Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/FR-A
Entraîner la reconnaissance
FR-AFonctions réciproques

Bijection et fonction réciproque

Idée directrice

Dès qu'une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle, elle réalise une bijection de cet intervalle sur son image. La réciproque f−1f^{-1} hérite de la monotonie, sa courbe est la symétrique de Cf\mathcal{C}_f par rapport à la première bissectrice y=xy=x, et sa dérivée se calcule sans expliciter f−1f^{-1} grâce à (f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que ff réalise une bijection de II sur JJ » ; « calculer (f−1)′(y0)(f^{-1})'(y_0) » ; « tracer Cf\mathcal{C}_f et Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}} ».

Sujet principal

Exercice 2 — réciproque et sa dérivée (esprit du sujet type 2025)

4 questionsCorrigé masqué

Soit f(x)=x+exf(x)=x+\e^{x} définie sur R\R.

  1. Montrer que ff réalise une bijection de R\R sur un intervalle JJ que l'on précisera.
  2. Montrer que f−1f^{-1} est dérivable sur JJ et calculer (f−1)′(1)(f^{-1})'(1). (On remarquera que f(0)=1f(0)=1.)
  3. Tracer dans un même repère les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}} (allure, tangentes remarquables).
  4. Étudier la dérivabilité de f−1f^{-1} aux bornes de JJ.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : continue + strictement monotone, puis les limites donnent l'image. f′(x)=1+ex>0f'(x)=1+\e^x>0 : ff est continue et strictement croissante sur R\R ; lim⁡−∞f=−∞\lim\limits_{-\infty}f=-\infty (x→−∞x\to-\infty, ex→0\e^x\to0) et lim⁡+∞f=+∞\lim\limits_{+\infty}f=+\infty. Donc ff réalise une bijection de R\R sur J=RJ=\R.

2. Idée : (f−1)′(y)=1f′(x)(f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)} avec y=f(x)y=f(x), licite car f′f' ne s'annule pas. f−1f^{-1} est dérivable sur R\R ; f(0)=1f(0)=1 donne f−1(1)=0f^{-1}(1)=0 et

(f−1)′(1)=1f′(0)=11+e0=12(f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{1+\e^{0}}=\boxed{\frac12}

3. Cf−1\mathcal C_{f^{-1}} est la symétrique de Cf\mathcal C_f par rapport à la droite y=xy=x. Au point (0,1)(0,1) de Cf\mathcal C_f, tangente de pente 22 ; au point symétrique (1,0)(1,0) de Cf−1\mathcal C_{f^{-1}}, tangente de pente 12\dfrac12 (pentes inverses). Cf\mathcal C_f admet en −∞-\infty l'asymptote y=xy=x ; Cf−1\mathcal C_{f^{-1}} l'admet aussi (elle est sa propre symétrique).

4. J=RJ=\R n'a pas de borne finie et f′f' ne s'annule jamais : f−1f^{-1} est dérivable en tout point, il n'y a aucune tangente verticale à signaler. (Elle apparaîtrait si f′f' s'annulait en un point x0x_0 : f−1f^{-1} ne serait pas dérivable en f(x0)f(x_0).)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill FR-A.1 — existence de la réciproque

2 questionsCorrigé masqué

Soit f(x)=x2−4x+1f(x)=x^2-4x+1 sur [2,+∞[[2,+\infty[.

  1. Montrer que ff réalise une bijection de [2,+∞[[2,+\infty[ sur un intervalle JJ à préciser.
  2. Donner l'expression de f−1f^{-1}.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Montrons que f(x)=x2−4x+1f(x)=x^2-4x+1 réalise une bijection de [2,+∞[[2,+\infty[ sur J=[−3,+∞[J=[-3,+\infty[. f′(x)=2x−4≥0f'(x)=2x-4\ge0 sur [2,+∞[[2,+\infty[, donc ff est strictement croissante ; f(2)=−3f(2)=-3 et lim⁡+∞f=+∞\lim_{+\infty}f=+\infty, par suite J=[−3,+∞[J=[-3,+\infty[. Conclusion : ff est bijective de [2,+∞[[2,+\infty[ sur [−3,+∞[[-3,+\infty[.

Pour l'expression : y=(x−2)2−3⇒x=2+y+3y=(x-2)^2-3\Rightarrow x=2+\sqrt{y+3} (car x≥2x\ge2). Conclusion : f−1(y)=2+y+3f^{-1}(y)=2+\sqrt{y+3}.

Entraînement 02 / 02

Drill FR-A.2 — symétrie des courbes

1 questionCorrigé masqué

Les courbes de ff et f−1f^{-1} sont symétriques par rapport à quelle droite ? Si f(3)=5f(3)=5 et f′(3)=2f'(3)=2, que valent f−1(5)f^{-1}(5) et (f−1)′(5)(f^{-1})'(5) ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose la symétrie par rapport à y=xy=x. On a : f−1(5)=3f^{-1}(5)=3 et (f−1)′(5)=1f′(3)=12(f^{-1})'(5)=\dfrac1{f'(3)}=\dfrac12. Conclusion : f−1(5)=3f^{-1}(5)=3 et (f−1)′(5)=12(f^{-1})'(5)=\dfrac12.

Méthode / Automatismes
  • Théorème de la bijection : continue + strictement monotone sur II ⇒\Rightarrow bijection de II sur f(I)f(I) ; f(I)f(I) se lit sur le tableau (limites aux bornes).
  • (f−1)′(b)=1f′(a)(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)} où b=f(a)b=f(a) ; ne jamais chercher à expliciter f−1f^{-1} si l'énoncé ne le demande pas.
  • Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}} = symétrique de Cf\mathcal{C}_f par rapport à y=xy=x ; les points fixes de ff sont sur cette droite.
  • f′(a)=0f'(a)=0 ⇒\Rightarrow tangente verticale à Cf−1\mathcal{C}_{f^{-1}} en f(a)f(a) (f−1f^{-1} non dérivable en ce point).
Pièges classiques

Oublier de prouver la continuité et la monotonie stricte avant d'affirmer que ff est bijective. Confondre f−1(f(x))f^{-1}(f(x)) et f(f−1(x))f(f^{-1}(x)) hors du bon domaine. Dessiner la réciproque sans symétrie par rapport à y=xy=x.