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Fahmio
Fahmio
Bac Tunisie
Mathématiques/IN-B
IN-BPrimitivisation et calcul intégral

Aires planes et calcul intégral

Idée directrice

Acte III, la mesure. Une aire entre deux courbes est une intégrale de leur différence ; on la calcule en fonction d'un paramètre λ\lambda puis on passe à la limite. Même chapitre, autre visage : encadrer une intégrale sans la calculer et interpréter le signe de l'intégrande en aires algébriques.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer l'aire A(λ)A(\lambda) » ; « déterminer lim⁡A(λ)\lim A(\lambda) » ; « encadrer une intégrale sans la calculer ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Aire entre Cf\mathcal{C}_f et l'axe sur [a,b][a,b] (avec f≥0f\geq0) : ∫abf\displaystyle\int_a^b f. Entre deux courbes : ∫ab∣f−g∣\displaystyle\int_a^b|f-g| (étudier le signe de f−gf-g).
  • Aire en fonction d'un paramètre →\to étudier la limite (finie ou non) et interpréter.
  • Encadrer une intégrale : encadrer l'intégrande sur [a,b][a,b] puis intégrer (positivité et comparaison des intégrales).
  • Primitives utiles : ∫dxx=ln⁡∣x∣\int\frac{\dd x}{x}=\ln|x|, ∫u′u=ln⁡∣u∣\int\frac{u'}{u}=\ln|u|, ∫u′eu=eu\int u'\e^{u}=\e^{u}, ∫u′un=un+1n+1\int u'u^{n}=\tfrac{u^{n+1}}{n+1}.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Intégrer f−gf-g sans étudier son signe (l'aire est l'intégrale de la valeur absolue). Confondre aire géométrique et intégrale algébrique quand l'intégrande change de signe.

Sujet principal

Exercice 6 — aire en fonction d'un paramètre

1 questionCorrigé masqué
  1. Pour λ>1\lambda>1, calculer l'aire A(λ)A(\lambda) du domaine délimité par Cf\mathcal{C}_f (f(x)=1xf(x)=\tfrac1x), l'axe des abscisses et les droites x=1x=1 et x=λx=\lambda, en exprimant A(λ)A(\lambda) comme une intégrale puis en utilisant une primitive de ff. Déterminer lim⁡λ→+∞A(λ)\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}A(\lambda).
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : vérifier le signe de ff sur l'intervalle avant d'identifier aire et intégrale. Sur [1,λ][1,\lambda], f(x)=1x>0f(x)=\dfrac1x>0, donc l'aire du domaine délimité par Cf\mathcal C_f, l'axe des abscisses et les droites x=1x=1, x=λx=\lambda est l'intégrale de ff. Une primitive de x↦1xx\mapsto\dfrac1x sur ]0,+∞[]0,+\infty[ est ln⁡x\ln x :

A(λ)=∫1λdxx=[ln⁡x]1λ=ln⁡λ u.a.A(\lambda)=\int_1^{\lambda}\frac{\dd x}{x}=\big[\ln x\big]_1^{\lambda}=\ln\lambda\ \text{u.a.}

Idée : le paramètre part à l'infini. lim⁡λ→+∞ln⁡λ=+∞\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\ln\lambda=+\infty : l'aire n'est pas bornée — bien que f(x)→0f(x)\to0, la courbe ne s'approche pas assez vite de l'axe pour enfermer une aire finie (à comparer avec 1x2\dfrac1{x^2}, dont l'aire sur [1,+∞[[1,+\infty[ vaut 11).

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill IN-B.1 — aire entre deux courbes
Entraînement 01 / 07

Drill IN-B.1 — aire entre deux courbes

1 questionCorrigé masqué

Calculer l'aire du domaine délimité par y=xy=x et y=x2y=x^2 pour x∈[0,1]x\in[0,1].

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Sur [0,1][0,1], x≥x2x\ge x^2. L'aire de la partie du plan entre y=xy=x et y=x2y=x^2 s'obtient via une primitive de x−x2x-x^2 : A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16A=\int_0^1(x-x^2)\,\dd x=\left[\tfrac{x^2}2-\tfrac{x^3}3\right]_0^1=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16 u.a.

