IN-DPrimitivisation et calcul intégral

Primitive de $\ln^2 x$ , $\int x\ln x$ et calcul d'aire

Idée directrice

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2022 : primitive de $\ln^2 x$ , intégration par parties pour $\int_1^e x\ln x\,dx$ , puis aire de $f(x)=x\ln x-2\ln^2 x$ entre $1$ et $e$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Primitive de $\ln^2 x$ »

« $\int_1^e x\ln x\,dx$ »

« Aire entre $1$ et $e$ »

Sujet principal

Exercice — primitive de $\ln^2 x$ et aire (esprit SE contrôle 2022)

4 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=x\ln x-2\ln^2 x$ . On note $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative. On travaille ici le calcul d'intégrale, les primitives et, le cas échéant, les sommes associées.

Soit $u(x)=x\ln^2 x-2x\ln x+2x$ sur $]0,+\infty[$ . Montrer que $u$ est une primitive de $x\mapsto\ln^2 x$ .
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,\mathrm{d}x$ .
En déduire $\displaystyle\int_1^{e}\ln^2 x\,\mathrm{d}x$ .
Soit $A$ l'aire de la région limitée par $(\mathscr{C})$ , l'axe des abscisses, entre $x=1$ et $x=e$ . Montrer que $A=\dfrac{e^2-8e+17}{4}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : dériver $u$ et simplifier. $u'(x)=\ln^2x+x\cdot\dfrac{2\ln x}{x}-2\ln x-2+2=\ln^2x$ : $u$ est une primitive de $\ln^2x$ sur $]0,+\infty[$ .

2. Idée : IPP avec $u=\ln x$ , $v'=x$ . $\displaystyle\int_1^{\e}x\ln x\,\dd x=\Big[\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^{\e}-\dfrac12\int_1^{\e}x\,\dd x=\dfrac{\e^2}{2}-\dfrac{\e^2-1}{4}=\dfrac{\e^2+1}{4}$ .

3. $\displaystyle\int_1^{\e}\ln^2x\,\dd x=u(\e)-u(1)=(\e-2\e+2\e)-(0-0+2)=\e-2$ .

4. Idée : signe de $f$ sur $[1,\e]$ avant d'écrire l'aire. $f(x)=\ln x\,(x-2\ln x)$ ; sur $[1,\e]$ , $\ln x\geq0$ et $x-2\ln x\geq x-2\ln x\big|_{x=2}=2-2\ln2>0$ (minimum de $x\mapsto x-2\ln x$ en $2$ ), donc $f\geq0$ et $A=\displaystyle\int_1^{\e}f$ . Par linéarité :

A=\frac{\e^2+1}{4}-2(\e-2)=\frac{\e^2+1-8\e+16}{4}=\boxed{\frac{\e^2-8\e+17}{4}}\approx0{,}66\ \text{u.a.}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill IN-D.1 — encadrer $\int_1^{e}\ln^2 x\,\mathrm{d}x$ sans la calculer

4 questionsCorrigé masqué

On ne cherche pas ici la valeur exacte de l'intégrale $J=\displaystyle\int_1^{e}\ln^2 x\,\mathrm{d}x$ , mais un encadrement obtenu en comparant deux fonctions.

Montrer que, pour tout $x\in[1,e]$ , $0\le\ln x\le 1$ , puis en déduire que $0\le\ln^2 x\le\ln x$ .
Vérifier que $x\mapsto x\ln x-x$ est une primitive de $\ln x$ , et calculer $\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,\mathrm{d}x$ .
En déduire un encadrement de $J$ par la positivité et la croissance de l'intégrale.
Comparer cet encadrement à la valeur exacte $J=e-2$ obtenue dans l'exercice principal.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La fonction $\ln$ est croissante, donc pour $1\le x\le e$ on a $\ln 1\le\ln x\le\ln e$ , c'est-à-dire $0\le\ln x\le 1$ . En multipliant l'inégalité $0\le\ln x\le 1$ par le réel positif $\ln x$ , on obtient $0\le\ln^2 x\le\ln x$ sur $[1,e]$ .

2. On pose $v(x)=x\ln x-x$ ; alors $v'(x)=\ln x+1-1=\ln x$ , donc $v$ est une primitive de $\ln x$ sur $]0,+\infty[$ . On obtient $\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,\mathrm{d}x=[v]_1^e=(e-e)-(0-1)=1$ .

3. L'intégrale conserve l'ordre sur $[1,e]$ puisque $1<e$ : de $0\le\ln^2 x\le\ln x$ il en résulte $0\le J\le\displaystyle\int_1^{e}\ln x\,\mathrm{d}x=1$ . Conclusion : $0\le J\le 1$ .

4. La valeur exacte est $J=e-2\simeq 0{,}718$ , qui appartient bien à $[0,1]$ : l'encadrement est cohérent, et il était obtenu sans aucune primitive de $\ln^2 x$ . C'est l'intérêt de la méthode — comparer les fonctions coûte moins cher que primitiver, et suffit souvent à conclure.

Méthode / Automatismes

Vérifier une primitive proposée par dérivation directe.
IPP pour $\int x\ln x$ : dériver $\ln x$ , intégrer $x$ .
L'aire s'obtient par linéarité de l'intégrale.

Pièges classiques

Oublier le facteur $2$ devant $\int\ln^2 x$ . Confondre $u(1)=2$ avec $0$ .

Primitive de ln⁡2x\ln^2 xln2x, ∫xln⁡x\int x\ln x∫xlnx et calcul d'aire

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Primitive de $\ln^2 x$ , $\int x\ln x$ et calcul d'aire