ED-EÉquations différentielles

Équation $y'=-\frac14 y+\frac12$ : solution générale et applications numériques

Idée directrice

Deuxième scénario ancré sur le même corrigé SE contrôle 2017 mais centré sur la résolution explicite de $y'=-\frac14 y+\frac12$ , la solution générale, la condition initiale, et les questions d'application $h(3)$ et $h(t)>1{,}98$ (sans repasser par le calcul de l'aire pour trouver $a$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $y'=-\frac14 y+\frac12$ »

« Solution générale $y=C e^{-t/4}+2$ »

« Condition initiale $f(0)=0$ »

« $h(3)\approx 1{,}05$ m »

Sujet principal

Exercice — résolution de $y'=-\frac14 y+\frac12$ (esprit SE contrôle 2017)

5 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation différentielle $(E):\ y'=-\dfrac14 y+\dfrac12$ sur $\mathbb{R}$ .

Vérifier qu'une solution particulière constante de $(E)$ est $y_p=2$ .
Résoudre l'équation homogène $y'=-\frac14 y$ et en déduire la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0)=0$ .
On pose $h(t)=f(t)$ avec $t$ en semaines et $h(t)$ en mètres. Calculer $h(3)$ et interpréter le résultat (hauteur d'une plante).
Résoudre dans $\mathbb{R}_+$ l'inéquation $h(t)>1{,}98$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : une constante est solution si elle annule le second membre. $y_p=2$ : $0=-\tfrac14\cdot2+\tfrac12$ , vrai.

2. Idée : homogène $y'=-\frac14y$ , puis somme. $y_h=C\e^{-t/4}$ ; solution générale $y(t)=C\e^{-t/4}+2$ .

3. Idée : condition initiale. $C+2=0$ : $f(t)=2-2\e^{-t/4}$ .

4. Idée : évaluer. $h(3)=2-2\e^{-0{,}75}\approx1{,}06\ \mathrm m$ : environ $1{,}05\ \mathrm m$ après trois semaines.

5. Idée : isoler l'exponentielle puis $\ln$ (qui renverse le sens car on divise par $-\frac14<0$ ). $\e^{-t/4}<0{,}01\iff-\tfrac t4<\ln0{,}01\iff t>4\ln100\approx18{,}4$ semaines : la plante dépasse $1{,}98\ \mathrm m$ à partir de la $19^{\text e}$ semaine, le plateau étant $2\ \mathrm m$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ED-E.1 — solution particulière constante

3 questionsCorrigé masqué

Soit l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec $a\neq 0$ et $b$ constant.

Montrer qu'il existe une unique solution particulière constante $y_p=-\frac{b}{a}$ .
Écrire la solution générale de l'équation.
Déterminer la solution vérifiant la condition initiale $y(0)=0$ dans le cas $a=-\frac14$ , $b=\frac12$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : une fonction constante a une dérivée nulle ; on reporte dans l'équation. Si $y_p=k$ est solution, $0=ak+b$ , d'où $k=-\dfrac ba$ ; comme $a\neq0$ cette valeur existe et est unique. Réciproquement $y_p=-b/a$ vérifie bien $y_p'=0=a\big(-\tfrac ba\big)+b$ .

2. Idée : les solutions de $y'=ay+b$ sont la solution particulière plus toutes les solutions de l'équation homogène $y'=ay$ . L'homogène a pour solutions $C\e^{ax}$ , donc la solution générale est $y(x)=C\e^{ax}-\dfrac ba$ , $C\in\R$ : une famille de courbes qui tendent toutes vers la constante $-b/a$ quand $\e^{ax}\to0$ .

3. Idée : appliquer avec $a=-\frac14$ , $b=\frac12$ , puis fixer $C$ par $y(0)=0$ . $-\dfrac ba=2$ et $y(x)=C\e^{-x/4}+2$ ; $y(0)=C+2=0\iff C=-2$ , donc $y(x)=2-2\e^{-x/4}$ . Contrôle : $y'=\tfrac12\e^{-x/4}$ et $-\tfrac14y+\tfrac12=-\tfrac12+\tfrac12\e^{-x/4}+\tfrac12=y'$ .

Méthode / Automatismes

Chercher d'abord une solution particulière constante lorsque le second membre est constant.
Solution générale = solution homogène + solution particulière.
Imposer la condition initiale en dernier.

Pièges classiques

Écrire $y=C e^{t/4}$ au lieu de $e^{-t/4}$ . Oublier d'ajouter la solution particulière $+2$ .

Équation y′=−14y+12y'=-\frac14 y+\frac12y′=−41​y+21​ : solution générale et applications numériques

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Équation $y'=-\frac14 y+\frac12$ : solution générale et applications numériques