2 Drill IN-B.3 — encadrement d'une intégrale
Entraînement 02 / 07

Drill IN-B.3 — encadrement d'une intégrale

1 questionCorrigé masqué

Montrer que 12≤∫01dx1+x2≤1\dfrac12\le\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\dd x}{1+x^2}\le1 sans la calculer.

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Montrons que 12≤∫01dx1+x2≤1\tfrac12\le\int_0^1\tfrac{\dd x}{1+x^2}\le1. Sur [0,1][0,1], 1≤1+x2≤21\le1+x^2\le2, par suite 12≤11+x2≤1\tfrac12\le\tfrac1{1+x^2}\le1. En intégrant sur [0,1][0,1], il en résulte l'encadrement demandé. Conclusion : 12≤∫01dx1+x2≤1\tfrac12\le\int_0^1\tfrac{\dd x}{1+x^2}\le1 (valeur exacte π4≈0,785\tfrac\pi4\approx0{,}785).

3 Drill IN-B.4 — intégrale et signe
Entraînement 03 / 07

Drill IN-B.4 — intégrale et signe

1 questionCorrigé masqué

Calculer ∫02(x−1) dx\displaystyle\int_{0}^{2}(x-1)\,\dd x et interpréter le résultat en termes d'aires algébriques.

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Une primitive de x−1x-1 est x22−x\tfrac{x^2}2-x. On a [x22−x]02=(2−2)−0=0\left[\tfrac{x^2}2-x\right]_0^2=(2-2)-0=0. L'aire de la partie sous l'axe sur [0,1][0,1] compense celle au-dessus sur [1,2][1,2] : intégrale nulle.

4 Drill IN-B.5 — volume d'un solide de révolution par intégration par parties
Entraînement 04 / 07

Drill IN-B.5 — volume d'un solide de révolution par intégration par parties

3 questionsCorrigé masqué

Soit ff la fonction définie sur [0,+∞[[0,+\infty[ par f(x)=x  e−x/2f(x)=\sqrt{x}\;e^{-x/2} et C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2 cm2\,\mathrm{cm} sur chaque axe. On fait tourner l'arc de C\mathcal{C} d'abscisses comprises entre 00 et 22 autour de l'axe des abscisses ; on note VV le volume du solide ainsi engendré.

  1. Justifier que ff est continue et positive sur [0,2][0,2] et que, pour tout x≥0x\ge 0, f2(x)=x e−xf^{2}(x)=x\,e^{-x}.
  2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale ∫02x e−x dx\displaystyle\int_0^{2}x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x ; en déduire une primitive de x↦x e−xx\mapsto x\,e^{-x} sur R\mathbb{R}.
  3. En déduire le volume VV du solide de révolution obtenu, en unités de volume, puis une valeur approchée en cm3\mathrm{cm}^3.
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Idée : le volume se calcule avec f2f^{2}, qui est ici plus simple que ff.

1. x↦xx\mapsto\sqrt{x} et x↦e−x/2x\mapsto e^{-x/2} sont continues et positives sur [0,+∞[[0,+\infty[, donc leur produit ff aussi. De plus f2(x)=(x)2(e−x/2)2=x e−xf^{2}(x)=\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}\bigl(e^{-x/2}\bigr)^{2}=x\,e^{-x}.

2. Idée : dériver le facteur polynôme, intégrer l'exponentielle. On pose u(x)=xu(x)=x, v′(x)=e−xv'(x)=e^{-x}, d'où u′(x)=1u'(x)=1, v(x)=−e−xv(x)=-e^{-x} ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur [0,2][0,2].
∫02x e−x dx=[−x e−x]02+∫02e−x dx=−2e−2+[−e−x]02=1−3e−2.\int_0^{2}x\,e^{-x}\,\mathrm{d}x=\bigl[-x\,e^{-x}\bigr]_0^{2}+\int_0^{2}e^{-x}\,\mathrm{d}x=-2e^{-2}+\bigl[-e^{-x}\bigr]_0^{2}=\boxed{1-3e^{-2}}.
Le même calcul sur [0,X][0,X] montre que x↦−(x+1)e−xx\mapsto-(x+1)e^{-x} est une primitive de x↦x e−xx\mapsto x\,e^{-x} : sa dérivée vaut −e−x+(x+1)e−x=x e−x-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=x\,e^{-x}.

