Ellipse : définition bifocale et excentricité

Idée directrice

L'ellipse est le lieu des points $M$ tels que $MF+MF'=2a$ constant, avec $2a>FF'$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

ellipse

excentricité

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Toujours ordonner $a>b$ pour une ellipse allongée selon $Ox$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Inverser $a$ et $b$ si l'axe focal est vertical.

Sujet principal

Exercice — ellipse réduite

3 questionsCorrigé masqué

Soit $\mathcal{E}:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ .

Déterminer $a$ , $b$ , $c$ et les foyers.
Calculer l'excentricité $e$ .
Écrire les équations des directrices.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

On pose $a^2=25$ , $b^2=9$ . On a : $a=5$ , $b=3$ , $c=\sqrt{25-9}=4$ , foyers $(\pm4;0)$ ; $e=c/a=4/5$ ; directrices $x=\pm a/e=\pm25/4$ . Conclusion : $a=5$ , $b=3$ , $c=4$ , $e=\dfrac{4}{5}$ , foyers $(\pm4;0)$ , directrices $x=\pm\dfrac{25}{4}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Retrouver une ellipse verticale à partir de ses foyers

Entraînement 01 / 01

Retrouver une ellipse verticale à partir de ses foyers

3 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Dans un repère orthonormé, $F_1(2;3)$ et $F_2(2;-5)$ sont deux points fixes. On considère le lieu $\mathcal E$ des points $M(x;y)$ tels que $MF_1+MF_2=10$ .

Justifier qu’il s’agit d’une ellipse et déterminer son centre, son axe focal et ses demi-axes.
Écrire une équation réduite de cette ellipse, puis déterminer son excentricité et ses directrices.
Vérifier que $P(5;-1)$ appartient au lieu par calcul des deux distances. Pourquoi placer le plus grand dénominateur sous $(x-2)^2$ serait-il une erreur ?

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Le milieu des foyers est $C(2;-1)$ et $F_1F_2=8<10$ : le lieu est une ellipse non dégénérée. Son axe focal est vertical. On pose $2a=10$ , donc $a=5$ , et $c=4$ . La relation $b^2=a^2-c^2$ donne $b=3$ .

2. La grande demi-longueur $a=5$ porte sur la coordonnée verticale. L’équation est $\dfrac{(x-2)^2}{9}+\dfrac{(y+1)^2}{25}=1$ . L’excentricité vaut $e=c/a=4/5$ . Les directrices, perpendiculaires à l’axe focal, sont $y=-1\pm a/e=-1\pm25/4$ , soit $y=21/4$ et $y=-29/4$ .

3. $PF_1=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$ et $PF_2=\sqrt{3^2+4^2}=5$ , donc la somme vaut bien $10$ . Mettre $25$ sous $(x-2)^2$ produirait un grand axe horizontal et des foyers qui ne seraient pas $F_1,F_2$ . Le choix du dénominateur découle de l’axe focal, pas de l’ordre d’écriture de $x$ et $y$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.