IN-CPrimitivisation et calcul intégral

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ — primitive et aire

Idée directrice

Forme attestée en Bac Sciences expérimentales, session de contrôle 2019 : suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ , primitive de $x\mapsto\ln(x+1)$ , intégration par parties, $I_2$ lue comme aire.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ »

« $h$ primitive de $\ln(x+1)$ »

« Intégration par parties »

« $I_2$ est une aire »

Sujet principal

Exercice — suite d'intégrales $I_n$ (esprit SE contrôle 2019)

5 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge 0$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_{0}^{1} x^n\ln(x+1)\,\mathrm{d}x$ . On note $(C)$ la courbe de $x\mapsto x^2\ln(x+1)$ sur $[0,1]$ . On travaille ici le calcul d'intégrale, les primitives et, le cas échéant, les sommes associées.

Montrer que $I_n>0$ pour tout $n\ge 0$ .
Soit $h$ définie sur $]-1,+\infty[$ par $h(x)=(x+1)\ln(x+1)-x$ . Montrer que $h$ est une primitive de $x\mapsto\ln(x+1)$ sur $]-1,+\infty[$ .
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_1$ .
En utilisant une intégration par parties avec la primitive $h$ , établir une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ .
En déduire la valeur de $I_2$ . Interpréter $I_2$ comme l'aire de la région limitée par $(C)$ , l'axe des abscisses, entre $x=0$ et $x=1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Sur $[0,1]$ , $x^n\geq0$ et $\ln(x+1)\geq0$ , le produit étant strictement positif sur $]0,1]$ et continu : $I_n>0$ .

2. Idée : dériver la primitive proposée. $h'(x)=\ln(x+1)+(x+1)\cdot\dfrac{1}{x+1}-1=\ln(x+1)$ : $h$ est une primitive de $\ln(x+1)$ sur $]-1,+\infty[$ .

3. Idée : IPP avec $u=\ln(x+1)$ , $v'=x$ , puis division euclidienne de $\dfrac{x^2}{x+1}$ . $I_1=\Big[\dfrac{x^2}{2}\ln(x+1)\Big]_0^1-\dfrac12\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{x+1}\,\dd x$ et $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ , d'où $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^2}{x+1}\,\dd x=\dfrac12-1+\ln2=\ln2-\dfrac12$ . Ainsi $I_1=\dfrac{\ln2}{2}-\dfrac12\Big(\ln2-\dfrac12\Big)=\boxed{\dfrac14}$ .

4. Idée : IPP avec $u=x^{n+1}$ et $v'=\ln(x+1)$ , $v=h$ . $I_{n+1}=\big[x^{n+1}h(x)\big]_0^1-(n+1)\displaystyle\int_0^1x^n\big((x+1)\ln(x+1)-x\big)\dd x=h(1)-(n+1)\Big(I_{n+1}+I_n-\dfrac{1}{n+2}\Big)$ avec $h(1)=2\ln2-1$ . En regroupant les $I_{n+1}$ :

(n+2)\,I_{n+1}=2\ln2-1+\frac{n+1}{n+2}-(n+1)\,I_n

5. Pour $n=1$ : $3I_2=2\ln2-1+\dfrac23-2\times\dfrac14=2\ln2-\dfrac56$ , d'où $I_2=\dfrac23\ln2-\dfrac{5}{18}\approx0{,}184$ . Comme $x^2\ln(x+1)\geq0$ sur $[0,1]$ , $I_2$ est l'aire (en u.a.) du domaine sous $(C)$ entre $x=0$ et $x=1$ .

I_2=\frac23\ln2-\frac5{18}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill IN-C.1 — primitive de $\ln(x+1)$ et $I_0$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $h(x)=(x+1)\ln(x+1)-x$ sur $]-1,+\infty[$ et $I_0=\displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\mathrm{d}x$ . Exercice centré sur une intégrale et sa primitive.

Montrer que $h$ est une primitive de $\ln(x+1)$ .
Calculer l'intégrale $I_0$ .
Interpréter $I_0$ comme une aire.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $h'(x)=\ln(x+1)+(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}-1=\ln(x+1)$ . Donc $h$ est une primitive de $\ln(x+1)$ sur $]-1,+\infty[$ .

2. L'intégrale $I_0$ se calcule par la primitive $h$ : $I_0=[h(x)]_0^1=h(1)-h(0)=(2\ln 2-1)-0=2\ln 2-1$ .

3. Comme $\ln(x+1)\ge 0$ sur $[0,1]$ , la valeur $I_0$ est l'aire de la région située sous la courbe de $\ln(x+1)$ entre les abscisses $0$ et $1$ . On a bien $I_0>0$ car $\ln 2>\frac12$ .

Entraînement 02 / 02

Drill IN-C.2 — IPP pour $I_1$

3 questionsCorrigé masqué

On pose $I_1=\displaystyle\int_0^1 x\ln(x+1)\,\mathrm{d}x$ . Exercice centré sur une intégrale et sa primitive.

Justifier l'existence de l'intégrale $I_1$ .
Calculer $I_1$ par intégration par parties.
Conclure sur le signe de $I_1$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La fonction $x\mapsto x\ln(x+1)$ est continue sur le segment $[0,1]$ , donc l'intégrale $I_1$ existe (intégrale d'une fonction continue sur un segment).

2. Intégration par parties : $u=\ln(x+1)$ , $v'=x$ , d'où $u'=\frac{1}{x+1}$ , $v=\frac{x^2}{2}$ . Alors $I_1=\bigl[\frac{x^2}{2}\ln(x+1)\bigr]_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{x+1}\,dx$ . On décompose $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$ , ce qui donne $I_1=\frac14$ .

3. $I_1=\frac14>0$ , cohérent avec le fait que l'intégrande $x\ln(x+1)$ est strictement positive sur $]0,1]$ .

Méthode / Automatismes

Identifier une primitive de $\ln(x+1)$ avant toute IPP sur $I_n$ .
Pour $I_1$ , dériver le logarithme et intégrer la puissance.
Aire $=$ intégrale lorsque l'intégrande est positive.

Pièges classiques

Oublier le crochet en $0$ . Confondre la primitive de $\ln(x+1)$ avec celle de $x\ln(x+1)$ .

Suite d'intégrales In=∫01xnln⁡(x+1) dxI_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dxIn​=∫01​xnln(x+1)dx — primitive et aire

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 x^n\ln(x+1)\,dx$ — primitive et aire