3. Idée : V=π∫abf2V=\pi\int_a^b f^2, puis conversion de l'unité. V=π∫02f2(x) dx=π(1−3e−2)≈1,866V=\pi\displaystyle\int_0^{2}f^{2}(x)\,\mathrm{d}x=\boxed{\pi\bigl(1-3e^{-2}\bigr)}\approx1{,}866 unité de volume. Une unité de volume vaut 2×2×2=8 cm32\times2\times2=8\,\mathrm{cm}^3, donc V≈14,9 cm3V\approx\boxed{14{,}9\,\mathrm{cm}^3}.

Piège : écrire π∫02f\pi\int_0^2 f ou (∫02f)2\bigl(\int_0^2 f\bigr)^2 ; oublier de convertir l'unité de volume.

5 Drill IN-B.6 — aire A(λ)\mathcal A(\lambda) sur [−λ,λ][-\lambda,\lambda] pour une fonction paire, puis limite
Entraînement 05 / 07

Drill IN-B.6 — aire A(λ)\mathcal A(\lambda) sur [−λ,λ][-\lambda,\lambda] pour une fonction paire, puis limite

4 questionsCorrigé masqué

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=2ex(1+ex)2f(x)=\dfrac{2e^x}{\left(1+e^x\right)^2}. Pour λ>0\lambda>0, on note A(λ)\mathcal A(\lambda) l'aire du domaine limité par la courbe de ff, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=−λx=-\lambda et x=λx=\lambda.

  1. Montrer que ff est paire et positive.
  2. Vérifier que x↦−21+exx\mapsto-\dfrac{2}{1+e^x} est une primitive de ff sur R\R.
  3. Montrer que A(λ)=2∫0λf(x) dx\mathcal A(\lambda)=2\displaystyle\int_0^{\lambda}f(x)\,dx puis calculer A(λ)\mathcal A(\lambda).
  4. Déterminer lim⁡λ→+∞A(λ)\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda) et interpréter.
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1. f(−x)=2e−x(1+e−x)2=2e−x e2x(ex+1)2=2ex(1+ex)2=f(x)f(-x)=\frac{2e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2}=\frac{2e^{-x}\,e^{2x}}{\left(e^x+1\right)^2}=\frac{2e^x}{\left(1+e^x\right)^2}=f(x) ; f>0f>0.

2. (−21+ex)′=2ex(1+ex)2=f(x)\left(-\frac{2}{1+e^x}\right)'=\frac{2e^x}{\left(1+e^x\right)^2}=f(x).

3. ff étant positive, A(λ)=∫−λλf\mathcal A(\lambda)=\int_{-\lambda}^{\lambda}f ; la parité donne ∫−λ0f=∫0λf\int_{-\lambda}^{0}f=\int_0^{\lambda}f, d'où A(λ)=2∫0λf=2[−21+ex]0λ=2(1−21+eλ)\mathcal A(\lambda)=2\int_0^\lambda f=2\left[-\frac{2}{1+e^x}\right]_0^\lambda=2\left(1-\frac{2}{1+e^\lambda}\right).

4. eλ→+∞e^\lambda\to+\infty, donc lim⁡λ→+∞A(λ)=2\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)=\boxed{2} : le domaine non borné compris entre la courbe et l'axe des abscisses a une aire finie égale à 22 unités d'aire.

