IN-FPrimitivisation et calcul intégral

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ et aire

Idée directrice

Forme tirée d'un devoir de contrôle n°2 Sciences expérimentales (Lycée Ibn Elhaythem Matmata, 2024) : suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ , majoration, limite, puis aire entre deux courbes sur $[0,1]$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« $I_n=\int_0^1 x^n/(1+x)^3\,dx$ »

« $0\le I_n\le 1/(n+1)$ »

« Aire entre $C_f$ et $C_g$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Majorer l'intégrande par $x^n$ pour obtenir $I_n\le 1/(n+1)$ .
Décroissance : comparer $x^{n+1}$ et $x^n$ sur $[0,1]$ .
L'aire entre deux courbes est $\int|f-g|$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier la valeur absolue dans l'aire. Confondre $I_0$ avec $\int_0^1 x\,dx$ .

Sujet principal

Exercice — suite d'intégrales $I_n$ et aire (devoir SE contrôle 2)

5 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge 0$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{(1+x)^3}\,\mathrm{d}x$ . On étudie cette suite d'intégrales (positivité, majoration, limite) puis une aire obtenue comme intégrale de $|f-g|$ .

Montrer que pour tout entier $n\ge 0$ , $I_{n+1}\le I_n$ .
Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $x\in[0,1]$ , $0\le \dfrac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ .
En déduire que $0\le I_n\le \dfrac{1}{n+1}$ , puis que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=0$ .
Calculer $I_0$ .
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^4}$ et $g(x)=\dfrac{-x^2}{(x+1)^4}$ . Calculer l'aire de la région limitée par les courbes de $f$ et de $g$ entre $x=0$ et $x=1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : comparer les intégrandes. Pour $x\in[0,1]$ , $x^{n+1}\leq x^n$ et $(1+x)^3>0$ , donc $\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^3}\leq\dfrac{x^n}{(1+x)^3}$ ; en intégrant, $I_{n+1}\leq I_n$ : la suite est décroissante.

2. Sur $[0,1]$ , $1+x\geq1$ donc $(1+x)^3\geq1$ et $0\leq\dfrac{x^n}{(1+x)^3}\leq x^n$ .

3. En intégrant sur $[0,1]$ : $0\leq I_n\leq\displaystyle\int_0^1x^n\,\dd x=\dfrac1{n+1}$ ; par les gendarmes, $\lim I_n=0$ .

4. Idée : primitive de $(1+x)^{-3}$ . $I_0=\displaystyle\int_0^1(1+x)^{-3}\,\dd x=\Big[-\dfrac{1}{2(1+x)^2}\Big]_0^1=-\dfrac18+\dfrac12=\dfrac38$ .

5. Idée : position relative puis changement de variable $u=x+1$ . Sur $[0,1]$ , $f\geq0\geq g$ , donc l'aire vaut $\displaystyle\int_0^1(f-g)=\int_0^1\dfrac{x+x^2}{(x+1)^4}\,\dd x$ . Avec $u=x+1$ ( $x=u-1$ , $x+x^2=x(1+x)=(u-1)u$ ) :

\int_1^2\frac{(u-1)u}{u^4}\,\dd u=\int_1^2\Big(\frac1{u^2}-\frac1{u^3}\Big)\dd u=\Big[-\frac1u+\frac1{2u^2}\Big]_1^2=\Big(-\frac12+\frac18\Big)-\Big(-1+\frac12\Big)=\boxed{\frac18}\ \text{u.a.}

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill IN-F.1 — majoration de

I_n

Entraînement 01 / 01

Drill IN-F.1 — majoration de $I_n$

3 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge 0$ , $I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{(1+x)^3}\,\mathrm{d}x$ . On majore cette intégrale à l'aide d'une primitive de $x^n$ .

Montrer que $0\le\dfrac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ sur $[0,1]$ .
En déduire $0\le I_n\le\dfrac{1}{n+1}$ .
Conclure sur $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Sur $[0,1]$ , $1+x\ge 1\Rightarrow (1+x)^3\ge 1\Rightarrow 0\le\frac{x^n}{(1+x)^3}\le x^n$ .

2. L'intégrale préserve les inégalités : $0\le I_n\le\int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}$ .

3. $\frac{1}{n+1}\to 0$ : par encadrement, $\lim I_n=0$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ et aire

Exercice — suite d'intégrales $I_n$ et aire (devoir SE contrôle 2)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill IN-F.1 — majoration de $I_n$

Relier ce raisonnement au bac

Suite d'intégrales In=∫01xn(1+x)3 dxI_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dxIn​=∫01​(1+x)3xn​dx et aire

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^3}\,dx$ et aire