LN-AFonctions logarithmes

Étude complète d'une fonction (ln, exp, composée)

Idée directrice

C'est l'Acte I, le socle : tout le reste du problème s'appuie sur le tableau de variations obtenu ici. On procède toujours dans le même ordre, sans en sauter une étape, car chaque étape sert de brique à une question ultérieure (le signe de $f'$ servira à la monotonie, les limites aux asymptotes, etc.).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Dresser le tableau de variations » ; « étudier les branches infinies » ; « en déduire que $f(x)\geq\ldots$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — une fonction type ( $\ln$ et fraction)

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f(x)=x-1-\ln x$ définie sur $]0,+\infty[$ .

Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$ .
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$ .
En déduire que pour tout $x>0$ , $\ \ln x \leq x-1$ , avec égalité si et seulement si $x=1$ .
Étudier la branche infinie de $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : en $0^+$ le terme $-\ln x$ l'emporte ; en $+\infty$ , croissances comparées. $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$ (car $-\ln x\to+\infty$ et $x-1\to-1$ ) : asymptote verticale $x=0$ . $f(x)=x\Big(1-\dfrac1x-\dfrac{\ln x}{x}\Big)$ avec $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. $f'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}{x}$ : négatif sur $]0,1[$ , nul en $1$ , positif sur $]1,+\infty[$ . $f$ décroît sur $]0,1]$ puis croît sur $[1,+\infty[$ ; minimum $f(1)=0$ .

3. Idée : un minimum nul donne une inégalité. Pour tout $x>0$ , $f(x)\geq f(1)=0$ , soit $\ln x\leq x-1$ , avec égalité si et seulement si $x=1$ (le minimum n'est atteint qu'en $1$ , $f$ étant strictement monotone de part et d'autre). C'est l'inégalité « la courbe de $\ln$ est sous sa tangente en $1$ ».

4. $\dfrac{f(x)}{x}=1-\dfrac1x-\dfrac{\ln x}{x}\to1$ et $f(x)-x=-1-\ln x\to-\infty$ : $\mathcal C_f$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction la droite $y=x$ , sans asymptote oblique.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill LN-A.x — $f(x)=\dfrac1{\ln x}$ : limites, asymptotes, dérivée (2022)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{\ln x}$ .

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . Interpréter graphiquement.
Montrer que pour tout $x>1$ , $f'(x)=-\dfrac{1}{x\ln^2x}$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Résoudre $f(x)=1$ et en déduire le signe de $f(x)-1$ sur $]1;+\infty[$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $\ln x\to0^+$ en $1^+$ et $\to+\infty$ en $+\infty$ ; on passe à l'inverse. $\lim_{x\to1^+}\ln x=0^+$ donc $\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ : la droite $x=1$ est asymptote verticale. $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$ .

2. Idée : dérivée de $1/u$ . $f=\dfrac1u$ avec $u=\ln x$ , $u'=\dfrac1x$ : $f'(x)=-\dfrac{u'}{u^2}=-\dfrac{1}{x\ln^2x}$ . Pour $x>1$ , $x>0$ et $\ln^2x>0$ : $f'(x)<0$ , $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$ , de $+\infty$ vers $0$ .

3. Idée : $f$ est une bijection décroissante de $]1;+\infty[$ sur $]0;+\infty[$ . $f(x)=1\iff\ln x=1\iff x=\e$ . Comme $f$ décroît : $f(x)>1$ pour $1<x<\e$ et $f(x)<1$ pour $x>\e$ . $\boxed{f(x)-1>0\iff x\in\,]1;\e[}$

Méthode / Automatismes

Ordre imposé : domaine $\to$ limites (bornes du domaine) $\to$ $f'$ $\to$ signe de $f'$ $\to$ tableau $\to$ extrema $\to$ branches infinies $\to$ tracé.
Croissances comparées : $\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\to0$ ( $+\infty$ ), $x^\alpha\ln x\to0$ ( $0^+$ ), $\dfrac{\e^x}{x^\alpha}\to+\infty$ , $x^\alpha\e^{-x}\to0$ .
Asymptote affine $y=ax+b$ : $a=\lim\frac{f(x)}{x}$ , $b=\lim\big(f(x)-ax\big)$ . Sinon branche parabolique.
Un minimum $\geq0$ dans un tableau est une inégalité : c'est la question 3 typique.

Pièges classiques

Oublier de préciser le domaine avant de dériver. Confondre «  $f'$ s'annule » et «  $f$ a un extremum » (il faut un changement de signe). Annoncer une asymptote sans avoir calculé $b=\lim(f(x)-ax)$ .