LN-BFonctions logarithmes

Propriétés du ln, équations et inéquations logarithmiques

Idée directrice

L'exercice mobilise les propriétés algébriques de $\ln$ : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ , $\ln(a^\alpha)=\alpha\ln a$ , ainsi que la stricte croissance de $\ln$ sur $]0;+\infty[$ . Résoudre une équation revient à isoler le logarithme (ou l'exponentielle) puis à appliquer la bijectivité ; pour une inéquation, bien penser à préserver le signe (puisque $\ln$ est croissante, $\ln u>\ln v\Leftrightarrow u>v$ pour $u,v>0$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre dans $\R$ : $\ln(\cdots)+\ln(\cdots)=\ln(\cdots)$ » ; « En posant $t=\ln x$ , résoudre l'inéquation » ; « Résoudre l'équation $e^{2x}-\cdots e^x+\cdots=0$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — logarithmes : calculs et résolution

5 questionsCorrigé masqué

Partie A — Calculs algébriques. En utilisant les propriétés du logarithme, écrire sous la forme $a\ln2+b\ln3$ (avec $a,b\in\mathbb{Q}$ ) :

$\ln\!\left(\dfrac{\sqrt{18}}{4}\right)$
$\ln(72)-\ln(8)$

Partie B — Équations et inéquations. Résoudre dans $\R$ (ou sur le domaine de définition approprié) :

$\ln(2x-1)+\ln(x+3)=\ln(10)$
$2(\ln x)^2-3\ln x+1\leq0$ (poser $t=\ln x$ ).
$e^{2x}-3e^x+2=0$ (poser $u=e^x$ ).

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A.1 Idée : $\ln\sqrt a=\tfrac12\ln a$ et $\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b$ . $\ln\dfrac{\sqrt{18}}{4}=\dfrac12\ln18-\ln4=\dfrac12(\ln2+2\ln3)-2\ln2=-\dfrac32\ln2+\ln3$ .

A.2 $\ln72-\ln8=\ln\dfrac{72}{8}=\ln9=2\ln3$ .

B.1 Idée : conditions d'existence d'abord, puis $\ln a+\ln b=\ln(ab)$ et injectivité de $\ln$ . Il faut $2x-1>0$ et $x+3>0$ , soit $x>\dfrac12$ . Alors $\ln\big((2x-1)(x+3)\big)=\ln10\iff2x^2+5x-3=10\iff2x^2+5x-13=0$ ; $\Delta=25+104=129$ , racines $\dfrac{-5\pm\sqrt{129}}{4}$ . Seule $\dfrac{-5+\sqrt{129}}{4}\approx1{,}59>\dfrac12$ est recevable.

\mathcal S_1=\Big\{\frac{-5+\sqrt{129}}{4}\Big\}

B.2 Idée : poser $t=\ln x$ . $2t^2-3t+1\leq0$ a pour racines $\dfrac12$ et $1$ , donc $\dfrac12\leq t\leq1$ (trinôme négatif entre ses racines), soit $\dfrac12\leq\ln x\leq1\iff\sqrt{\e}\leq x\leq\e$ ( $\exp$ croissante).

\mathcal S_2=[\sqrt{\e}\,;\,\e]

B.3 Idée : poser $u=\e^x>0$ . $u^2-3u+2=(u-1)(u-2)=0$ , donc $u=1$ ou $u=2$ , soit $x=0$ ou $x=\ln2$ (les deux valeurs de $u$ sont bien strictement positives).

\mathcal S_3=\{0\,;\,\ln2\}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill LN-B.2 — limite en $0^+$ et forme indéterminée

1 questionCorrigé masqué

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ puis $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}$ .

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On a : $\dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1$ quand $x\to0$ (nombre dérivé de $\ln$ en $1$ , ou limite usuelle). On pose $X=x-1\to0$ pour la seconde : $\dfrac{\ln(1+X)}{X}\to1$ . On obtient les deux limites égales à $1$ .

Entraînement 02 / 04

Drill LN-B.3 — inéquation

2 questionsCorrigé masqué

On travaille sur le domaine de définition de $\ln(2x-3)$ .

Déterminer l'ensemble de définition de l'inéquation $\ln(2x-3)\le 0$ .
Résoudre $\ln(2x-3)\le 0$ et écrire la solution sous forme d'intervalle.

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1. $\ln(2x-3)$ est défini ssi $2x-3>0$ , i.e. $x>\tfrac32$ .

