IN-EPrimitivisation et calcul intégral

Intégrales $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ et $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$

Idée directrice

Forme tirée d'un devoir de contrôle n°3 Sciences expérimentales (Lycée Tahar Sfar, Mahdia, 2018) : couple d'intégrales $I$ et $J$ de $\cos^4$ et $\sin^4$ , intégration par parties, calcul via $I+J$ et $I-J$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ , $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$ »

« Intégration par parties »

« $I+J=3\pi/8$ , $I-J=0$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Utiliser les identités $\cos^2+\sin^2=1$ et $\cos^2-\sin^2=\cos 2x$ .
L'IPP relie $I$ à $J$ ; la somme $I+J$ se calcule sans résoudre le système complet.
La parité/symétrie $\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$ donne aussi $I=J$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier le facteur $2$ dans $\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x$ . Conclure $I=0$ à partir de $I-J=0$ sans utiliser $I+J$ .

Sujet principal

Exercice — couple d'intégrales $I$ et $J$ (devoir SE contrôle 3)

5 questionsCorrigé masqué

On considère les intégrales $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,\mathrm{d}x$ et $J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,\mathrm{d}x$ . L'objectif est le calcul d'intégrale par primitive et intégration par parties, éventuellement via des sommes d'intégrales $I+J$ et $I-J$ .

Vérifier que pour tout réel $x$ , $\cos^4 x=\cos x\cdot\cos^3 x$ et $\cos^3 x=\cos x\,(1-\sin^2 x)$ .
À l'aide d'une intégration par parties, établir une relation liant $I$ et $J$ (comme dans le devoir : $I$ s'exprime à l'aide de $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,\mathrm{d}x$ et de $J$ ).
On admet la relation symétrique pour $J$ . Montrer que $I+J=\dfrac{3\pi}{8}$ .
Montrer que $I-J=0$ .
En déduire les valeurs de $I$ et de $J$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\cos^4x=\cos x\cdot\cos^3x$ et $\cos^3x=\cos x\cdot\cos^2x=\cos x\,(1-\sin^2x)$ : deux réécritures qui préparent l'intégration par parties.

2. Idée : IPP avec $u=\cos^3x$ , $v'=\cos x$ ( $v=\sin x$ ), puis $\cos^2x\sin^2x=\sin^2x-\sin^4x$ . $I=\big[\cos^3x\sin x\big]_0^{\pi/2}+3\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2x\sin^2x\,\dd x=0+3\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,\dd x-3J$ . Avec $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,\dd x=\int_0^{\pi/2}\dfrac{1-\cos2x}{2}\,\dd x=\dfrac{\pi}{4}$ :

I=\frac{3\pi}{4}-3J

3. Idée : $\cos^4+\sin^4=(\cos^2+\sin^2)^2-2\sin^2\cos^2$ . $I+J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\Big(1-\dfrac12\sin^22x\Big)\dd x=\int_0^{\pi/2}\Big(1-\dfrac{1-\cos4x}{4}\Big)\dd x=\int_0^{\pi/2}\dfrac{3+\cos4x}{4}\,\dd x=\dfrac{3\pi}{8}$ (l'intégrale de $\cos4x$ sur $[0,\pi/2]$ est nulle).

4. $\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos2x$ , donc $I-J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos2x\,\dd x=\Big[\dfrac{\sin2x}{2}\Big]_0^{\pi/2}=0$ (on le voit aussi par le changement $x\mapsto\dfrac{\pi}{2}-x$ , qui échange $I$ et $J$ ).

5. $I=J$ et $I+J=\dfrac{3\pi}{8}$ donnent $I=J=\dfrac{3\pi}{16}$ ; contrôle par la question 2 : $\dfrac{3\pi}{4}-3\cdot\dfrac{3\pi}{16}=\dfrac{3\pi}{16}$ ✓.

I=J=\frac{3\pi}{16}

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill IN-E.1 — calcul de

I+J

Entraînement 01 / 01

Drill IN-E.1 — calcul de $I+J$

3 questionsCorrigé masqué

On pose les intégrales $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,\mathrm{d}x$ et $J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,\mathrm{d}x$ . On calcule des intégrales en s'appuyant sur des primitives et des sommes $I+J$ .

Exprimer $\cos^4 x+\sin^4 x$ à l'aide de $\sin 2x$ .
En déduire la valeur de l'intégrale $I+J$ .
Justifier sans calcul que $I=J$ par le changement $t=\frac{\pi}{2}-x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\cos^4+\sin^4=(\cos^2+\sin^2)^2-2\sin^2\cos^2=1-\frac12\sin^2 2x$ .

2. $I+J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\bigl(1-\frac{1-\cos 4x}{4}\bigr)\,dx=\frac{3\pi}{8}$ .

3. Le changement $t=\frac{\pi}{2}-x$ échange $\sin$ et $\cos$ et préserve les bornes : $I=J$ . Chaque intégrale vaut $\frac{3\pi}{16}$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Intégrales $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ et $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$

Exercice — couple d'intégrales $I$ et $J$ (devoir SE contrôle 3)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill IN-E.1 — calcul de $I+J$

Relier ce raisonnement au bac

Intégrales I=∫0π/2cos⁡4x dxI=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dxI=∫0π/2​cos4xdx et J=∫0π/2sin⁡4x dxJ=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dxJ=∫0π/2​sin4xdx

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Intégrales $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ et $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$