S-HIsométries et similitudes

L'exercice de géométrie complet : déplacement, rotation, similitude directe et composée

Idée directrice

Le premier ou le deuxième exercice du bac (4 à 5 points, les 22 sessions) part d'une configuration (carré, triangle équilatéral, losange) et fait reconnaître successivement un déplacement (existence, angle, centre), une similitude directe (rapport, angle, centre), puis une composée dont la nature se déduit du rapport et de l'angle. La dernière question renverse le mouvement : trouver l'ensemble des points $M$ dont l'image vérifie une condition, c'est appliquer la transformation réciproque.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer qu'il existe un unique déplacement $f$ qui envoie … sur … » ; « montrer que $f$ est une rotation d'angle … ; déterminer son centre » ; « soit $s$ la similitude directe qui envoie … » ; « montrer que $s$ est de rapport … et d'angle … » ; « en déduire que … est le centre de $s$ » ; « déterminer l'ensemble des points $M$ tels que … ».

Sujet principal

Exercice 2 — géométrie (5 points), dans l’esprit de la session 2023

5 questionsCorrigé masqué

Dans le plan orienté, on considère un carré $ABCD$ de centre $O$ tel que $\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AD}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ . On note $I$ le milieu de $[AB]$ , $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[AD]$ .

1. Montrer qu'il existe un unique déplacement $f$ qui envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$ .
2. Justifier que $f$ n'est pas une translation, puis montrer que $f$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et déterminer son centre.
3. Une isométrie conserve les milieux : déterminer $f(I)$ .
Soit $s$ la similitude directe qui envoie $B$ sur $O$ et $C$ sur $D$ .
1. Justifier que $s$ a pour rapport $\dfrac{\sqrt2}{2}$ et pour angle $\dfrac{\pi}{4}$ .
2. Montrer que $A$ est le centre de $s$ .
3. Montrer que $s(O)=K$ .
On pose $g=s\circ s$ .
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $g$ .
2. En déduire que $g=h\circ r$ , où $h$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac12$ et $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .
Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $s(M)$ appartienne à la droite $(OD)$ .
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $(A,\vec{AB},\vec{AD})$ . Donner l'écriture complexe de $f$ puis celle de $s$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : un déplacement est déterminé par deux points et leurs images, à condition que les distances soient conservées. $AB=BC$ (côtés du carré), donc il existe un unique déplacement $f$ tel que $f(A)=B$ et $f(B)=C$ .

1.b Idée : l'angle d'un déplacement est l'angle d'un vecteur et de son image. $\big(\widehat{\vec{AB},\vec{BC}}\big)=\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AD}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ car $\vec{BC}=\vec{AD}$ ; cet angle n'est pas nul, donc $f$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ . Son centre $\Omega$ vérifie $\Omega A=\Omega B$ et $\Omega B=\Omega C$ : il est sur les médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$ , qui se coupent en $O$ . De plus $\big(\widehat{\vec{OA},\vec{OB}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ (diagonales perpendiculaires d'un carré direct). Ainsi $f$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .

1.c Idée : une isométrie conserve les milieux. $f(A)=B$ et $f(B)=C$ , donc $f(I)$ est le milieu de $[BC]$ : $f(I)=J$ .

2.a Idée : rapport $=\dfrac{\text{longueur image}}{\text{longueur}}$ , angle $=$ angle d'un vecteur et de son image. Rapport $k=\dfrac{OD}{BC}$ ; si $a$ est le côté, $OD=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ (demi-diagonale) et $BC=a$ , d'où $k=\dfrac{\sqrt2}{2}$ . Angle $\theta=\big(\widehat{\vec{BC},\vec{OD}}\big)$ : $\vec{BC}=\vec{AD}$ et $\big(\widehat{\vec{AD},\vec{OD}}\big)=\big(\widehat{\vec{AD},\vec{BD}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{4}$ (la diagonale $(BD)$ est bissectrice de l'angle en $D$ ). Donc $\theta\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$ .

