FR-DFonctions réciproques

Bijection et fonction réciproque g = f⁻¹

Idée directrice

Montrer qu'une fonction $f:I\to J$ est une bijection (continue, strictement monotone), introduire la fonction réciproque $g=f^{-1}$ , en donner une expression, et étudier $g'$ ou $g(x)=x$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« f réalise une bijection »

« fonction réciproque de f »

« k la fonction réciproque de h »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ (esprit m-c2-03).

Rappeler le théorème qui assure que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ .
Soit $g$ la fonction réciproque de $f$ . Que vaut $g(f(x))$ pour $x\in I$ ? et $f(g(y))$ pour $y\in J$ ?
Si $g$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ avec $f'(x_0)\neq 0$ , rappeler la formule de $g'(y_0)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Théorème de la bijection : si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=f(I)$ , et $f^{-1}$ est continue, strictement monotone de même sens sur $J$ .

2. Par définition de la réciproque : $g(f(x))=x$ pour tout $x\in I$ et $f(g(y))=y$ pour tout $y\in J$ ( $g\circ f=\mathrm{id}_I$ , $f\circ g=\mathrm{id}_J$ ). Graphiquement, $\mathcal C_g$ est la symétrique de $\mathcal C_f$ par rapport à $y=x$ .

3. Idée : dériver $f(g(y))=y$ . Si $f$ est dérivable en $x_0=g(y_0)$ avec $f'(x_0)\neq0$ , alors $g$ est dérivable en $y_0$ et

g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'\big(g(y_0)\big)}

Si $f'(x_0)=0$ , $\mathcal C_g$ admet en $y_0$ une tangente verticale (cas de $\sqrt{\ }$ en $0$ , réciproque de $x^2$ sur $[0,+\infty[$ ).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill FR-D.1 — Équation g(x) = x

1 questionCorrigé masqué

Le devoir m-c2-03 demande de montrer que $g(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ . Quelle propriété de $g$ (liée à $g'$ ) utilise-t-on typiquement, et pourquoi $\alpha$ est-il aussi point fixe de $f$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Si $0<g'(x)\le m<1$ (ou par étude du signe de $g(x)-x$ ), l'équation $g(x)=x$ admet une unique racine $\alpha$ . Comme $g=f^{-1}$ , $g(\alpha)=\alpha$ implique $f(\alpha)=\alpha$ : même point fixe. C'est le raisonnement du devoir m-c2-03 (Q3b : solution unique $\alpha\in I$ pour $g(x)=x$ ).

Méthode / Automatismes

Toujours préciser $I$ et $J=f(I)$ avant d'écrire $g$ .
Courbes de $f$ et $g$ symétriques par rapport à $y=x$ .

Pièges classiques

Confondre $g=1/f$ et $g=f^{-1}$ ; appliquer $g'$ si $f'=0$ .