6 Drill IN-B.7 — aire jusqu'à une borne ouverte : λ→0+\lambda\to0^+ et croissances comparées
Entraînement 06 / 07

Drill IN-B.7 — aire jusqu'à une borne ouverte : λ→0+\lambda\to0^+ et croissances comparées

3 questionsCorrigé masqué

Pour λ∈ ]0,1[\lambda\in\,]0,1[, on note A(λ)\mathcal A(\lambda) l'aire du domaine limité par la courbe de la fonction x↦−ln⁡xx\mapsto-\ln x, l'axe des abscisses et les droites x=λx=\lambda et x=1x=1.

  1. Justifier que A(λ)=−∫λ1ln⁡x dx\mathcal A(\lambda)=-\displaystyle\int_\lambda^1\ln x\,dx.
  2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer A(λ)\mathcal A(\lambda).
  3. Déterminer lim⁡λ→0+A(λ)\displaystyle\lim_{\lambda\to0^+}\mathcal A(\lambda) et interpréter.
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1. Sur [λ,1][\lambda,1], −ln⁡x≥0-\ln x\ge0 : l'aire est l'intégrale de −ln⁡x-\ln x.

2. Par parties (u=ln⁡xu=\ln x, v′=1v'=1) : ∫λ1ln⁡x dx=[xln⁡x]λ1−∫λ1dx=−λln⁡λ−(1−λ)\int_\lambda^1\ln x\,dx=\left[x\ln x\right]_\lambda^1-\int_\lambda^1dx=-\lambda\ln\lambda-(1-\lambda). Donc A(λ)=1−λ+λln⁡λ\mathcal A(\lambda)=1-\lambda+\lambda\ln\lambda.

3. lim⁡λ→0+λln⁡λ=0\lim_{\lambda\to0^+}\lambda\ln\lambda=0, donc lim⁡λ→0+A(λ)=1\lim_{\lambda\to0^+}\mathcal A(\lambda)=\boxed{1} : le domaine non borné (la courbe a l'axe des ordonnées pour asymptote) a une aire finie de 11 unité d'aire.

7 Drill IN-B.8 — aire non calculable : fonction croissante et majorée, donc limite finie
Entraînement 07 / 07

Drill IN-B.8 — aire non calculable : fonction croissante et majorée, donc limite finie

3 questionsCorrigé masqué

Pour λ≥1\lambda\ge1, on pose A(λ)=∫1λe−t2 dt\mathcal A(\lambda)=\displaystyle\int_1^{\lambda}e^{-t^2}\,dt (on ne cherchera pas à calculer cette intégrale).

  1. Interpréter A(λ)\mathcal A(\lambda) comme une aire et montrer que la fonction A\mathcal A est croissante sur [1,+∞[[1,+\infty[.
  2. Montrer que, pour tout t≥1t\ge1, e−t2≤e−te^{-t^2}\le e^{-t}. En déduire que A(λ)≤1e\mathcal A(\lambda)\le\dfrac1e pour tout λ≥1\lambda\ge1.
  3. En déduire que A(λ)\mathcal A(\lambda) admet une limite finie ℓ\ell quand λ→+∞\lambda\to+\infty et donner un encadrement de ℓ\ell.
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1. e−t2>0e^{-t^2}>0 : A(λ)\mathcal A(\lambda) est l'aire du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites t=1t=1, t=λt=\lambda. A′(λ)=e−λ2>0\mathcal A'(\lambda)=e^{-\lambda^2}>0 : A\mathcal A est croissante.

2. Pour t≥1t\ge1, t2≥tt^2\ge t, donc −t2≤−t-t^2\le-t et e−t2≤e−te^{-t^2}\le e^{-t}. En intégrant sur [1,λ][1,\lambda] : A(λ)≤∫1λe−tdt=e−1−e−λ≤1e\mathcal A(\lambda)\le\int_1^\lambda e^{-t}dt=e^{-1}-e^{-\lambda}\le\frac1e.

3. Croissante et majorée, A\mathcal A admet une limite finie ℓ\ell en +∞+\infty, avec 0<ℓ≤1e0<\ell\le\frac1e (et même ℓ≥A(2)>0\ell\ge\mathcal A(2)>0).

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