)$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ (composée de $\ln$ et d'une affine à valeurs dans $]0;+\infty[$ ). $h'(x)=1+\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{x+2}{1+x}$ .

2. Idée : une fonction strictement croissante qui s'annule en $0$ a le signe de $x$ . Pour $x>-1$ , $x+2>0$ et $1+x>0$ donc $h'(x)>0$ : $h$ est strictement croissante. $h(0)=0+\ln1=0$ . Donc $h(x)>h(0)=0\iff x>0$ et $h(x)<0\iff-1<x<0$ . $\boxed{x+\ln(1+x)>0\iff x>0}$

3. Idée : $h'>0$ partout ; la tangente en $0$ a pour pente $h'(0)$ . $h$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$ , de $\lim_{x\to-1^+}h(x)=-\infty$ à $\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$ . $h'(0)=2$ et $h(0)=0$ : la tangente en $0$ a pour équation $y=2x$ . Comme $\ln(1+x)\leq x$ , la courbe est sous cette tangente pour $x>0$ .

4. Idée : le dénominateur est un carré strictement positif. $(1+x)^2>0$ sur $]-1;+\infty[$ : le quotient a le signe de $h(x)$ , négatif sur $]-1;0[$ , nul en $0$ , positif sur $]0;+\infty[$ . C'est typiquement le signe d'une dérivée dont on déduit un tableau de variations.

Méthode / Automatismes

Factoriser $f'=g'(1-2g)$ avant de chercher le signe.
Tableau de variation : lignes $g'$ , $\tfrac12-g$ , $f'$ , $f$ .
Extrema : changer de signe de $f'$ , pas seulement $f'=0$ .
Aire positive : vérifier le signe de l'intégrande sur l'intervalle.

Pièges classiques

Oublier le facteur $2$ dans $f'=2g'(\tfrac12-g)$ . Confondre les zéros de $g'$ et ceux de $\tfrac12-g$ . Calculer l'aire sans s'assurer que $x^2e^{2x}\ge 0$ .

Dérivée, variations et extrema — f=g−g2f=g-g^2f=g−g2 avec g(x)=xexg(x)=x\mathrm{e}^{x}g(x)=xex

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Dérivée, variations et extrema — $f=g-g^2$ avec $g(x)=x\mathrm{e}^{x}$