2.b Idée : le centre est le point fixe ; on vérifie que $A$ « voit » $B\mapsto O$ avec le bon rapport et le bon angle. $\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AO}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{4}$ (diagonale bissectrice) : la similitude directe de centre $A$ , de rapport $\dfrac{\sqrt2}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ envoie $B$ sur $O$ ; elle envoie aussi $C$ sur $D$ car $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\big(\widehat{\vec{AC},\vec{AD}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{4}$ . Par unicité de la similitude directe envoyant $B$ sur $O$ et $C$ sur $D$ , $A$ est le centre de $s$ .

2.c $s(O)$ est le point $P$ tel que $AP=\dfrac{\sqrt2}{2}\,AO=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac a2$ et $\big(\widehat{\vec{AO},\vec{AP}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{4}$ ; or $\big(\widehat{\vec{AO},\vec{AD}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{4}$ et $AK=\dfrac a2$ : $P=K$ . Donc $s(O)=K$ .

3.a Idée : composer deux similitudes directes de même centre multiplie les rapports et ajoute les angles. $g=s\circ s$ est la similitude directe de centre $A$ , de rapport $\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)^2=\dfrac12$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ . On vérifie : $g(B)=s(O)=K$ , et en effet $AK=\dfrac12 AB$ avec $\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AK}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ .

3.b $h\circ r$ est la composée de la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac12$ : c'est la similitude directe de centre $A$ , de rapport $\dfrac12$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ , c'est-à-dire $g$ . (Comme $h$ et $r$ ont le même centre, on a aussi $g=r\circ h$ .)

4. Idée : $s(M)\in(OD)\iff M\in s^{-1}\big((OD)\big)$ , et l'image d'une droite par une similitude est une droite. $s^{-1}(O)=B$ et $s^{-1}(D)=C$ , donc $s^{-1}\big((OD)\big)=(BC)$ . L'ensemble cherché est la droite $(BC)$ .

5. Dans $(A,\vec{AB},\vec{AD})$ : $A(0)$ , $B(1)$ , $C(1+\i)$ , $D(\i)$ , $O\Big(\dfrac{1+\i}{2}\Big)$ . Rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ : $z'-z_O=\i(z-z_O)$ , soit $z'=\i z+z_O(1-\i)=\i z+\dfrac{(1+\i)(1-\i)}{2}$ :

f:\ z'=\i z+1\qquad\text{(vérification : } f(0)=1=z_B,\ f(1)=1+\i=z_C\text{)}

Similitude directe de centre $A(0)$ , de rapport $\dfrac{\sqrt2}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ : $z'=\dfrac{\sqrt2}{2}\e^{\i\pi/4}z$ , et $\dfrac{\sqrt2}{2}\e^{\i\pi/4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\Big(\dfrac{\sqrt2}{2}+\i\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)=\dfrac{1+\i}{2}$ :

s:\ z'=\frac{1+\i}{2}\,z\qquad\text{(vérification : } s(1)=z_O,\ s(1+\i)=\tfrac{(1+\i)^2}{2}=\i=z_D\text{)}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill S-H.1 — antidéplacement qui n’est pas une réflexion

3 questionsCorrigé masqué

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$ . Soit $g$ l'antidéplacement qui envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$ .

Justifier que $g$ est une symétrie glissante.
Déterminer $g\circ g$ et en déduire le vecteur de $g$ .
Montrer que l'axe de $g$ est la droite $(IJ)$ .

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1. Idée : le seul antidéplacement qui n'est pas une réflexion est une symétrie glissante. Si $g$ était une réflexion d'axe $\Delta$ , $g(A)=B$ imposerait $\Delta=$ médiatrice de $[AB]$ , et alors $g(B)=A\neq C$ . Donc $g$ n'est pas une réflexion : c'est une symétrie glissante $g=S_\Delta\circ t_{\vec u}$ avec $\vec u$ directeur de $\Delta$ .

2. $g\circ g=t_{2\vec u}$ (la réflexion s'annule, les translations s'ajoutent). Or $g\circ g(A)=g(B)=C$ , donc $2\vec u=\vec{AC}$ et $\vec u=\dfrac12\vec{AC}$ .

3. Idée : l'axe d'une symétrie glissante passe par le milieu de $[M\,g(M)]$ pour tout $M$ . Il passe par $I$ (milieu de $[A\,g(A)]=[AB]$ ) et par $J$ (milieu de $[B\,g(B)]=[BC]$ ) ; comme $I\neq J$ , l'axe est $(IJ)$ . Cohérence : $(IJ)$ est parallèle à $(AC)$ , direction de $\vec u$ .

