ED-DÉquations différentielles

Modélisation par $y'=ay+b$ : croissance d'une plante et condition initiale

Idée directrice

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2017, exercice 4 : lecture de $f(0)$ et $f'(0)$ , équation différentielle $y'=ay+b$ , détermination de $a$ et $b$ , solution générale, condition initiale, modélisation de la hauteur d'une plante de maïs.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $y'=ay+b$ »

« Condition initiale $f(0)=0$ »

« $f(x)=2-2e^{-0{,}25 x}$ »

« Hauteur d'une plante de maïs »

Sujet principal

Exercice — équation différentielle $y'=ay+b$ et modélisation (esprit SE contrôle 2017)

5 questionsCorrigé masqué

On considère une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ , solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$ où $a$ et $b$ sont des réels avec $a\neq 0$ . On suppose $f(0)=0$ et $f'(0)=\dfrac12$ .

Montrer que $b=\dfrac12$ .
En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{1}{a}\Bigl(f'(x)-\dfrac12\Bigr)$ .
On admet que $f(4)=2-2e^{-1}$ et que l'aire $S$ de la région limitée par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses, entre $x=0$ et $x=4$ vaut $S=8e^{-1}$ . Montrer que $a=-0{,}25$ .
Résoudre l'équation différentielle $y'=-0{,}25\,y+\dfrac12$ et déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(0)=0$ . Écrire la solution générale, puis appliquer la condition.
On pose $h(t)=2-2e^{-0{,}25 t}$ (hauteur en mètres, $t$ en semaines). Calculer $h(3)$ et résoudre $h(t)>1{,}98$ .

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1. Idée : une solution vérifie l'équation en tout point, en particulier en $0$ . $f'(x)=af(x)+b$ pour tout $x$ ; en $x=0$ : $\tfrac12=a\times0+b$ , donc $b=\tfrac12$ .

2. Idée : isoler $f$ dans la relation précédente. $f'(x)=af(x)+\tfrac12\iff af(x)=f'(x)-\tfrac12\iff f(x)=\dfrac1a\Big(f'(x)-\dfrac12\Big)$ puisque $a\neq0$ .

3. Idée : intégrer la relation de la question 2 entre $0$ et $4$ ; $f$ est une primitive de $f'$ . $S=\displaystyle\int_0^4f(x)\,\mathrm dx=\dfrac1a\int_0^4\Big(f'(x)-\dfrac12\Big)\mathrm dx=\dfrac1a\Big(\big[f(x)\big]_0^4-\dfrac12\times4\Big)=\dfrac1a\big(f(4)-f(0)-2\big)=\dfrac1a\big(f(4)-2\big)$ car $f(0)=0$ . Avec $S=8\e^{-1}$ et $f(4)=2-2\e^{-1}$ : $8\e^{-1}=\dfrac1a(-2\e^{-1})$ , d'où $a=-\dfrac{2}{8}=\boxed{-0{,}25}$ . (Le signe est cohérent : $f$ croît vers un plateau, l'équation est du type retour à l'équilibre.)

4. Idée : solution particulière constante $-b/a$ , plus solutions de l'homogène. Constante : $0=-0{,}25k+\tfrac12\iff k=2$ . Homogène $y'=-0{,}25y$ : $y=C\e^{-0{,}25x}$ . Solution générale : $y=C\e^{-0{,}25x}+2$ . Condition initiale $f(0)=0$ : $C=-2$ , donc $f(x)=2-2\e^{-0{,}25x}$ .

5. Idée : lire le modèle. $h(3)=2-2\e^{-0{,}75}\approx1{,}06\ \mathrm m$ : la plante mesure environ $1{,}05\ \mathrm m$ après trois semaines. $h(t)>1{,}98\iff\e^{-0{,}25t}<0{,}01\iff t>4\ln100\approx18{,}4$ : à partir de la $19^{\text{e}}$ semaine la hauteur dépasse $1{,}98\ \mathrm m$ , le plateau $2\ \mathrm m$ étant la hauteur limite.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill ED-D.1 — solution de $y'=ay+b$ avec condition initiale

3 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation différentielle $(E):\ y'=-0{,}25\,y+\dfrac12$ sur $\mathbb{R}$ .

Donner la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(0)=0$ .
Vérifier par dérivation que $f$ est bien solution de $(E)$ .

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1. Idée : constante $-b/a$ plus homogène. $y=C\e^{-0{,}25x}+2$ . 2. $f(0)=0\iff C=-2$ : $f(x)=2-2\e^{-0{,}25x}$ . 3. Idée : dériver et comparer. $f'(x)=\tfrac12\e^{-0{,}25x}$ et $-0{,}25f(x)+\tfrac12=-\tfrac12+\tfrac12\e^{-0{,}25x}+\tfrac12=f'(x)$ .

Entraînement 02 / 02

Drill ED-D.2 — lecture de $b$ et de la condition initiale

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ , $f(0)=0$ et $f'(0)=\frac12$ .

Montrer que $b=\frac12$ .
Écrire $f(x)$ en fonction de $a$ et de $f'(x)$ .
Interpréter $f(0)=0$ comme une condition initiale.

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1. Idée : écrire l'équation en $x=0$ . $f'(0)=af(0)+b\Rightarrow b=\tfrac12$ . 2. $f(x)=\dfrac1a\big(f'(x)-\tfrac12\big)$ . 3. Idée : la condition initiale choisit une solution parmi toutes. La solution générale $C\e^{ax}-b/a$ dépend d'une constante ; $f(0)=0$ la fixe : c'est le rôle d'une condition initiale.

Méthode / Automatismes

Lire $b$ sur $f'(0)=a f(0)+b$ lorsque $f(0)=0$ .
Solution de $y'=ay+b$ : $y=C e^{ax}-\frac{b}{a}$ (si $a\neq 0$ ).
Toujours imposer la condition initiale après la solution générale.

Pièges classiques

Oublier le signe de $a$ . Confondre solution générale et solution particulière. Résoudre $h(t)>1{,}98$ en gardant l'inégalité dans le mauvais sens après le logarithme.

Modélisation par y′=ay+by'=ay+by′=ay+b : croissance d'une plante et condition initiale

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Modélisation par $y'=ay+b$ : croissance d'une plante et condition initiale