IN-GPrimitivisation et calcul intégral

Le problème d'analyse en deux parties : étude de f, aire, suite d'intégrales

Idée directrice

L'exercice 4 du bac (7 points, présent dans les 22 sessions) n'est pas une question de cours mais un problème en parties : la partie A étudie une fonction (limites, dérivée, tableau, équation $f(x)=\dots$ par le TVI), la partie B en fait la mesure — une aire exprimée par une intégrale, puis une suite d'intégrales $(I_n)$ dont on établit une relation de récurrence, la monotonie, un encadrement et la limite. Tout ce que la partie A a prouvé (signe, monotonie) est réutilisé pour encadrer les intégrales de la partie B.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Partie A … Partie B » ; « Dresser le tableau de variation de $f$ » ; « montrer que l'équation … admet une unique solution $\alpha$ et que … $<\alpha<$ … » ; « on pose $I_n=\displaystyle\int_a^b \dots\,\dd t$ pour tout entier $n\geq 1$ » ; « montrer que $I_n+I_{n+2}=\dots$ » ; « en déduire $\lim I_n$ ».

Sujet principal

Exercice 4 — problème (7 points), dans l’esprit des sessions 2022 et 2023

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ et $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ .

Partie A

Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)$ . Interpréter graphiquement.
1. Montrer que pour tout réel $x$ , $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ .
2. Dresser le tableau de variation de $f$ .
Montrer que l'équation $f(x)=x-1$ admet sur $[1,+\infty[$ une unique solution $\alpha$ et que $1<\alpha<2$ .

Partie B

Soit $\mathcal A$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par $\mathcal C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ . Exprimer $\mathcal A$ à l'aide d'une intégrale, puis la calculer en précisant la primitive utilisée.
Pour tout entier $n\geq 1$ , on pose $I_n=\displaystyle\int\limits_0^1 \frac{x^n}{x^2+1}\,\dd x$ (intégrale sur $[0,1]$ ).
1. Calculer $I_1$ .
2. En utilisant la linéarité de l'intégrale, montrer que pour tout $n\geq 1$ , $I_n+I_{n+2}=\dfrac{1}{n+1}$ . En déduire $I_3$ .
3. Montrer que pour tout $n\geq 1$ , $0\leq I_{n+1}\leq I_n$ . Que peut-on en déduire pour $(I_n)$ ?
4. Montrer que pour tout $n\geq 2$ , $\dfrac{1}{2(n+1)}\leq I_n\leq \dfrac{1}{2(n-1)}$ .
5. En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} I_n$ puis $\lim\limits_{n\to+\infty} n\,I_n$ .

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A.1 Idée : à l'infini, le terme dominant. $f(x)=\dfrac{x}{x^2(1+1/x^2)}=\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{1+1/x^2}$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=0$ . La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal C_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

A.2.a $f$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas, et $f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ .

A.2.b Idée : le signe de $f'$ est celui de $1-x^2=(1-x)(1+x)$ . $f'(x)>0$ sur $]-1,1[$ , $f'(x)<0$ sur $]-\infty,-1[$ et sur $]1,+\infty[$ . $f$ est donc décroissante sur $]-\infty,-1]$ , croissante sur $[-1,1]$ , décroissante sur $[1,+\infty[$ , avec $f(-1)=-\dfrac12$ (minimum) et $f(1)=\dfrac12$ (maximum), et des limites nulles aux deux infinis.

A.3 Idée : ramener à $g(x)=0$ et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à une fonction strictement monotone. Posons $g(x)=f(x)-x+1$ sur $[1,+\infty[$ . $g$ est dérivable et $g'(x)=f'(x)-1<0$ car $f'(x)\leq 0$ sur $[1,+\infty[$ : $g$ est continue et strictement décroissante. $g(1)=\dfrac12>0$ et $g(2)=\dfrac25-1=-\dfrac35<0$ . Par suite l'équation $g(x)=0$ , c'est-à-dire $f(x)=x-1$ , admet une unique solution $\alpha$ sur $[1,+\infty[$ , et $g(1)g(2)<0$ prouve que $1<\alpha<2$ .

