Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/LN-D
Entraîner la reconnaissance
LN-DFonctions logarithmes

Limites et croissances comparées, lim⁡xln⁡x\lim x\ln x, primitives avec ln⁡\ln

Idée directrice

Les croissances comparées expriment que ln⁡\ln croît plus lentement que toute puissance : lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0 pour α>0\alpha>0, et lim⁡x→0+xαln⁡x=0\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0 pour α>0\alpha>0 (le terme polynomial « écrase » le logarithme). Ces limites servent à lever des formes indéterminées ∞−∞\infty-\infty ou 0×(−∞)0\times(-\infty). Les primitives faisant intervenir ln⁡\ln se ramènent à ∫u′udx=ln⁡∣u∣+C\int\dfrac{u'}{u}dx=\ln|u|+C ou à une intégration par parties avec v′=1v'=1, u=ln⁡xu=\ln x.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« En utilisant les croissances comparées, calculer lim⁡x→+∞(ln⁡x)nxα\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^n}{x^\alpha} » ; « Calculer ∫1exln⁡x dx\int_1^e x\ln x\,dx par intégration par parties » ; « Montrer que lim⁡x→0+x2ln⁡x=0\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0 ».

Sujet principal

Exercice 3 — croissances comparées et calcul intégral

6 questionsCorrigé masqué

Partie A — Limites.

  1. Calculer lim⁡x→+∞(ln⁡x)3x\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}.
  2. Calculer lim⁡x→0+x2ln⁡(x2)\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x^2).
  3. Calculer lim⁡x→+∞(x−ln⁡x)\lim_{x\to+\infty}\left(x-\ln x\right).

Partie B — Primitives. Calculer les intégrales suivantes.

  1. ∫1exln⁡x dx\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx (intégration par parties).
  2. ∫1eln⁡xx dx\displaystyle\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}\,dx (substitution u=ln⁡xu=\ln x).
  3. ∫232x+1x2+x−2 dx\displaystyle\int_2^3\dfrac{2x+1}{x^2+x-2}\,dx (on vérifiera d'abord que 2x+1=(x2+x−2)′2x+1=(x^2+x-2)' et que x2+x−2>0x^2+x-2>0 sur [2,3][2,3]).
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1 Idée : poser t=xt=\sqrt x pour retrouver (ln⁡t)kt\dfrac{(\ln t)^k}{t}. x=t2x=t^2, ln⁡x=2ln⁡t\ln x=2\ln t : (ln⁡x)3x=8(ln⁡t)3t→t→+∞0\dfrac{(\ln x)^3}{\sqrt x}=\dfrac{8(\ln t)^3}{t}\xrightarrow[t\to+\infty]{}0 par croissances comparées.

A.2 x2ln⁡(x2)=2x2ln⁡xx^2\ln(x^2)=2x^2\ln x et lim⁡x→0+x2ln⁡x=0\lim\limits_{x\to0^+}x^2\ln x=0 (croissances comparées en 00) : la limite vaut 00.

A.3 x−ln⁡x=x(1−ln⁡xx)x-\ln x=x\Big(1-\dfrac{\ln x}{x}\Big) avec ln⁡xx→0\dfrac{\ln x}{x}\to0 : le facteur entre parenthèses tend vers 11 et x→+∞x\to+\infty, donc x−ln⁡x→+∞x-\ln x\to+\infty.

B.1 Idée : IPP avec u=ln⁡xu=\ln x, v′=xv'=x. ∫1exln⁡x dx=[x22ln⁡x]1e−12∫1ex dx=e22−e2−14=e2+14\displaystyle\int_1^{\e}x\ln x\,\dd x=\Big[\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^{\e}-\dfrac12\int_1^{\e}x\,\dd x=\dfrac{\e^2}{2}-\dfrac{\e^2-1}{4}=\dfrac{\e^2+1}{4}.

B.2 Idée : forme u′uu'u avec u=ln⁡xu=\ln x. ∫1eln⁡xx dx=[(ln⁡x)22]1e=12\displaystyle\int_1^{\e}\dfrac{\ln x}{x}\,\dd x=\Big[\dfrac{(\ln x)^2}{2}\Big]_1^{\e}=\dfrac12.

B.3 Idée : forme u′u\dfrac{u'}{u}. (x2+x−2)′=2x+1(x^2+x-2)'=2x+1 et x2+x−2=(x−1)(x+2)>0x^2+x-2=(x-1)(x+2)>0 sur [2,3][2,3], donc

∫232x+1x2+x−2 dx=[ln⁡(x2+x−2)]23=ln⁡10−ln⁡4=ln⁡52\int_2^3\frac{2x+1}{x^2+x-2}\,\dd x=\Big[\ln(x^2+x-2)\Big]_2^3=\ln10-\ln4=\ln\frac52

(Sur [1,3][1,3] l'intégrale n'aurait pas de sens : le dénominateur s'annule en 11.)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LN-D.1 — croissances comparées

1 questionCorrigé masqué

Calculer lim⁡x→+∞ln⁡xx\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt x} et lim⁡x→0+xln⁡x\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose t=xt=\sqrt x : ln⁡xx=2⋅ln⁡tt→0\dfrac{\ln x}{\sqrt x}=2\cdot\dfrac{\ln t}{t}\to0 par croissances comparées. On a : xln⁡x→0x\ln x\to0 (limite usuelle en 0+0^+). On obtient les deux limites nulles. Conclusion : les limites valent 00 et 00.

Méthode / Automatismes
  • Croissances comparées : (ln⁡x)nxα→0\dfrac{(\ln x)^n}{x^\alpha}\to0 et xα∣ln⁡x∣→0x^\alpha|\ln x|\to0 quand x→+∞x\to+\infty ou x→0+x\to0^+ (respectivement), pour α>0\alpha>0 et n∈Nn\in\N.
  • IPP pour ∫P(x)ln⁡x dx\int P(x)\ln x\,dx : choisir u=ln⁡xu=\ln x et v′=P(x)v'=P(x). Le terme intégré [uv][uv] fait disparaître le ln⁡\ln.
  • Intégrale du type ∫u′u\int\dfrac{u'}{u} : reconnaître (ln⁡∣u∣)′=u′/u(\ln|u|)'=u'/u pour intégrer immédiatement.
  • Avant toute intégrale : vérifier que la fonction est continue sur le segment d'intégration (pas de zéros du dénominateur à l'intérieur).
Pièges classiques

Utiliser lim⁡xln⁡x=0\lim x\ln x=0 sans vérifier que c'est en x→0+x\to0^+ et pas en x→+∞x\to+\infty (où la limite est +∞+\infty). Pour l'IPP, choisir u=xu=x et v′=ln⁡xv'=\ln x au lieu de u=ln⁡xu=\ln x et v′=xv'=x (ce qui mène à ∫x22⋅1x\int\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x} — faisable, mais beaucoup plus long). Intégrer 1/(x2+x−2)1/(x^2+x-2) sur un intervalle contenant ses pôles sans tester la convergence.

Variantes rencontrées : Calcul de ∫1e(ln⁡x)2 dx\int_1^e (\ln x)^2\,dx par deux IPP successives ; primitives de xnln⁡xx^n\ln x (généralisation directe) ; limites en 0+0^+ de xα(ln⁡x)nx^\alpha(\ln x)^n.