LN-CFonctions logarithmes

Étude d'une fonction avec ln : variations, limites, tracé

Idée directrice

L'exercice demande l'étude complète d'une fonction de la forme $f(x)=P(x)\ln(Q(x))$ ou $f(x)=(ax+b)\ln(cx+d)$ . Le protocole est : domaine de définition (positiver l'argument du $\ln$ ), limites aux bornes du domaine (croissances comparées si besoin), dérivée (règle du produit + $(\ln u)'=u'/u$ ), tableau de variations, signe de $f$ , représentation graphique avec tangentes remarquables.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Étudier les variations de $f(x)=(\cdots)\ln x$ » ; « Montrer que $f(x)\geq0$ pour tout $x>0$ » ; « Dresser le tableau de variations et préciser le minimum ».

Sujet principal

Exercice 2 — étude complète de $f(x)=(x-1)\ln x$

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f(x)=(x-1)\ln x$ définie sur $]0;+\infty[$ .

Calculer $\lim_{x\to0^+}f(x)$ (on admettra que $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$ ) et $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
Calculer $f'(x)$ pour tout $x>0$ et déterminer son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser le minimum de $f$ .
Montrer que $f(x)\geq0$ pour tout $x>0$ (on pourra utiliser le tableau de variations).
Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ .

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1. Idée : développer pour isoler $x\ln x$ . $f(x)=x\ln x-\ln x$ ; en $0^+$ , $x\ln x\to0$ et $-\ln x\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ (asymptote verticale $x=0$ ). En $+\infty$ , $x-1\to+\infty$ et $\ln x\to+\infty$ : $f(x)\to+\infty$ .

2. Idée : le signe de $f'$ n'est pas immédiat ; on étudie $f'$ elle-même. $f'(x)=\ln x+\dfrac{x-1}{x}=\ln x+1-\dfrac1x$ . Posons $g=f'$ : $g'(x)=\dfrac1x+\dfrac1{x^2}>0$ , donc $g$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ et $g(1)=0$ . Par suite $f'(x)<0$ sur $]0,1[$ et $f'(x)>0$ sur $]1,+\infty[$ .

3. $f$ est décroissante sur $]0,1]$ , croissante sur $[1,+\infty[$ ; minimum $f(1)=0\times\ln1=0$ .

4. Le minimum de $f$ vaut $0$ : pour tout $x>0$ , $f(x)\geq0$ , c'est-à-dire $(x-1)$ et $\ln x$ sont toujours de même signe — une autre lecture de « $\ln x>0\iff x>1$ ».

5. $f(1)=0$ et $f'(1)=0$ : la tangente au point d'abscisse $1$ est horizontale, d'équation $y=0$ ; la courbe la touche sans la traverser (elle reste au-dessus, question 4).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill LN-C.1 — étude et tangente

2 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ .

Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Équation de la tangente en $x=1$ .

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1. $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ . Asymptote verticale $x=0$ ( $f\to-\infty$ en $0^+$ ) ; asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$ . $f$ est croissante sur $]0,e]$ et $f$ est décroissante sur $[e,+\infty[$ ; max $f(e)=\tfrac1e$ . Tableau de variation de $f$ .

2. Tangente en $x=1$ : $y=x-1$ .

Entraînement 02 / 02

Drill LN-C.x — $g(x)=-\ln(1-x^2)$ et $\varphi(x)=-2x+\ln\dfrac{1+x}{1-x}$ (2019)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $g$ la fonction définie sur $[0;1[$ par $g(x)=-\ln(1-x^2)$ et $\varphi$ la fonction définie sur $[0;1[$ par $\varphi(x)=-2x+\ln\dfrac{1+x}{1-x}$ .

Justifier que $g$ est bien définie sur $[0;1[$ , calculer $g'(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^-}g(x)$ .
Montrer que $\varphi'(x)=\dfrac{2x^2}{1-x^2}$ pour tout $x\in[0;1[$ . En déduire le signe de $\varphi$ sur $[0;1[$ .
En déduire que pour tout $x\in[0;1[$ , $\ln\dfrac{1+x}{1-x}\geq2x$ .

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1. Idée : $\ln$ n'accepte que des arguments strictement positifs. Pour $0\leq x<1$ , $1-x^2>0$ : $g$ est définie. $g'(x)=-\dfrac{-2x}{1-x^2}=\dfrac{2x}{1-x^2}\geq0$ : $g$ est croissante. Quand $x\to1^-$ , $1-x^2\to0^+$ , $\ln(1-x^2)\to-\infty$ et $g(x)\to+\infty$ .

2. Idée : $\ln\dfrac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)$ . $\varphi'(x)=-2+\dfrac1{1+x}+\dfrac1{1-x}=-2+\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{-2(1-x^2)+2}{1-x^2}=\dfrac{2x^2}{1-x^2}$ . Sur $[0;1[$ , $\varphi'\geq0$ (nulle seulement en $0$ ) : $\varphi$ est croissante, et $\varphi(0)=0+\ln1=0$ . Donc $\boxed{\varphi(x)\geq0\text{ sur }[0;1[}$ .

3. Idée : relire $\varphi\geq0$ . $-2x+\ln\dfrac{1+x}{1-x}\geq0\iff\ln\dfrac{1+x}{1-x}\geq2x$ , avec égalité seulement en $x=0$ . C'est l'inégalité qui, dans le sujet, encadre ensuite une suite d'intégrales.

Méthode / Automatismes

Domaine : argument du $\ln$ strictement positif. Toujours commencer par $Q(x)>0$ .
Dérivée d'un produit : $(u\cdot v)'=u'v+uv'$ avec $v=\ln x\Rightarrow v'=1/x$ . Ne pas oublier le terme $1/x$ .
Signe de $f'$ : si $f'$ n'est pas factorisable directement, étudier sa propre dérivée pour montrer sa monotonie, puis localiser son zéro (en général simple).
Inégalité $f(x)\geq0$ : déduire du tableau (minimum = $0$ ) — pas besoin de majoration supplémentaire.

Pièges classiques

Oublier d'exclure $x=0$ du domaine (le $\ln$ n'y est pas défini). Négliger le terme $1/x$ dans la dérivée du $\ln$ . Conclure que $f(x)\geq0$ sans justifier (le minimum vaut $0$ et c'est un minimum global).

Variantes rencontrées : Fonctions $x\mapsto\ln(x^2+1)$ , $x\mapsto\dfrac{\ln x}{x}$ (asymptote oblique / horizontale), $x\mapsto x-\ln x$ (inégalité $\ln x\leq x-1$ ).