Entraînement 02 / 02

Drill S-H.2 — deux rotations, un losange

3 questionsCorrigé masqué

Soit $ABC$ un triangle rectangle et isocèle en $A$ , de sens direct, et $O$ le milieu de $[BC]$ . On note $r_1$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et $r_2$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .

Déterminer $r_1(B)$ et $r_2(B)$ .
Montrer que $r_2\circ r_1$ est une symétrie centrale et préciser son centre.
Soit $A'=r_2(A)$ . Montrer que $ABA'C$ est un carré.

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1. $AB=AC$ et $\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ (triangle rectangle isocèle direct), donc $r_1(B)=C$ . $OB=OC$ et $\big(\widehat{\vec{OB},\vec{OC}}\big)\equiv\pi$ , donc $r_2(B)\neq C$ ; $r_2(B)$ est le point $B'$ tel que $OB'=OB$ et $\big(\widehat{\vec{OB},\vec{OB'}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ : comme $OA=OB$ et $\big(\widehat{\vec{OB},\vec{OA}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}$ (la médiane $[OA]$ est perpendiculaire à $(BC)$ , dans le sens direct), $r_2(B)=A$ .

2. Idée : la composée de deux rotations est une rotation d'angle la somme des angles. $r_2\circ r_1$ est un déplacement d'angle $\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\pi$ : une symétrie centrale. $r_2\circ r_1(B)=r_2(C)$ ; $r_2(C)$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ (car $r_2(B)=A$ et $C$ est le symétrique de $B$ par rapport à $O$ ), notons-le $A'$ . Le centre de la symétrie est le milieu de $[BA']$ , c'est-à-dire le milieu de $[BA']$ où $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ : le quadrilatère $ABA'C$ ayant ses diagonales $[AA']$ et $[BC]$ de même milieu $O$ , le centre cherché est le milieu de $[BA']$ , milieu du côté du parallélogramme.

3. $[AA']$ et $[BC]$ ont même milieu $O$ et même longueur ( $OA=OB$ , donc $AA'=BC$ ) et sont perpendiculaires : $ABA'C$ est un parallélogramme dont les diagonales sont égales et perpendiculaires, c'est un carré.

Méthode / Automatismes

Existence d'un déplacement $A\mapsto A'$ , $B\mapsto B'$ : vérifier $AB=A'B'$ et le dire ; angle $=\big(\widehat{\vec{AB},\vec{A'B'}}\big)$ ; centre $=$ intersection des médiatrices $[AA']$ et $[BB']$ , confirmée par l'angle.
Similitude directe $M\mapsto M'$ , $N\mapsto N'$ : rapport $\dfrac{M'N'}{MN}$ , angle $\big(\widehat{\vec{MN},\vec{M'N'}}\big)$ ; pour le centre, tester le point que la figure suggère avec rapport et angle depuis ce point, puis invoquer l'unicité.
Composée de similitudes directes de même centre : rapports multipliés, angles ajoutés ; rapport $1$ $\Rightarrow$ rotation, angle nul $\Rightarrow$ homothétie.
Ensemble des $M$ tels que $s(M)\in\Delta$ : c'est $s^{-1}(\Delta)$ , la droite passant par les images réciproques de deux points de $\Delta$ .
Écriture complexe : rotation $z'-\omega=\e^{\i\theta}(z-\omega)$ , similitude directe $z'-\omega=k\e^{\i\theta}(z-\omega)$ ; toujours vérifier sur un point connu.

Pièges classiques

Annoncer une rotation sans vérifier que l'angle est non nul (une translation est aussi un déplacement) ; confondre l'angle $\big(\widehat{\vec{BC},\vec{OD}}\big)$ avec l'angle géométrique non orienté ; pour la composée $s\circ s$ , ajouter les rapports au lieu de les multiplier ; pour l'ensemble des $M$ , prendre l'image de $(OD)$ au lieu de son image réciproque ; enfin, dans l'écriture complexe, oublier que le centre $O$ n'est pas l'origine du repère.