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Fahmio
Fahmio
Bac Tunisie
Mathématiques/IN-A
IN-APrimitivisation et calcul intégral

Suite d'intégrales, primitive et aire — f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x

Idée directrice

Forme attestée en 2018 session principale, exercice 3 (mode limites_variations_integrales) : après une étude de f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x, le cœur du barème bascule sur une suite d'intégrales unu_n, majorations, intégration par parties et aire. Déposé sous IN car le vocabulaire intégral domine les questions.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« un=∫1/e1tnet dtu_n=\int_{1/e}^{1} t^n e^{t}\,dt »

« Montrer 0<un≤e/(n+1)0<u_n\le e/(n+1) ; en déduire lim⁡un=0\lim u_n=0 »

« Par intégration par parties, un+1=⋯u_{n+1}=\cdots »

« Calculer l'aire de SS à l'aide d'une primitive »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Positivité de l'intégrande ⇒un>0\Rightarrow u_n>0.
  • Majoration uniforme de ete^{t} sur un segment compact.
  • IPP : choisir u=tnu=t^{n} ou u=tn+1u=t^{n+1} selon la relation de récurrence demandée.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier la borne 1/e1/e dans le calcul de ∫tn\int t^n. Confondre un+1u_{n+1} avec (n+1)un(n+1)u_n. Oublier la valeur absolue dans le calcul d'aire quand la courbe croise une droite.

Sujet principal

Exercice — suite d'intégrales et aire (esprit 2018 principale, ex.3)

4 questionsCorrigé masqué

Soit ff définie sur [0,+∞[[0,+\infty[ par f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x si x>0x>0 et f(0)=0f(0)=0. Pour tout entier n≥0n\ge 0, on pose un=∫01tnet dtu_n=\displaystyle\int_{0}^{1} t^n\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d}t.

  1. Montrer que un>0u_n>0, puis justifier que et≤e\mathrm{e}^{t}\le \mathrm{e} pour tout t∈[0,1]t\in[0,1].
  2. Montrer que 0<un≤en+10<u_n\le \dfrac{\mathrm{e}}{n+1}. En déduire lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0.
  3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que un+1=e−(n+1) unu_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)\,u_n.
  4. Calculer l'aire de la partie SS limitée par la courbe représentative de ff et les droites y=xy=x et y=−xy=-x sur [1e,1]\bigl[\tfrac1{\mathrm{e}},1\bigr], en utilisant une primitive de ff.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : positivité de l'intégrale d'une fonction continue positive non nulle. Sur ]0,1]]0,1], tnet>0t^n\e^t>0 ; la fonction est continue sur [0,1][0,1] et non identiquement nulle, donc un>0u_n>0. Par croissance de exp⁡\exp, t≤1⇒et≤et\leq1\Rightarrow\e^t\leq\e sur [0,1][0,1].

2. Idée : majorer l'intégrande, puis intégrer. 0<tnet≤e tn0<t^n\e^t\leq\e\,t^n sur ]0,1]]0,1], donc 0<un≤e∫01tn dt=en+10<u_n\leq\e\displaystyle\int_0^1t^n\,\dd t=\dfrac{\e}{n+1}. Comme en+1→0\dfrac{\e}{n+1}\to0, le théorème des gendarmes donne lim⁡un=0\lim u_n=0.

3. Idée : IPP en dérivant tn+1t^{n+1}, jamais l'exponentielle. un+1=[tn+1et]01−(n+1)∫01tnet dt=e−(n+1)unu_{n+1}=\big[t^{n+1}\e^t\big]_0^1-(n+1)\displaystyle\int_0^1t^n\e^t\,\dd t=\e-(n+1)u_n.

un+1=e−(n+1) unu_{n+1}=\e-(n+1)\,u_n

4. Idée : une primitive de xln⁡xx\ln x par IPP, puis découper la région selon les courbes qui la bornent. Avec u=ln⁡xu=\ln x, v′=xv'=x : F(x)=x22ln⁡x−x24F(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4} vérifie F′(x)=xln⁡xF'(x)=x\ln x. Sur [1e,1]\big[\tfrac1\e,1\big], −x≤f(x)=xln⁡x≤0≤x-x\leq f(x)=x\ln x\leq0\leq x : la courbe partage la bande comprise entre les droites y=−xy=-x et y=xy=x en deux parties. ∫1/e1f=F(1)−F(1/e)=−14−(−12e2−14e2)=−14+34e2\displaystyle\int_{1/\e}^{1}f=F(1)-F(1/\e)=-\dfrac14-\Big(-\dfrac{1}{2\e^2}-\dfrac{1}{4\e^2}\Big)=-\dfrac14+\dfrac{3}{4\e^2} et ∫1/e1x dx=12−12e2\displaystyle\int_{1/\e}^{1}x\,\dd x=\dfrac12-\dfrac{1}{2\e^2}. D'où :

  • entre y=xy=x et la courbe : ∫1/e1(x−f)=34−54e2\displaystyle\int_{1/\e}^1(x-f)=\dfrac34-\dfrac{5}{4\e^2} u.a. ;
  • entre la courbe et y=−xy=-x : ∫1/e1(f+x)=14+14e2\displaystyle\int_{1/\e}^1(f+x)=\dfrac14+\dfrac{1}{4\e^2} u.a. ;
aire totale de S=(34−54e2)+(14+14e2)=1−1e2 u.a.(=∫1/e12x dx, controˆle)\text{aire totale de }S=\Big(\tfrac34-\tfrac{5}{4\e^2}\Big)+\Big(\tfrac14+\tfrac1{4\e^2}\Big)=1-\frac1{\e^2}\ \text{u.a.}\quad(=\textstyle\int_{1/\e}^1 2x\,\dd x\text{, contrôle})

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill IN-A.1 — majoration d'une suite d'intégrales
Entraînement 01 / 01

Drill IN-A.1 — majoration d'une suite d'intégrales

3 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier n≥0n\ge 0, on pose un=∫1/e1tnet dtu_n=\displaystyle\int_{1/\mathrm{e}}^{1} t^n\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d}t. On travaille uniquement sur l'intégrale et sa majoration.

  1. Montrer que un>0u_n>0.
  2. En majorant et\mathrm{e}^{t} par e\mathrm{e} sur [1/e,1][1/\mathrm{e},1], montrer que 0<un≤en+10<u_n\le\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}.
  3. En déduire lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. L'intégrande tnett^n e^{t} est strictement positive sur [1/e,1][1/e,1], donc l'intégrale unu_n est >0>0.

2. Pour t∈[1/e,1]t\in[1/e,1], 0<et≤e0<e^{t}\le e, d'où 0<un≤e∫1/e1tn dt≤e/(n+1)0<u_n\le e\int_{1/e}^{1}t^n\,dt\le e/(n+1) (la primitive de tnt^n est tn+1/(n+1)t^{n+1}/(n+1)).

3. 0<un≤e/(n+1)0<u_n\le e/(n+1) et e/(n+1)→0e/(n+1)\to 0 : par encadrement, lim⁡un=0\lim u_n=0.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.