Hyperbole et asymptotes

Idée directrice

Pour $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , les asymptotes sont $y=\pm\dfrac{b}{a}x$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

hyperbole

asymptotes

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Identifier la branche et calculer $c=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Utiliser $c=\sqrt{a^2-b^2}$ comme pour l'ellipse.

Sujet principal

Exercice — hyperbole

3 questionsCorrigé masqué

On donne $\mathcal{H}:\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ .

Préciser sommets et foyers.
Donner les équations des asymptotes.
Vérifier que le point $M(5, 9/4)$ appartient à $\mathcal{H}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $a=4$ , $b=3$ , $c=5$ . On a : sommets $(\pm4;0)$ , foyers $(\pm5;0)$ ; asymptotes $y=\pm\tfrac34 x$ ; en $M(5,\tfrac94)$ : $\tfrac{25}{16}-\tfrac{9}{16}=1$ . Conclusion : sommets $(\pm4;0)$ , foyers $(\pm5;0)$ , asymptotes $y=\pm\dfrac{3}{4}x$ , $M\in\mathcal H$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Hyperbole translatée : l’asymptote ne suffit pas

Entraînement 01 / 01

Hyperbole translatée : l’asymptote ne suffit pas

3 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Dans un repère orthonormé, on donne $\mathcal H : \dfrac{(y+2)^2}{9}-\dfrac{(x-1)^2}{16}=1$ . Un élève propose les droites $y=\pm\dfrac34x$ comme asymptotes et affirme qu’une asymptote est un axe de symétrie de la courbe.

Déterminer le centre, les sommets, les foyers et les asymptotes de cette hyperbole.
Corriger les deux affirmations de l’élève. Distinguer l’axe focal des asymptotes.
La droite $y=1$ coupe-t-elle $\mathcal H$ ? Si oui, déterminer tous les points d’intersection par substitution.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose $X=x-1$ , $Y=y+2$ : $Y^2/9-X^2/16=1$ . Le centre est $C(1;-2)$ , l’axe focal est vertical, $a=3$ , $b=4$ et $c=\sqrt{a^2+b^2}=5$ . Les sommets sont $(1;1)$ et $(1;-5)$ ; les foyers $(1;3)$ et $(1;-7)$ . Les asymptotes sont $y+2=\pm\tfrac34(x-1)$ .

2. Les asymptotes passent par le centre $C$ , et non par l’origine : les droites proposées oublient la translation. Les axes de symétrie sont $x=1$ et $y=-2$ ; $x=1$ est l’axe focal. Une asymptote décrit une direction approchée à l’infini. Ici aucune n’est un axe de symétrie : la réflexion du sommet $(1;1)$ dans $y+2=\tfrac34(x-1)$ donne $(97/25;-71/25)$ , qui ne satisfait pas l’équation (le membre gauche vaut $-11/25$ ).

3. En remplaçant $y$ par $1$ , on obtient $9/9-(x-1)^2/16=1$ , donc $(x-1)^2=0$ et $x=1$ . L’unique intersection est le sommet $(1;1)$ ; cette droite est la tangente en ce sommet.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.