Intégrales $I=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx$ et $J=\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx$

1. $\cos^4x=\cos x\cdot\cos^3x$ et $\cos^3x=\cos x\cdot\cos^2x=\cos x\,(1-\sin^2x)$ : deux réécritures qui préparent l'intégration par parties.

2. Idée : IPP avec $u=\cos^3x$, $v'=\cos x$ ($v=\sin x$), puis $\cos^2x\sin^2x=\sin^2x-\sin^4x$. $I=\big[\cos^3x\sin x\big]_0^{\pi/2}+3\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2x\sin^2x\,\dd x=0+3\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,\dd x-3J$. Avec $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,\dd x=\int_0^{\pi/2}\dfrac{1-\cos2x}{2}\,\dd x=\dfrac{\pi}{4}$ :

3. Idée : $\cos^4+\sin^4=(\cos^2+\sin^2)^2-2\sin^2\cos^2$. $I+J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\Big(1-\dfrac12\sin^22x\Big)\dd x=\int_0^{\pi/2}\Big(1-\dfrac{1-\cos4x}{4}\Big)\dd x=\int_0^{\pi/2}\dfrac{3+\cos4x}{4}\,\dd x=\dfrac{3\pi}{8}$ (l'intégrale de $\cos4x$ sur $[0,\pi/2]$ est nulle).

4. $\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos2x$, donc $I-J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos2x\,\dd x=\Big[\dfrac{\sin2x}{2}\Big]_0^{\pi/2}=0$ (on le voit aussi par le changement $x\mapsto\dfrac{\pi}{2}-x$, qui échange $I$ et $J$).

5. $I=J$ et $I+J=\dfrac{3\pi}{8}$ donnent $I=J=\dfrac{3\pi}{16}$ ; contrôle par la question 2 : $\dfrac{3\pi}{4}-3\cdot\dfrac{3\pi}{16}=\dfrac{3\pi}{16}$ ✓.