Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/LN-E
Entraîner la reconnaissance
LN-EFonctions logarithmes

Étude de f(x)=x+(1−2x)lnxf(x) = x + (1 - 2x) ln x

Idée directrice

Étudier f(x)=x+(1−2x)ln⁡xf(x)=x+(1-2x)\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ : limites, signe de f′f', variations, puis primitive candidate FF telle que F′=fF'=f.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« f(x)=x+(1−2x)lnx»f(x) = x + (1 - 2x) ln x »

« F(x)=(x2−x)(1−lnx)»F(x) = (x² - x)(1 - ln x) »

« F' = f »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit ff définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[ par f(x)=x+(1−2x)ln⁡xf(x)=x+(1-2x)\ln x (esprit bac info 2015 principale).

  1. Calculer lim⁡x→0+f(x)\lim_{x\to 0^+}f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x\to +\infty}f(x) (utiliser lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0 et croissances comparées).
  2. Montrer que f′(x)=1x−1−2ln⁡xf'(x)=\dfrac{1}{x}-1-2\ln x. En déduire le signe de f′f' sur ]0,1[]0,1[ et sur ]1,+∞[]1,+\infty[.
  3. On pose F(x)=(x2−x)(1−ln⁡x)F(x)=(x^2-x)(1-\ln x). Vérifier que F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : en 0+0^+, (1−2x)ln⁡x→−∞(1-2x)\ln x\to-\infty car 1−2x→11-2x\to1 ; en +∞+\infty, le terme −2xln⁡x-2x\ln x domine. lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty et lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x(1+ln⁡xx−2ln⁡x)=−∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim x\Big(1+\dfrac{\ln x}{x}-2\ln x\Big)=-\infty.

2. Idée : dérivée d'un produit pour (1−2x)ln⁡x(1-2x)\ln x. f′(x)=1+(−2)ln⁡x+(1−2x)⋅1x=1−2ln⁡x+1x−2=1x−1−2ln⁡xf'(x)=1+(-2)\ln x+(1-2x)\cdot\dfrac1x=1-2\ln x+\dfrac1x-2=\dfrac1x-1-2\ln x. Signe : pour 0<x<10<x<1, 1x−1>0\dfrac1x-1>0 et −2ln⁡x>0-2\ln x>0, donc f′>0f'>0 ; pour x>1x>1, les deux termes sont négatifs, f′<0f'<0 ; f′(1)=0f'(1)=0. ff croît sur ]0,1]]0,1], décroît sur [1,+∞[[1,+\infty[, maximum f(1)=1f(1)=1.

3. Idée : dériver FF comme un produit. F′(x)=(2x−1)(1−ln⁡x)+(x2−x)(−1x)=(2x−1)(1−ln⁡x)−(x−1)=2x−1−(2x−1)ln⁡x−x+1=x+(1−2x)ln⁡x=f(x)F'(x)=(2x-1)(1-\ln x)+(x^2-x)\Big(-\dfrac1x\Big)=(2x-1)(1-\ln x)-(x-1)=2x-1-(2x-1)\ln x-x+1=x+(1-2x)\ln x=f(x) : FF est une primitive de ff sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LN-E.1 — Signe de f' en 1

1 questionCorrigé masqué

Pour f(x)=x+(1−2x)ln⁡xf(x)=x+(1-2x)\ln x sur ]0,+∞[]0,+\infty[, le corrigé 2015 obtient f′(1)=0f'(1)=0. Interprétez ce résultat pour le tableau de variations de ff (croissance/décroissance de part et d'autre de x=1x=1).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

f′(1)=0f'(1)=0 marque un point critique. D'après le signe de f′f' (positif sur ]0,1[]0,1[, négatif sur ]1,+∞[]1,+\infty[), ff admet un maximum local en x=1x=1. C'est le cœur de l'étude de variations du corrigé bac info 2015 pour f(x)=x+(1−2x)ln⁡xf(x)=x+(1-2x)\ln x. On lit f(1)=1f(1)=1.

Méthode / Automatismes
  • Dériver un produit uln⁡xu\ln x : u′ln⁡x+u/xu'\ln x+u/x.
  • Vérifier une primitive par dérivation, pas par intégration « à vue » seulement.
Pièges classiques

Oublier le terme u/xu/x ; conclure f′f' du même signe partout.