B.1 Idée : sur $[0,1]$ , $f\geq 0$ , donc l'aire est l'intégrale de $f$ ; une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u|$ . Avec $u(x)=x^2+1$ , $u'(x)=2x$ et $f(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ :

\mathcal A=\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\,\dd x=\Big[\tfrac12\ln(x^2+1)\Big]_0^1=\boxed{\tfrac12\ln 2\ \text{u.a.}}

B.2.a $I_1=\displaystyle\int_0^1\frac{x}{x^2+1}\,\dd x=\mathcal A=\dfrac12\ln 2$ .

B.2.b Idée : réduire au même dénominateur avant d'intégrer. Pour $x\in[0,1]$ , $\dfrac{x^n}{x^2+1}+\dfrac{x^{n+2}}{x^2+1}=\dfrac{x^n(1+x^2)}{x^2+1}=x^n$ . Par linéarité de l'intégrale, $I_n+I_{n+2}=\displaystyle\int_0^1 x^n\,\dd x=\Big[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big]_0^1=\dfrac1{n+1}$ . Pour $n=1$ : $I_3=\dfrac12-I_1=\boxed{\dfrac{1-\ln 2}{2}}$ .

B.2.c Idée : comparer les intégrandes sur $[0,1]$ . Pour $x\in[0,1]$ : $0\leq x^{n+1}\leq x^n$ , donc $0\leq\dfrac{x^{n+1}}{x^2+1}\leq\dfrac{x^n}{x^2+1}$ ; par positivité et croissance de l'intégrale (bornes dans l'ordre), $0\leq I_{n+1}\leq I_n$ . La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$ : elle converge.

B.2.d Idée : injecter la monotonie dans la relation de récurrence. Pour $n\geq 1$ , $I_{n+2}\leq I_n$ donne $2I_{n+2}\leq I_n+I_{n+2}=\dfrac1{n+1}$ , soit $I_{n+2}\leq\dfrac{1}{2(n+1)}$ ; en remplaçant $n$ par $n-2$ (possible pour $n\geq 3$ ) : $I_n\leq\dfrac{1}{2(n-1)}$ , inégalité encore vraie pour $n=2$ car $I_2\leq I_1=\dfrac{\ln2}{2}<\dfrac12$ . De même $I_n\geq I_{n+2}$ donne $\dfrac1{n+1}=I_n+I_{n+2}\leq 2I_n$ , soit $I_n\geq\dfrac1{2(n+1)}$ . D'où l'encadrement pour tout $n\geq 2$ :

\frac{1}{2(n+1)}\leq I_n\leq\frac{1}{2(n-1)}

B.2.e Idée : théorème des gendarmes, deux fois. Les deux bornes tendent vers $0$ , donc $\lim I_n=0$ . En multipliant l'encadrement par $n>0$ : $\dfrac{n}{2(n+1)}\leq nI_n\leq\dfrac{n}{2(n-1)}$ , et les deux bornes tendent vers $\dfrac12$ , d'où

\lim_{n\to+\infty} I_n=0\qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty} n\,I_n=\boxed{\tfrac12}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill IN-G.1 — fonction définie par une intégrale

3 questionsCorrigé masqué

Soit $H$ la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $H(x)=\displaystyle\int_1^x \ln t\,\dd t$ .

Justifier que $H$ est la primitive de $\ln$ sur $[1,+\infty[$ qui s'annule en $1$ ; en déduire $H'(x)$ et le sens de variation de $H$ .
À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout $x\geq 1$ , $H(x)=x\ln x-x+1$ .
Interpréter l'intégrale $H(e)$ en termes d'aire.

