FR-CFonctions réciproques

Dérivée de la réciproque et application

Idée directrice

Si $f$ est dérivable et bijective avec $f'(x)\neq0$ , sa réciproque $f^{-1}$ est dérivable et sa dérivée est donnée par $(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ , ou encore $(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ . Cette formule permet de calculer les dérivées de $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ sans les redémontrer entièrement, et de trouver la tangente à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ en un point à partir de la tangente à $\mathcal{C}_f$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $(f^{-1})'(y_0)$ en utilisant la dérivée de la réciproque » ; « En déduire l'équation de la tangente à la courbe de $f^{-1}$ » ; « Sachant que $f(a)=b$ , calculer $(f^{-1})'(b)$ ».

Sujet principal

Exercice 4 — dérivée de la réciproque

4 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=x^3+x$ définie sur $\R$ .

Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ sur $\R$ .
Montrer que $f(1)=2$ , puis calculer $(f^{-1})'(2)$ .
En déduire l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ au point d'abscisse $2$ .
En utilisant la symétrie des courbes, retrouver l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ , et vérifier.

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1. $f'(x)=3x^2+1\geq1>0$ : $f$ est continue et strictement croissante sur $\R$ , de limites $-\infty$ et $+\infty$ : bijection de $\R$ sur $\R$ .

2. $f(1)=1+1=2$ . Idée : $(f^{-1})'(f(a))=\dfrac{1}{f'(a)}$ . $f'(1)=4\neq0$ , donc $(f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\boxed{\dfrac14}$ .

3. $f^{-1}(2)=1$ ; la tangente à $\mathcal C_{f^{-1}}$ au point $(2,1)$ est $y=\dfrac14(x-2)+1$ , soit $y=\dfrac14x+\dfrac12$ .

4. Idée : la symétrie d'axe $y=x$ échange abscisses et ordonnées, donc inverse les pentes. L'image de cette tangente est la droite $x=\dfrac14y+\dfrac12$ , soit $y=4x-2$ : c'est la tangente à $\mathcal C_f$ en $(1,2)$ . Vérification directe : $y=f'(1)(x-1)+f(1)=4x-2$ ✓.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill FR-C.1 — composée $f\circ f^{-1}$

1 questionCorrigé masqué

Soit $f$ bijective dérivable. Simplifier $f(f^{-1}(x))$ et $f^{-1}(f(x))$ , puis retrouver la relation entre $f'$ et $(f^{-1})'$ .

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Montrons que $(f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(f^{-1}(x))}$ . De $f(f^{-1}(x))=x$ , en dérivant : $f'(f^{-1}(x))\cdot(f^{-1})'(x)=1$ , par suite la formule.

Entraînement 02 / 02

Drill FR-C.3 — équation via la réciproque

2 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=x+\sqrt{x}$ définie sur $[0,+\infty[$ .

Vérifier que $f$ est bijective de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$ .
Résoudre $f(x)=6$ (on pourra poser $t=\sqrt{x}$ ).

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1. $f'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0$ sur $]0,+\infty[$ , $f$ continue strictement croissante, $f(0)=0$ , $f\to+\infty$ , d'où bijection sur $[0,+\infty[$ .

2. $t=\sqrt{x}\ge 0$ : $t^2+t-6=0\iff (t+3)(t-2)=0$ , d'où $t=2$ et $x=4$ .

Méthode / Automatismes

Formule clé : $(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}$ où $x_0=f^{-1}(y_0)$ , i.e., $f(x_0)=y_0$ . Identifier d'abord $x_0$ .
Point de départ : trouver $x_0$ tel que $f(x_0)=y_0$ (souvent donné ou devinable par l'énoncé).
Symétrie des tangentes : si la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $(a,b)$ a pour pente $m$ , la tangente à $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ en $(b,a)$ a pour pente $1/m$ (image par la symétrie $y=x$ ).
Ne jamais appliquer la formule si $f'(x_0)=0$ (la réciproque n'est pas dérivable en ce point).

Pièges classiques

Écrire $(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(y_0)}$ (erreur : on doit évaluer $f'$ en $x_0=f^{-1}(y_0)$ , pas en $y_0$ ). Omettre de chercher $x_0$ avant d'appliquer la formule. Confondre la pente de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $(a,b)$ avec celle en $(b,a)$ .

Variantes rencontrées : Calcul de $(\arctan)'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ et $(\arcsin)'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ par cette formule.