FR-BFonctions réciproques

Fonction réciproque : existence, expression, courbes symétriques

Idée directrice

Une fonction bijective $f:I\to J$ admet une réciproque $f^{-1}:J\to I$ vérifiant $f^{-1}(f(x))=x$ et $f(f^{-1}(y))=y$ . Les graphes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ . L'expression de $f^{-1}$ s'obtient en résolvant $y=f(x)$ en $x$ (puis en interchangeant les rôles de $x$ et $y$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ et déterminer son expression » ; « Les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont-elles symétriques ? Par rapport à quelle droite ? » ; « Résoudre $y=f(x)$ en $x$ ».

Sujet principal

Exercice 3 — existence et expression de la réciproque

5 questionsCorrigé masqué

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+2x$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ , puis déterminer l'image $J=f\!\left([0;+\infty[\right)$ .
Justifier que $f$ est une bijection de $[0;+\infty[$ sur $J$ , et qu'elle admet donc une réciproque $f^{-1}:J\to[0;+\infty[$ .
Déterminer l'expression de $f^{-1}(x)$ pour $x\in J$ .
1. Poser $y=x^2+2x$ et résoudre en $x\geq0$ .
2. En déduire $f^{-1}(x)$ .
Décrire la relation géométrique entre les courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ . Sur un même repère, tracer les deux courbes et l'axe de symétrie.
Vérifier : calculer $f^{-1}(f(2))$ et $f(f^{-1}(8))$ .

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1. $f'(x)=2x+2\geq2>0$ sur $[0,+\infty[$ : $f$ est strictement croissante ; $f(0)=0$ et $\lim\limits_{+\infty}f=+\infty$ , donc $J=f([0,+\infty[)=[0,+\infty[$ .

2. Idée : le théorème de la bijection. $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0,+\infty[$ : elle réalise une bijection de $[0,+\infty[$ sur $J$ et admet une réciproque $f^{-1}:J\to[0,+\infty[$ .

3. Idée : forme canonique. $y=x^2+2x=(x+1)^2-1\iff(x+1)^2=y+1\iff x=-1+\sqrt{y+1}$ (racine positive car $x+1\geq1>0$ ). Donc

f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}-1,\qquad x\in[0,+\infty[

4. Les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_{f^{-1}}$ sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la première bissectrice $y=x$ ; elles se coupent sur cette droite, en $O$ (solution de $f(x)=x$ , soit $x^2+x=0$ avec $x\geq0$ ).

5. $f(2)=8$ , $f^{-1}(8)=\sqrt9-1=2$ : $f^{-1}(f(2))=2$ ✓ ; $f(f^{-1}(8))=f(2)=8$ ✓.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill FR-B.1 — dérivée de $\arctan$

1 questionCorrigé masqué

Sachant que $\tan'=1+\tan^2$ , retrouver $(\arctan)'(x)=\dfrac1{1+x^2}$ .

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Montrons que $(\arctan)'(x)=\dfrac1{1+x^2}$ . Soit $g=\arctan$ ; on a $\tan(g(x))=x$ . En dérivant : $g'(x)\,(1+\tan^2(g(x)))=1$ . Or $\tan(g(x))=x$ , par suite $g'(x)(1+x^2)=1$ . Conclusion : $g'(x)=\dfrac1{1+x^2}$ , ce qui prouve la formule demandée.

Entraînement 02 / 02

Drill FR-B.2 — racine $n$ -ième

1 questionCorrigé masqué

Soit $f(x)=x^5$ sur $[0,+\infty[$ , de réciproque $g(x)=x^{1/5}$ . Calculer $g'(32)$ .

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On pose $g=f^{-1}$ . On a : $g'(32)=\dfrac1{f'(2)}$ car $2^5=32$ , et $f'(2)=80$ . On obtient $\dfrac1{80}$ . Conclusion : $g'(32)=\dfrac1{80}$ .

Méthode / Automatismes

Bijection : une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective sur son image (qui est un intervalle).
Expression de $f^{-1}$ : poser $y=f(x)$ , résoudre en $x$ en n'oubliant pas la contrainte sur le domaine ( $x\geq0$ , $x\in I$ …), puis échanger $x$ et $y$ .
Symétrie : si $(a,b)\in\mathcal{C}_f$ alors $(b,a)\in\mathcal{C}_{f^{-1}}$ . L'axe $y=x$ est l'axe de la symétrie axiale échangeant les deux courbes.
Vérification : $f^{-1}(f(x))=x$ et $f(f^{-1}(y))=y$ — toujours vérifier sur un exemple numérique.

Pièges classiques

Oublier la contrainte du domaine lors de la résolution ( $x\geq0$ impose de choisir la racine positive). Ne pas interchanger $x$ et $y$ à la fin (écrire $f^{-1}(y)=\cdots$ au lieu de $f^{-1}(x)=\cdots$ ). Croire que $f^{-1}(x)=1/f(x)$ : les deux notations sont radicalement différentes.

Variantes rencontrées : Réciproque d'une fonction trigonométrique sur un intervalle restreint ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ) ; réciproque de $x\mapsto e^x$ (i.e. $\ln$ ).