Suite d'intégrales, primitive et aire — $f(x)=x\ln x$

1. Idée : positivité de l'intégrale d'une fonction continue positive non nulle. Sur $]0,1]$, $t^n\e^t>0$ ; la fonction est continue sur $[0,1]$ et non identiquement nulle, donc $u_n>0$. Par croissance de $\exp$, $t\leq1\Rightarrow\e^t\leq\e$ sur $[0,1]$.

2. Idée : majorer l'intégrande, puis intégrer. $0<t^n\e^t\leq\e\,t^n$ sur $]0,1]$, donc $0<u_n\leq\e\displaystyle\int_0^1t^n\,\dd t=\dfrac{\e}{n+1}$. Comme $\dfrac{\e}{n+1}\to0$, le théorème des gendarmes donne $\lim u_n=0$.

3. Idée : IPP en dérivant $t^{n+1}$, jamais l'exponentielle. $u_{n+1}=\big[t^{n+1}\e^t\big]_0^1-(n+1)\displaystyle\int_0^1t^n\e^t\,\dd t=\e-(n+1)u_n$.

4. Idée : une primitive de $x\ln x$ par IPP, puis découper la région selon les courbes qui la bornent. Avec $u=\ln x$, $v'=x$ : $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}$ vérifie $F'(x)=x\ln x$. Sur $\big[\tfrac1\e,1\big]$, $-x\leq f(x)=x\ln x\leq0\leq x$ : la courbe partage la bande comprise entre les droites $y=-x$ et $y=x$ en deux parties. $\displaystyle\int_{1/\e}^{1}f=F(1)-F(1/\e)=-\dfrac14-\Big(-\dfrac{1}{2\e^2}-\dfrac{1}{4\e^2}\Big)=-\dfrac14+\dfrac{3}{4\e^2}$ et $\displaystyle\int_{1/\e}^{1}x\,\dd x=\dfrac12-\dfrac{1}{2\e^2}$. D'où :

• entre $y=x$ et la courbe : $\displaystyle\int_{1/\e}^1(x-f)=\dfrac34-\dfrac{5}{4\e^2}$ u.a. ;
• entre la courbe et $y=-x$ : $\displaystyle\int_{1/\e}^1(f+x)=\dfrac14+\dfrac{1}{4\e^2}$ u.a. ;