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1. Idée : une intégrale à borne variable d'une fonction continue est la primitive qui s'annule en la borne fixe. $t\mapsto\ln t$ est continue sur $[1,+\infty[$ , donc $H$ est dérivable et $H'(x)=\ln x\geq 0$ pour $x\geq 1$ : $H$ est croissante sur $[1,+\infty[$ , avec $H(1)=0$ .

2. Idée : IPP avec $u=\ln t$ , $v'=1$ . $\displaystyle\int_1^x \ln t\,\dd t=\big[t\ln t\big]_1^x-\int_1^x t\cdot\frac1t\,\dd t=x\ln x-(x-1)=x\ln x-x+1$ .

3. Sur $[1,e]$ , $\ln t\geq 0$ : $H(e)=e\ln e-e+1=1$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $\ln$ , l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$ .

Entraînement 02 / 02

Drill IN-G.2 — encadrer une suite d’intégrales sans la calculer

3 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\geq 1$ , on considère l'intégrale $K_n=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\,\dd x$ , que l'on étudie sans chercher de primitive.

Montrer que pour tout $n\geq 1$ , $0\leq K_n\leq\dfrac{1}{n+1}$ . En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} K_n$ .
Montrer que pour tout $n\geq 1$ , $K_n+K_{n+1}=\dfrac1{n+1}$ .
Calculer $K_1$ et en déduire $K_2$ .

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1. Idée : encadrer l'intégrande sur $[0,1]$ . Pour $x\in[0,1]$ , $1\leq 1+x\leq 2$ donc $0\leq\dfrac{x^n}{1+x}\leq x^n$ . En intégrant sur $[0,1]$ (bornes dans l'ordre) : $0\leq K_n\leq\displaystyle\int_0^1 x^n\,\dd x=\dfrac1{n+1}$ . Par le théorème des gendarmes, $\lim K_n=0$ .

2. $\dfrac{x^n}{1+x}+\dfrac{x^{n+1}}{1+x}=\dfrac{x^n(1+x)}{1+x}=x^n$ , donc $K_n+K_{n+1}=\displaystyle\int_0^1 x^n\,\dd x=\dfrac{1}{n+1}$ .

3. Idée : $\dfrac{x}{1+x}=1-\dfrac1{1+x}$ . $K_1=\displaystyle\int_0^1\Big(1-\frac1{1+x}\Big)\dd x=1-\ln 2$ , puis $K_2=\dfrac12-K_1=\ln 2-\dfrac12$ .

Méthode / Automatismes

Partie A : limites aux bornes (terme dominant), dérivée sous forme factorisée pour lire le signe, tableau complet avec les valeurs extrêmes ; une équation $f(x)=g(x)$ se traite avec $h=f-g$ : continuité + stricte monotonie + changement de signe (TVI).
Aire sous une courbe : vérifier le signe de $f$ sur l'intervalle avant d'écrire $\displaystyle\int_a^b f$ ; reconnaître les formes $\dfrac{u'}{u}$ , $u'u^n$ , $u'\e^{u}$ pour la primitive.
Suite d'intégrales : la relation $I_n+I_{n+2}$ (ou $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$ ) vient de l'intégrande, pas du résultat ; la monotonie vient de la comparaison $x^{n+1}\leq x^n$ sur $[0,1]$ .
Encadrer $I_n$ : combiner la monotonie avec la relation de récurrence, jamais avec une valeur numérique approchée.
Limite de $nI_n$ : multiplier l'encadrement par $n$ et appliquer les gendarmes — c'est la question qui départage les copies.

Pièges classiques

Intégrer sans avoir vérifié le signe de $f$ (une aire est positive, une intégrale ne l'est pas toujours) ; écrire « $(I_n)$ décroissante donc convergente » sans la minoration par $0$ ; croire que $I_n\to 0$ règle la question de $nI_n$ (forme indéterminée $\infty\times 0$ : seul l'encadrement conclut) ; enfin, dans la partie A, oublier la stricte monotonie de $g$ et ne prouver que l'existence de $\alpha$ , pas son unicité.