Masar — Les scénarios du Bac, reliés à ton travail

Sujet principal

Exercice — suite d'intégrales $I_n$ et aire (devoir SE contrôle 2)

5 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge 0$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{(1+x)^3}\,\mathrm{d}x$ . On étudie cette suite d'intégrales (positivité, majoration, limite) puis une aire obtenue comme intégrale de $|f-g|$ .

Montrer que pour tout entier $n\ge 0$ , $I_{n+1}\le I_n$ .
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $x\in[0,1]$ , $0\le \dfrac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ .
En déduire que $0\le I_n\le \dfrac{1}{n+1}$ , puis que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$ .
Calculer $I_0$ .
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^4}$ et $g(x)=\dfrac{-x^2}{(x+1)^4}$ . Calculer l'aire de la région limitée par les courbes de $f$ et de $g$ entre $x=0$ et $x=1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : comparer les intégrandes. Pour $x\in[0,1]$ , $x^{n+1}\leq x^n$ et $(1+x)^3>0$ , donc $\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^3}\leq\dfrac{x^n}{(1+x)^3}$ ; en intégrant, $I_{n+1}\leq I_n$ : la suite est décroissante.

2. Sur $[0,1]$ , $1+x\geq1$ donc $(1+x)^3\geq1$ et $0\leq\dfrac{x^n}{(1+x)^3}\leq x^n$ .

3. En intégrant sur $[0,1]$ : $0\leq I_n\leq\displaystyle\int_0^1x^n\,\dd x=\dfrac1{n+1}$ ; par les gendarmes, $\lim I_n=0$ .

4. Idée : primitive de $(1+x)^{-3}$ . $I_0=\displaystyle\int_0^1(1+x)^{-3}\,\dd x=\Big[-\dfrac{1}{2(1+x)^2}\Big]_0^1=-\dfrac18+\dfrac12=\dfrac38$ .

5. Idée : position relative puis changement de variable $u=x+1$ . Sur $[0,1]$ , $f\geq0\geq g$ , donc l'aire vaut $\displaystyle\int_0^1(f-g)=\int_0^1\dfrac{x+x^2}{(x+1)^4}\,\dd x$ . Avec $u=x+1$ ( $x=u-1$ , $x+x^2=x(1+x)=(u-1)u$ ) :

\int_1^2\frac{(u-1)u}{u^4}\,\dd u=\int_1^2\Big(\frac1{u^2}-\frac1{u^3}\Big)\dd u=\Big[-\frac1u+\frac1{2u^2}\Big]_1^2=\Big(-\frac12+\frac18\Big)-\Big(-1+\frac12\Big)=\boxed{\frac18}\ \text{u.a.}

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ et aire

Exercice — suite d'intégrales $I_n$ et aire (devoir SE contrôle 2)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill IN-F.1 — majoration de $I_n$

Suite d'intégrales In=∫01xn(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dxIn​=∫01​(1+x)3xn​dx et aire

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ et aire