2. $\ln(2x-3)\le 0\iff 0<2x-3\le 1$ (car $\ln$ croissante et $\ln 1=0$ ), d'où $\tfrac32<x\le 2$ . Conclusion : $S=\left]\tfrac32,2\right]$ .

Entraînement 03 / 04

Drill LN-B.4 — équation logarithmique

2 questionsCorrigé masqué

Résoudre dans $\R$ l'équation logarithmique suivante, en précisant le domaine.

Écrire la condition de définition de $\ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln 4$ .
Résoudre l'équation et conclure.

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1. Il faut $x-1>0$ et $x+2>0$ , i.e. $x>1$ .

2. Sur $]1,+\infty[$ : $\ln\big((x-1)(x+2)\big)=\ln 4\iff (x-1)(x+2)=4\iff x^2+x-6=0\iff (x+3)(x-2)=0$ . Les racines sont $-3$ (rejetée) et $2$ (admise). Conclusion : $S=\{2\}$ .

Entraînement 04 / 04

Drill LN-B.x — $g(x)=\dfrac{2}{x+1}-\ln(x+1)$ : zéro unique et une primitive à vérifier (2024)

2 questionsCorrigé masqué

Soit $g$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{2}{x+1}-\ln(x+1)$ .

Étudier le sens de variation de $g$ et calculer $g(0)$ et $g(\e-1)$ . En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $0<\alpha<\e-1$ .
Montrer que pour tout $x>-1$ , $\displaystyle\int_0^x(t-1)\ln(t+1)\,\mathrm dt=\dfrac12(x^2-2x-3)\ln(x+1)+\dfrac14(6x-x^2)$ .

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1. Idée : dériver, puis théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction strictement monotone. $g'(x)=-\dfrac{2}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{x+1}<0$ sur $]-1;+\infty[$ : $g$ est strictement décroissante et continue. $g(0)=2-\ln1=2>0$ ; $g(\e-1)=\dfrac2\e-\ln\e=\dfrac2\e-1<0$ car $\e>2$ . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s'annule une et une seule fois sur $]0;\e-1[$ ; l'unicité sur tout l'intervalle vient de la stricte monotonie. $\boxed{0<\alpha<\e-1}$

2. Idée : au lieu d'intégrer par parties, dériver le second membre et vérifier qu'il vaut $0$ en $x=0$ . Posons $H(x)=\dfrac12(x^2-2x-3)\ln(x+1)+\dfrac14(6x-x^2)$ . Alors

H'(x)=(x-1)\ln(x+1)+\frac{x^2-2x-3}{2(x+1)}+\frac{6-2x}{4}=(x-1)\ln(x+1)+\frac{(x-3)(x+1)}{2(x+1)}+\frac{3-x}{2}=(x-1)\ln(x+1)

car $\dfrac{x-3}{2}+\dfrac{3-x}{2}=0$ . De plus $H(0)=\dfrac12(-3)\ln1+0=0$ . $H$ est donc la primitive de $t\mapsto(t-1)\ln(t+1)$ qui s'annule en $0$ , c'est-à-dire $\displaystyle\int_0^x(t-1)\ln(t+1)\,\mathrm dt$ . (Une intégration par parties avec $u=\ln(t+1)$ , $v'=t-1$ redonne le même résultat.)

Méthode / Automatismes

Conditions d'existence : vérifier $x>0$ (ou les arguments de chaque $\ln$ ) avant de résoudre. Les solutions hors domaine sont rejetées.
Somme de $\ln$ : $\ln A+\ln B=\ln(AB)$ , utilisé pour regrouper avant d'appliquer la bijectivité de $\ln$ .
Inéquations : $\ln$ est croissante, donc $\ln u\leq\ln v\Leftrightarrow u\leq v$ (pour $u,v>0$ ). Ne jamais perdre la condition $>0$ .
Substitution : $t=\ln x$ ou $u=e^x$ ramène les équations transcendantes à des polynômes de degré $2$ .

Pièges classiques

Omettre les conditions d'existence (rejeter les solutions rendant un argument $\leq0$ ). Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$ (faux — pas de propriété additive de $\ln$ ). Oublier de revenir à $x$ après substitution ( $u=e^x\Rightarrow x=\ln u$ , pas $x=u$ ).

Variantes rencontrées : Équations de la forme $a(\ln x)^2+b\ln x+c=0$ avec trois solutions (discriminant nul) ; inéquations $\ln f(x)>k$ avec étude du signe de $f(x)-e^k$ .